STRÖMNING MED FRIA VÄTSKEYTOR



Relevanta dokument
DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen)

p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt):

p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa.

KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT

Re baseras på medelhastighet V samt hydraulisk diameter D h, Re = Re Dh = ρv D h. , D h = 4 A P. = V D h ν

LEONARDO DA VINCI ( )

1. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens inlopp ges av. p = d

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j.

TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA, tisdag 23 oktober 2012, kl

Lösningar/svar till tentamen i MTM119 Hydromekanik Datum:

TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR120 8 JANUARI 2005, 08:00-13:00

HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3.

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:

Lösningar/svar till tentamen i MTM119 Hydromekanik Datum:

Givet: ṁ w = 4.50 kg/s; T 1 = 20.0 C; T 2 = 70.0 C; Voil = 10.0 dm 3 /s; T 3 = 170 C; Q out = 11.0 kw.

MMVA01 Termodynamik med strömningslära Exempel på tentamensuppgifter

v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.

Magnus Persson, Linus Zhang Teknisk Vattenresurslära LTH TENTAMEN Vatten VVR145 4 maj 2012, 8:00-10:30 (del 2) 8-13:00 (del 1+2)

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.

Laboration 1 Mekanik baskurs

Blåherremölla. Beräkning av erforderligt vattenflöde för att driva möllan. Datum Studiebesök vid Blåherremölla

(14 januari 2010) Vad representerar de två sista termerna? Illustrera ingående storheter i figur.

DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHETSLAGAR

v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik Göteborg. TME055 Strömningsmekanik

Inlämningsuppgift 2. Figur 2.2

bh 2 π 4 D2 ] 4Q1 πd 2 =

E-II. Diffraktion på grund av ytspänningsvågor på vatten

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Beräkning av kanal för Väsbyån vid stationsområdet

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

HYDRAULIK Grundläggande begrepp I

Lösningar/svar till tentamen i MTM119/052 Hydromekanik Datum:

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Lösningsförslag

Laboration 2 Mekanik baskurs

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

Transportfenomen i människokroppen

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Arbetet beror på vägen

Lärobok, föreläsningsanteckningar, miniräknare. Redovisa tydligt beräkningar, förutsättningar, antaganden och beteckningar!

HYDRAULIK Grundläggande ekvationer I

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

A. Egenskaper hos plana figurer (MTM458)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

MMVA01 Termodynamik med strömningslära

MMVA01 Termodynamik med strömningslära

Lösningar kapitel 10

Magnus Persson och Linus Zhang Teknisk Vattenresurslära LTH DUGGA 2/TENTAMEN Vatten, VVR145 7 MAJ 2009, 08:00-10:30 (Dugga), 08:00-13:00 (Tentamen)

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Angående skjuvbuckling

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

BERNOULLIS EKVATION. Friktionsfri strömning, Eulers ekvation på vektorform:

2. Vad innebär termodynamikens första lag? (2p)

Lektion 5: Innehåll. Bernoullis ekvation. c 5MT007: Lektion 5 p. 1

TYP-TENTAMEN I TURBOMASKINERNAS TEORI

MMVF01 Termodynamik och strömningslära

HYDRAULIK Grundläggande ekvationer I

Laboration 2 Mekanik baskurs

Lösningar/svar till tentamen i F0031T Hydromekanik Datum:

Termodynamik FL1. Energi SYSTEM. Grundläggande begrepp. Energi. Energi kan lagras. Energi kan omvandlas från en form till en annan.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Svar och anvisningar

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

(14 januari 2010) 1.2 Ge en praktisk definition av en fluids densitet. Illustrera med figur.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

3. En konvergerande-divergerande dysa har en minsta sektion på 6,25 cm 2 och en utloppssektion


SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A


Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Potentialbedömning av marin strömkraft i Finnhamn

Lipschitz-kontinuitet

Simulering av soldrivet torkskåp

BFL102/TEN1: Fysik 2 för basår (8 hp) Tentamen Fysik mars :00 12:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng.

