TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI SAL: Egypten, Asgård och Olympen TID: 2016-03-17 kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel. 013-284042, 0708-783670 BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 2014-04-06, kl. 12.30 13.00 i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2
1. (a) Beräkna poler och nollställen till systemet 2 1 0 1 0 ẋ(t) = 1 1 0 x(t) + 0 1 u(t) 1 0 9 1 0 ( ) 1 0 0 y(t) = x(t) 1 1 0 utan att använda Matlab-kommandona pole eller zero (eller snarlika kommandon). Tips: Tänk på att det är polerna, och inte egenvärdena, som efterfrågas! (3p) (b) Tag fram den statiska förstärkningen för systemet i (a) och ange i vilken riktning förstärkningen är störst/minst. (3p) (c) Lågförstärkningssatsen kan sägas vara ganska konservativ (d.v.s. många system som inte uppfyller den är egentligen ändå stabila). Hur kan man (enkelt) motivera ett sådant påstående, t.ex. med ett exempel? Inga räkningar krävs. (2p) (d) Antag att du vill reglera ett system G(s) = s + 1 (s + 1)(s + 2) Du får i uppdrag att genom en internt stabiliserande återkoppling placera nollstället i s = 3. Kan du lösa den uppgiften, eller inte? Motivera som vanligt noggrant! (2p) 3
2. Betrakta en olinjär förenklad modell av en undervattensfarkost som rör sig längs en rät linje ẋ 1 = a m x 1 + b m (x 1 + cx 2 )(cx 2 x 1 ) ẋ 2 = dx 2 + u där x 1 är farkostens hastighet relativt vattnet längs den räta linjen, x 2 propellerns rotationshastighet och u är spänningen till motorn. Konstanterna m, a, b, c och d antas vara kända. (a) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 2. Visa att så är fallet genom att utföra lämpliga räkningar. (4p) (b) Ta fram en styrlag på formen u = (ū f 1 (x))/f 2 (x) med potentiellt olinjära funktioner f 1 (x) och f 2 (x) sådana att systemet blir exakt linjäriserat och får en ny virtuell insignal ū. (2p) (c) Ta fram en regulator som reglerar farkostens hastighet relativt vattnet ( farthållare ) genom att använda linjär IMC-teknik. Regulatorn ska styra systemet via ū. Stigtiden för det slutna systemet ska vara 3 s och den statiska förstärkningen 1. Din lösning ska innehålla en plot med ett stegsvar för slutna system från referens till hastighet där det tydligt framgår att kraven på stigtid och statisk förstärkning är uppfyllda. Om det krävs för din lösning kan du anta att a = b = c = d = 1. (4p) 4
3. En student som precis har klarat kursen i Reglerteori har drabbats av ett vanligt cykelproblem: fälgbromsar som tjuter kraftigt. Studenten fick Bromskloss x 1, x 2 Fälg v Däck Figur 1: Bromsklossens position mot fälgen på cykelhjulet. idén att analysera en modell av bromssystemet och med hjälp av den försöka förstå vad som händer. En enkel modell av en bromskloss rörelse då den har kontakt med en fälg som roterar med den konstanta periferihastigheten v och bromsklossens tryck mot fälgen är konstant ges av ẋ 1 = d m x 1 1 m tan(kx 2) + 1 m F f, π 2 < kx 2 < π 2 ẋ 2 = x 1 där x 1 är klossens hastighet längs fälgen relativt ramen och x 2 är klossens avstånd längs fälgen relativt dess viloläge. Se figur 1. F f är en friktionskraft som antas beskrivas av följande relation k d, x 1 < v F f = dx 1 + tan(kx 2 ), x 1 = v och dx 1 + tan(kx 2 ) k s k d, x 1 > v där k d är en konstant dynamisk friktionskraft och k s den maximala statiska friktionskraften. Bromsklossens massa är m. Låt m = 1, d = 0.1, k = 1, k s = 5, k d = 1 och v = 1. (a) Vilka jämviktspunkter finns och av vilken typ är de (entangentnod, tvåtangentnod, sadelpunkt,...)? (4p) (b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med olika dynamik som det består av. (4p) 5
(c) Tjutandet som uppstår från fälgbromsar kan tänkas uppstå om systemet inte konvergerar mot en punkt i fasplanen utan istället hamnar i en bana (som inte är en enda punkt) som det genomlöper gång på gång. Detta kallas för en limit cycle. Rita in denna limit cycle, på ett tydligt sätt, i din skiss av fasplanet. (2p) 6
4. I den här uppgiften kommer vi att arbeta med ett system bestående av en backande lastbil med släp, se figur 2. Släpet består av dels en s.k. dolly som är fastsatt i lastbilens dragkrok och på dollyn är en trailer påkopplad. Det är ett svårare problem än att backa med personbil med släpkärra, och kan liknas med att man har två släpkärror efter varandra efter bilen när man ska backa. Konfigurationen kan alltså vika sig kring två punkter, märkta med A och B i figur 2. Uppgiften är att använda v 3 Trailer B Dolly 3 A Lastbil 2 3 y 3 y t Figur 2: Backande lastbil med dolly och trailer sedd uppifrån. LQ-design för att dels stabilisera släpet och dels för att få trailern att följa en bana som i det här något förenklade exemplet antas vara en rät linje. Styrsignalen är styrvinkeln α. Innan du kan börja jobba med uppgiften i Matlab måste du först ändra Matlabsökvägen samt kopiera en fil. Det du ska utföra är följande: 1. Kör kommandot addpath( /site/edu/rt/tsrt09/tenta/ ) i Matlabs kommandofönster. 2. Öppna ett terminalfönster, gå till din arbetskatalog och kör kommandot cp /site/edu/rt/tsrt09/tenta/reversing_truck.m. (notera den sista punkten). 3. Kör chmod 600 reversing_truck.m i terminalfönstret. (a) Filen reversing_truck.m laddar alla nödvändiga data, startar en simulering av systemet från ett förspecificerat initialtillstånd, plottar reglerstorheter och styrsignaler från simuleringen, samt innehåller en sektion där du ska lägga till kod som räknar fram en lämplig återkoppling L. När reversing_truck.m har körts en gång finns systemmatriserna A, B och C tillgängliga i workspace. Systemet har modellerats på linjär tillståndsform ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) z(t) = Cx(t) 7 (1)
