Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än veta vad ett negativt tal är kunna addera och subtrahera negativa tal kunna skriva tal i potensform Ingressen Ingressen tar upp talet åtta på olika sätt. Att kunna betydelsen av ord som t.ex. okto ger en kunskap som kan generera ny kunskap i många olika sammanhang. Att oktober var den åttonde månaden i den romerska kalendern är då inte så konstigt. November var den nionde månaden och december den tionde. Jämför med deci tiondel, deca tio och decennium årtionde. Den klassiska historien om riskornen på schackbrädet introducerar potenser som tas upp i kapitlet. I Utmaningen, som ligger sist i kapitlet, ska eleverna på olika sätt räkna ut hur mycket ris det blir. I Verktygslådan får man tips om hur beräkningarna kan göras med hjälp av Excel. Det är inte ovanligt att en del elever kastar sig över problemet och vill räkna hur mycket ris det är på brädet redan när de läser ingressen. Ta då vara på intresset. Varför inte låta dem göra utmaningen först? Grunddel Sidan 8. I vårt talsystem, tiosystemet, har vi 0 siffror och med dessa siffror kan vi skriva oändligt många tal. 8 kan vara både en siffra och ett tal medan 88 är ett tal som består av två siffror. En del elever har svårt att förstå tal skrivna med decimaler. Det bottnar antagligen i en brist i förståelsen för hur vårt talsystem är uppbyggt. En bra övning är att låta dessa elever arbeta med tallinjer. Använd gärna Arbetsbladen : och :2. Låt dem också själv rita tallinjer och markera olika decimaltal. I Lärarhandledningen för år 7 finns det fler tallinjer på Arbetsblad :3 och :4. Sidorna 2 3. Att något kan bli större när man dividerar har många elever har svårt att acceptera. Det är inte heller så konstigt. Om man enbart tänker på division som delningsdivision så är det riktigt att det inte kan bli större när man delar. Det går heller inte att dela något 0,5 gånger. För att division med ett positivt tal mindre ett ska ha en innebörd måste man istället tänka på divisionen som en innehållsdivision. Man får tänka: Hur många gånger går det i.. Hur många får plats i. Följande exempel visar skillnaden mellan delningsdivision och innehållsdivision. Mer om tal
Delningsdivision Ett rep som är 2 m långt ska delas i 7 lika långa bitar. Hur lång blir varje bit? 2 m 7 Innehållsdivision 2 m 3 m 3 st 7 m Hur många bitar som är 7 m kan man få ut av ett rep som är 2 m långt? Härifrån är det lätt att gå över till division med positiva tal som är mindre än. Hur många bitar som är 0,7 m kan man få ut av ett rep som är 2 m långt? 