Energitransport i biologiska system

ÖVA SYSTEMHANDLING STOCKHOLM PM HYDRAULISKA BERÄKNINGAR. Försättsblad Hydrauliska beräkningar.docx

Tillämpad Matematik I Övning 3

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Vilka bestämmelser gäller för trapphus för utrymning?

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Mer om generaliserad integral

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Övning 9 Tenta från Del A. Vägg på avståndet r = 2.0 m och med reflektansen R = 0.9. Lambertspridare.

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Signature bubbler. MJK Automation AB Tel: E-post: Hemsida:

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tätridå under dammardesign, utförande och kontroll. Håkan Stille SwedCOLD

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH

Transkript:

STRÖMNING MED FRIA VÄTSKEYTOR Vid den fria vätskeytan (vattenytan) kan trycket antas lika med det konstanta atmosfärstrycket (ytspänningseffekter försummas). Stationär, inkompressibel och oftast turbulent strömning. Strömningen drivs av gravitation och motverkas av väggfriktion. Djup, y = vertikalt avstånd från kanalens botten till ytan. Klassificering m.a.p. variationer i djup: 1. Strömning vid konstant djup och lutning (uniform flow); djupet lika med det s.k. normaldjupet, y n. Strömningen kan antas endimensionell; gravitation och friktion i balans.. Strömning med varierande djup. (a) Långsamt varierande djup (gradually varied flow, GVF). Strömningen kan antas endimensionell. (b) Snabba djupvariationer (rapidly varied flow, RVF). Strömningen multidimensionell. Förutom s.k. hydrauliska språng (hydraulic jumps) ingår inte RVF i denna kurs, GVF endast delvis. Ch. 10.1 Strömningslära C. Norberg, LTH

HASTIGHETSFÖRDELNINGAR Hastighetsmaximum sker typiskt kring mitten av tvärsnittet, ca. 0% under ytan baserat på lokalt djup. Förskjutningen beror av sekundärströmning samt viss inverkan av luftmotstånd. Medelhastigheten uppträder närmare botten, kring centrum ca. 60-65% under ytan. α = korrektionsfaktor för kinetisk energi α = A 1 (u/v ) 3 da; endimensionell approximation: α = 1. Ch. 10.1 Strömningslära C. Norberg, LTH

ENDIMENSIONELL, STATIONÄR STRÖMNING Inkompressibel strömning, hydrostatisk tryckvariation Q = V (x)a(x) = konst. z 1 + V 1 g = z + V g + h f z 1 z = L tanθ + y 1 y, L = x x 1 h f f L Vav 4 R h g, V av = V 1 + V R h = D h 4 = A (hydraulisk radie) P L tanθ + y 1 + V 1 g = y + V g + h f Ex. Rektangulärt tvärsnitt Våtlagd omkrets, P = b + y Area, A = b y Hydraulisk radie, R h = A P = Mycket bred kanal, b y R h = y y 1 + y/b Ch. 10.1 Strömningslära C. Norberg, LTH

YTVÅGORS UTBREDNINGSHASTIGHET Betrakta en bred, horisontell kanal med stillastående vatten vid visst konstant djup (kanalbredd b y). En vågfront med amplitud δy rör sig till vänster med hastighet c, vattnets hastighet efter fronten = δv. Fixera en kontrollvolym kring vågfronten. Massbalans ṁ = ρcy b = ρ (c δv )(y + δy) δv = c Bottenfriktion försummas. Impulsbalans y+δy 0 δy y + δy (p 1 p ) b dh = ṁ [ (c δv ) c ] = ρcy b δv y+δy 0 (p 1 p ) b dh = b [ ρg y y + 0 ρg (y + δy) (y + δy) ] δv = g δy c 1 + 1 δy y Eliminera δv c = gy 1 + δy y 1 + 1 δy y I gränsen δy/y 0 (försumbar amplitud): c 0 = gy (Lagrange 1788) Ch. 10.1 Strömningslära C. Norberg, LTH