med reglerstorheterna laterala avvikelsen y 3 som z 1, trailerorientering θ 3 som z 2, vinkeln mellan trailer och dolly β 3 som z 3 och vinkeln mellan lastbil och dolly β 2 som z 4. De fyra tillstånden x 1 x 4 har inte någon direkt fysikalisk tolkning. Styrsignalen u är styrvinkeln α. Designa med hjälp av linjärkvadratisk metodik en regulator på formen u = Lx som minimerar kriteriet V = och uppfyller kraven 0 z T (t)q 1 z(t) + u T (t)q 2 u(t)dt (2) Lateral avvikelse: y 3 1.25 Trailerorientering: θ 3 10 Vinkel mellan trailer och dolly: β 3 15 Vinkel mellan lastbil och dolly: β 2 45 Styrvinkelutslag: α 45 under en körning av filen reversing_truck.m. Notera speciellt att det är z(t) som ingår i (2) och inte tillstånden direkt. Den enda filen du ska göra ändringar i är reversing_truck.m. Visa att du har uppfyllt kraven genom att plotta och skriva ut samtliga reglerstorheter och styrsignalen efter att filen reversing_truck.m har körts. Dina plottar ska tydligt illustrera att kraven i uppgiften är uppfyllda. Lämna också in en utskrift av filen reversing_truck.m där det tydligt framgår hur regulatorn har beräknats samt ange numeriskt det L du använt. (6p) (b) I modellen i (1), finns inget brus med. Lastbilstillverkaren skulle vilja ha en regulator som även är optimal för det fallet. För den här applikationen har man kommit fram till att systemet med störningar kan beskrivas av en modell på formen ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B w w(t) y(t) = Cx(t) + D v v(t) (3) där B w R 4 1, D v R 4 1, w(t) R är lågfrekvent brus och v(t) R brus med mycket energi kring vinkelfrekvensen 10 rad/s. Efter en kurs i reglerteori vet du att regulatorn från (a)-uppgiften kan modifieras så att störningarna w(t) och v(t) hanteras optimalt (teoretiskt sett) genom att införa ett kalmanfilter och att modellera störningarna på lämpligt sätt i modellen som används i detta filter. Din uppgift blir att utöka tillståndsmodellen i ekvation (3) med en lämplig störningsmodell som ger denna egenskap om den används i ett kalmanfilter tillsammans med en återkopplingen av typen i (a) 8
och att skriva denna utökade modell på formen x(t) = Ã x(t) + Bu(t) + Nv 1 (t) y(t) = C x(t) + v 2 (t) där v 1 och v 2 är vita brus. Du behöver alltså inte ta fram själva kalmanfiltret, det räcker med att redovisa vilken modell det ska appliceras på. I ditt svar kan du använda det ursprungliga systemets systemmatriser A, B, C, B w och D v, om du anser det lämpligt (numeriska data för dessa matriser behöver inte sättas in). Utökningen för störningsbeskrivningen ska vara fullständigt specificerad, d.v.s. inga godtyckliga konstanter får finnas med. (4p) 9
5. En biltillverkare har bestämt sig för att hänga på trenden med system för aktiv säkerhet. Man bestämmer sig för att utveckla ett s.k. Lane Keeping Assist system som innebär att om föraren är på väg att köra av vägen (korsa sidomarkeringarna) så styr bilen själv tillbaka bilen upp på vägen, se figur 3. Utkastet till systemet är ett reglersystem på formen Figur 3: Bil sedd uppifrån som styr tillbaka in på vägen om den håller på att passera sidomarkeringarna, d.v.s. om e(t) > 1.5. i figur 4 där laterala ( sidled ) dynamiken när föraren inte har händerna e -1.5 w 1.5 e F u G -1 Figur 4: Slutna systemet där e(t) betecknar avvikelse från mitten av den 3 meter breda vägen. på ratten approximeras av G(s) = s12 och regulatorn är F (s) = 100 som enbart blir aktiv när bilen korsar sidomarkeringarna som finns på avståndet ±1.5 m på vardera sidan av centrum av körfältet. D.v.s. w(t) = e(t) 1.5 då e(t) 1.5 e(t) + 1.5 då e(t) 1.5 0 då 1.5 < e(t) < 1.5 (a) Analysera systemets beteende när föraren inte har händerna på ratten (d.v.s. systemet ovan) med hjälp av beskrivande funktion. Visa att det troligtvis kan uppstå självsvängning för många olika kombinationer av amplitud och frekvens, genom att plotta självsvängningens frekvens ω som en funktion av amplituden C [0 100]. (7p) 10
(b) Svängningens frekvens ω förutsägs vara uppåt begränsad för alla val av C (om vi även betraktar val av C som är fysikaliskt irrelevanta för den här praktiska applikationen). Motivera varför det är rimligt att så är fallet, i termer av vilken betydelse den betraktade olinjäritetens inverkan de facto har för olika amplituder. Beräkna en tajt övre gräns på svängningens frekvens. (3p) 11