2 m 0,7 30 st Sidan 4. Här visas hur man kan skriva om bråk så att nämnaren blir ett heltal. Introduktionen med enhetsbyte gör att eleverna lättare kan förstå att värdet på bråket är detsamma när man multiplicerar eller dividerar täljare och nämnare med samma tal. För mer övningar använd Arbetsblad :4. Sidan 5. Multiplikation och division av positiva tal mindre än i praktisk användning. Fler övningar på att räkna ut priset och jämförpriset finns på Arbetsblad :5 och :6. Sidorna 6 9. Negativa tal är något som många elever har svårt att acceptera. Inte kan väl något vara mindre än noll? Dessa elever är verkligen i fint sällskap. De flesta matematiker på 500- och 600-talet kände till negativa tal, men vägrade att acceptera dem som tal eller som lösningar till ekvationer. Man kallade dem för absurda eller uppdiktade tal. Varken Descartes eller Fermat accepterade dem som tal, eftersom man ansåg det absurt att försöka ta bort 4 från 2. Francis Masères skrev 759 att negativa rötter endast krånglar till det som egentligen är enkelt. Han önskade att negativa tal aldrig hade tillåtits i algebran och att de borde förvisas därifrån. (Nystedt: På tal om tal.) Vi introducerar negativa tal med exempel ur elevens vardag: Man kan ligga minus på kontot. För att eleverna sedan ska kunna få en bild av de negativa talen är det viktigt att de kan placera dem på tallinjen och då är en termometer ett utmärkt exempel. Vi har valt att skriva de negativa talen med parentes, t.ex. ( 3), för att skilja de negativa talen från vanlig subtraktion. På grunddelen nöjer vi oss med att räkna addition och subtraktion med negativa tal. På Arbetsblad :8 finns fler övningar till att minus minus blir plus. På Arbetsblad :7 finns ett spel som övar addition och subtraktion med negativa tal. Låt eleverna spela spel. De uppskattas nästan alltid och har en hög inlärningseffekt, speciellt om man gör eleverna uppmärksamma på vilken matematik man vill lära ut genom spelet. Sidan 20. Här introducerar vi tal i potensform. Mer om tiopotenser kommer i kapitel 7. Det är bra om eleverna inser vad potensform innebär innan de arbetar med tiopotenser. Annars blir det lätt att 2 3 kan bli 2 000. Eleverna tror att exponenten visar antalet nollor och inser inte att det endast gäller i specialfallet där basen är 0. Arbeta tillsammans Sidan 9. Luffarschack med tal. Spelet är en introduktion till multiplikation med positiva tal mindre än. Låt eleverna spela spelet! Det är mycket väl använd tid eftersom de flesta av eleverna verkligen lär sig att multiplicera med positiva tal mindre än under spelets gång. 2 Mer om tal
Facit till diagnosen ommentar till uppgift 3 på diagnosen: En del elever kan behöva hjälp med vilket tal som ska stå istället för rutan. De kan sedan ta reda på vilket av uttrycken som är lika stort som talet i rutan. a), b) 32 c) 8050 d) 0,62 s 24 25 2 a),2 b) 4,05 c) 0,76 d) 2,4 s 24 25 3 a),2 b) 0,34 c) 0,2 d),2 s 26 4 a) 48 kr b) 2,80 kr c) 3,20 kr s 27 5 a) 2 st b) 0 st c) 00 st s 28 6 a) 28 b) 270 c) 800 s 28 7 a) 24,544 b) 304,44 c) 482,38 8 37 59 a) b) 0,,03 s 28 9 23 s 30 0 ( 2) ( 3) 0,7 47 s 29 a) 7 b) ( 7) c) 30 s 30 2 a) 3 5 b) 7 3 s 3 3 a) 0 3 b) 4 2 + c) 5 3 5 2 + d) 3 4 6 2 5 s 3 Facit till kluringar Hur gamla är dina barn? Svar: Skriv upp multiplikationen av tre heltal vars produkt blir 36. Skriv också upp summan av de tre talen: 36 + + 36 38 2 8 + 2 + 8 2 3 2 + 3 + 2 6 4 9 + 4 + 9 4 6 6 + 6 + 6 3 2 2 9 2 + 2 + 9 3 2 3 6 2 + 3 + 6 3 3 4 3 + 3 + 4 0 Då finner man att både 6 6 och 2 2 9 ger summan 3. Det är den enda summan som förekommer mer än en gång, det är därför som B inte klarar av att svara på frågan utifrån husnumret. Husnumret bör alltså varit 3. När han får ledtråden att det äldsta barnet är en flicka förstår han att barnen är 2 år, 2 år och 9 år. I det andra alternativet är det ju tvillingar som är äldst. Mer om tal 3
Fisken luring på engelska Mandys gammelfarfar brukade säga att han var A år gammal året A 2. Vilket år föddes han? Ledtråd: A är ett tal mellan 40 och 50. Lösning: Man prövar sig fram genom att kvadrera 4, 42, 43 osv. 4, 42 och 43 innebär att gammelfarfar skulle vara född 68, 764 eller 844. Eftersom han står och berättar detta, är det en omöjlighet. 44 ger år 936. 45 och äldre ger ett årtal som innebär att gammelfarfar ännu inte skulle vara född. Han är alltså född 892. Blå kurs Fler övningar med fokus på talsystemet. omplettera gärna med Arbetsbladen som hör till kapitlet. Röd kurs Det är bra om eleverna arbetar med uppslagen i bokens ordning. Sidorna 32 33 behandlar räkning med potenser. Fler övningar på Arbetsblad :9. Sidorna 34 36 behandlar multiplikation och division med negativa tal. Fler övningar på Arbetsblad :0. Sidan 37 presenterar övningar på Fibonacci-tal. Det finns många olika övningar på Fibonacci-tal i Bengt Ulins bok: Att finna ett spår. Sidorna 38 39. Uppslaget kan vara en utmaning även för de duktiga. Eleverna är säkert bekanta med det binära talsystemet med ettor och nollor. Det blir svårare när man inför ett annat talsystem, t.ex. femsystemet. Att omvandla från tiosystemet till femsystemet är lätt om man använder samma metod som i det lösta exemplet överst på sidan 39, som omvandlar från tiosystemet till tvåsystemet. Uppgift 49 a) löses då på följande sätt: 65 5 3 5 2 5 3 rest 0 2 rest 3 0 rest 2 65 tio 230 fem Utmaning Överslaget ger 9 232 000 000 000 000 000 st riskorn på brädet. Räknar man exakt blir svaret 9 223 372 036 854 780 000 st riskorn på den sista rutan. 2 Överslaget ger 8 464 000 000 000 000 000 st på den sista rutan. Exakt blir svaret 8 446 744 073 709 600 000 st riskorn på brädet. 3 Riset skulle väga 84,5 miljarder ton. 4 Alla människor på jorden skulle få ca 30 ton ris var. 5 Cirka 300 år. 4 Mer om tal
Arbetsblad Innehållsförteckning över Arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken. Namn Sid Nivå : Tal i decimalform 8, 24 blå :2 Decimaltal på tallinjen 8, 24 blå :3 Multiplikation med positiva tal mindre än 0-, 26 blå grön :4 Division med positiva tal mindre än 2 4, 28 grön :5 Räkna ut vad det kostar 5, 27 blå grön :6 Räkna ut jämförpriset 5 grön :7 Vilken skillnad! 8-9, 30 grön :8 Räkna med tal i potensform 32 33 röd :9 Räkna med negativa tal 34 36 röd Mer om tal 5
Arbetsblad : Tal i decimalform Skriv talen i decimalform. Skriv siffrorna i rätt position. A 5 tiondelar 5 0,Ental Tusendelar Tiondelar Hundradelar D 6 tiondelar Ental Tusendelar Tiondelar Hundradelar 9 tiondelar 5 hundradelar 0 tiondelar 2 tusendelar 5 tiondelar 34 hundradelar 34 tiondelar 567 tusendelar B 2 hundradelar Ental Tusendelar Tiondelar Hundradelar E 2 tiondelar Ental Tusendelar Tiondelar Hundradelar 8 hundradelar 65 hundradelar hundradelar 84 tusendelar 98 hundradelar 03 hundradelar 02 hundradelar 2 004 tusendelar C 3 tusendelar Ental Tusendelar Tiondelar Hundradelar F 3 047 tusendelar Ental Tusendelar Tiondelar Hundradelar 7 tusendelar 27 tiondelar 0 tusendelar 48 tiondelar 00 tusendelar 23 hundradelar 450 tusendelar 375 hundradelar 983 tusendelar 462 tusendelar 003 tusendelar 6 tusendelar 75 tusendelar tiondelar 6 Mer om tal
Arbetsblad :2 Decimaltal på tallinjen Skriv rätt tal på linjen. 0 2 0 2 3 0 4 2 3 5 2,6 2,7 6,,2 7 3,2 3,3 8 0,0 0,02 9 5,24 5,25 Mer om tal 7
Arbetsblad :3 Multiplikation med positiva tal mindre än 0, 0,0 0,5 0 00 2 Räkna med huvudräkning. Rätta sedan med din räknare. a) 0, 4 3 a) 0,0 6 5 a) 0,5 2 b) 0, 8 b) 0,0 9 b) 0,5 8 c) 0, 23 c) 0,0 67 c) 0,5 90 2 a) 0, 54 4 a) 0,0 24 6 a) 0,5,2 b) 0, 6,3 b) 0,0 40,2 b) 0,5 2,2 c) 0, 20,4 c) 0,0 607 c) 0,5 0,4 4 5 20 0,4 5 2 0,4 0,5 0,2 7 a) 3 4 8 a) 6 8 9 a) 8 0,2 b) 0,3 4 b) 0,6 8 b) 6 0,4 c) 0,3 0,4 c) 0,6 0,8 c) 7 0,7 0 a) 9 0,2 a) 0,9 0,2 2 a) 0,3 0,5 b) 6 0,3 b) 0,6 0,3 b) 0,9 0,9 c) 7 0,6 c) 0,7 0,6 c) 0,6 0,6 3 a) 3,25 0, b) 80,56 0, c) 40,3 0,0 4 a) 0,03 2 b) 0,03 5 c) 0,03 2 5 a) 0,8 5 b) 0,7 0,6 c) 7 0,03 6 a) 45 0,2 b) 0,04 0,3 c) 0,8 0,02 7 a) 0,5 3 b) 0,25 4 c) 0,2 0,4 8 Mer om tal
Arbetsblad :4 Division med positiva tal mindre än Skriv om bråket så att nämnaren blir ett heltal. Multiplicera täljare och nämnare med 0, 00 eller 000. 5,6 5,6 0 56 4 0,4 0,4 0 4 6 9 a) b) 0, 0, 2 3 45 a) b) 0,0 0,0 3 0,6 35 a) b) 0, 0,0 4 a) 4,5 7,5 b) 0,5 0,5 5 a) 4,2 5,4 b) 0,3 0,6 6 a) 7,2 7,2 b) 0,8 0,4 7 3,2 6,4 a) b) 0,04 0,08 8 4,05,08 a) b) 0,05 0,03 9 5,04 5,22 a) b) 0,08 0,06 0 a) 0,36 4,5 b) 0,003 0,005 a) 0,48 0,8 b) 0,008 0,006 2 a) 3,6 0,45 b) 0,003 0,05 3 a),75 3,06 b) 0,7 0,09 4 a) 0,272 0,324 b) 0,08 0,06 5 a) 3,32 5,95 b) 0,4 0,007 Mer om tal 9
Arbetsblad :5 Räkna ut vad det kostar Exempel ilopriset för äpplen är 5 kr/kg. Det betyder att kilo äpplen kostar 5 kr. 325 gram kostar 0,325 5 kr Skriv vikten i kilo och multiplicera med kilopriset. Hur mycket kostar a) 3 kg c) 200 g b) 0,5 kg d) 3 hg 2 Hur mycket kostar a) 2,5 kg c) 475 g b) 0,4 kg d) 6 hg 3 Hur mycket kostar a) 0,8 kg c) 625 g b) 0,75 kg d) 4,5 hg 4 Hur mycket kostar a),4 kg c) 890 g b) 0,25 kg d) 7,4 hg 5 Hur mycket kostar a) 3 hg c) 245 g b) 645 g d) 705 g Här är jämförpriset per hekto! 20 Mer om tal
Arbetsblad :6 Räkna ut jämförpriset Läsk säljs i olika storlekar och förpackningar. Det är ofta stor skillnad i literpris! a) Hur många flaskor finns i en back? b) Varje flaska rymmer 33 cl. Hur många liter läsk innehåller en back? c) Vad blir literpriset om man köper en back läsk? 2 a) Hur många förpackningar Mer behöver man för att det ska bli en liter? b) Vad är literpriset för Mer? 3 a) Vad är literpriset för halvlitersläsken? b) Vad är literpriset för den stora läskflaskan? kr / kg Skriv om vikten till kilo och dela priset med vikten så får du kilopriset. Vad blir kilopriset för a) 300 grampåsen b) 250 grampåsen Exempel 450 g ostbågar kostar 32 kr. 450 g 0,45 kg 32 7 0,45 ilopriset är 7 kr. c) 30 grampåsen Vad blir kilopriset för a) popcornpåsen b) spispopcorn c) micropopen Mer om tal 2
Arbetsblad :7 Vilken skillnad! Temperaturskillnad Vilken temperaturskillnad är det mellan 2 C och ( 3) C? 2 ( 3) 2 + 3 5 C Vilken temperaturskillnad är det mellan ( 4) C och ( 0) C? ( 4) ( 0) 4 + 0 6 C 2 ( 3)5 ( 4) ( 0)6 Vilken är temperaturskillnaden mellan a) 2 C och 4 C b) 4 C och ( 5) C c) ( 3) C och ( 0) C Räkna ut 2 a) 4 ( 3) b) 5 ( 3) c) 4 ( 6) 3 a) 0 ( 7) b) ( 0) ( 7) c) ( 3) ( 5) 4 a) ( 2) ( 25) b) ( 9) ( 3) c) ( 4 ) ( 23) 5 a) ( 8) ( 5) b) 45 ( 3) c) ( 2) ( 50) 6 a) 89 ( 5) b) ( 92) ( 2) c) ( 43) ( 22) 7 a) 2 ( 8) b) ( 65) ( 50) c) ( 08 ) ( 220) 22 Mer om tal
Arbetsblad :8 Räkna med tal i potensform Skriv som en potens. a) 2 4 2 3 b) 2 7 2 5 c) 6 8 6 3 2 a) 0,4 3 0,4 7 b) 0,7 5 0,7 3 c) 0,9 6 0,9 3 3 a) y 6 y 5 b) z 3 z 2 c) p 2 p 7 Räkna ut och skriv på vanligt sätt. 4 a) 5 5 3 b) 0 2 0 4 5 a) 23 4 b) 2 2 2 3 Skriv som en potens. 6 8 6 5 6 a) b) c) 0,4 7 a) 8 0 b) 8 c) 3 0,4 5 2 0 3 a 4 a 2 8 a) b) c) 6 4 6 3 x 8 x 6 8 5 8 2 y 6 y 6 Skriv först som en potens och räkna sedan ut. 9 a) 2 6 2 3 2 b) 2 3 2 5 2 6 0 a) 7 7 5 b) 7 3 7 4 5 2 5 4 Räkna ut. Tänk dig för! a) 0 3 + 5 3 b) 8 + 25 2 3 3 2 a) 2 0 4 4 b) 0,5 2 + 3 0 0, 2 3 a) 2 6 + 8 2 9 b) 0 3 2 3 + 6 0 4 a) 6 0 6 2 b) + 6 2 0 3 0 2 5 a) 8 6 8 4 4 b) + 2 4 8 0 5 2 + 7 Mer om tal 23
Arbetsblad :9 Räkna med negativa tal a) 4 + ( 8) b) 32 + ( 5) 3 a) ( 52) + ( 24) b) ( 45) + ( 23) 2 a) 25 ( 4) b) 89 ( 6) 4 a) ( 24) ( 32) b) ( 65) ( 32) 5 a) 7 ( 2) b) ( 8) ( 8) 6 a) 5 ( 3) b) ( 5) ( 3) c) 8 ( 5) 7 a) ( 8) ( 4) b) 6 ( 7) c) ( 6) ( 5) 8 a) ( 2) 2 b) ( 2) 3 c) ( 2) 4 9 ( 2) ( 49) 36 a) b) c) 4 ( 7) ( 4) 0 a) ( 8) 56 ( 60) b) c) ( 2) ( 8) 2 ( 80) 6 a) 8 ( 8) + ( 80) b) 2 ( 3) +2 0 ( 2) 50 ( 8) 2 a) + ( 6 ) ( 4) 2 b) 6 + ( 0 ) + 2,5 ( 3) ( 3) 4 ( 36) 65 3 a) + + ( 5) 2 7 b) + 0, ( 82) ( 200) ( 2) ( 3) ( 0,) 24 Mer om tal