FROUDES TAL c 0 = utbredningshastighet för små ytvågor på grunt vatten (grunt i förhållande till våglängden). Froudes tal: Fr = V c 0, c 0 = gy h y h = A b 0 (hydrauliskt djup) Ex. rektangulärt tvärsnitt, A = b 0 y y h = y, c 0 = gy. Underkritisk strömning, Fr < 1. Låg hastighet, stort djup. Störningar t.ex. orsakade av ändringar i lutning, hinder o. dyl. kan förmedlas uppströms via små ytvågor, V < c 0. Strömningen kan gradvis anpassa sig till nya förhållanden nedströms. Överkritisk strömning, Fr > 1. Hög hastighet, litet djup. När strömningen uppströms är överkritisk och villkoren nedströms kräver ändring till underkritiska förhållanden så kan denna information inte förmedlas uppströms via ytvågor, V > c 0. Förmågan till gradvisa förändringar är borta. Den nödvändiga förändringen sker abrupt i ett s.k. hydrauliskt språng. William Froude, England, 1810 1879. Ch. 10.1 Strömningslära C. Norberg, LTH

STRÖMNING VID NORMALDJUP Betrakta en kanal med givet konstant tvärsnitt lagd med konstant men liten lutning, S = tanθ, där θ är bottenytans vinkel mot horisontalen. Efter någon viss längd uppnås konstant djup, normaldjupet y n. Arean konstant hastigheten konstant = V 0. Lutning vid normaldjup: S 0 = (z 1 z )/(x x 1 ); oftast extremt liten, θ < 1 (S 0 < 0.0). h f = f (x x 1 ) V0 4 R h g = z 1 z = S 0 (x x 1 ) V 0 = 8g f 1/ R 1/ h S 1/ 0 Reynolds tal kan antas mycket högt; bottenytan skrovlig friktionsfaktorn kan antas konstant. Konstant g/f ger V 0 = C (R h S 0 ) 1/, Q = CA (R h S 0 ) 1/. C = Chézys koefficient (Antoine Chézy, Frankrike, 1718 1789). Med R h i m och SI gäller enligt Chézy: C (30, 90), undre gränsen för trånga, skrovliga kanaler ; övre breda, släta kanaler. Irländaren Robert Manning (1816 1897) föreslog 1891 följande approximation: C = 8g f 1/ R1/6 h n [ m/s] där Mannings n-faktor beror av ytans beskaffenhet. Trots många nya förslag på korrelationer ger Mannings approximation tillräckligt bra resultat vid ingenjörsberäkningar. Ch. 10. Strömningslära C. Norberg, LTH

MANNINGS n-faktor Strömning vid normaldjup (Mannings formel): V 0 (m/s) = n 1 [R h (m)] /3 S 0, Q = V 0 A Tillverkade (rännor, dammavlopp, kanaler, akvedukter,... ) glas 0.010 ± 0.00 koppar 0.011 ± 0.00 stål, slätbehandlat 0.01 ± 0.00 cement, slätmurad 0.01 ± 0.00 trä, hyvlat 0.01 ± 0.00 trä, obehandlat 0.013 ± 0.00 gjutjärn 0.013 ± 0.003 cement, obearbetad 0.014 ± 0.00 stål, målat 0.014 ± 0.003 lertegel 0.014 ± 0.003 stål, nitat 0.015 ± 0.00 tegelsten, cementerad 0.015 ± 0.003 asfalt 0.016 ± 0.003 plåt, korrugerad 0.0 ± 0.005 murad klappersten 0.05 ± 0.005 Grävda kanaler och diken släta 0.0 ± 0.004 grusartade 0.05 ± 0.005 gräsbevuxna 0.030 ± 0.005 steniga, kullersten 0.035 ± 0.010 Naturliga floder och vattendrag släta, raka 0.030 ± 0.005 stora floder 0.035 ± 0.010 djupa, trögflytande delar 0.040 ± 0.010 Översvämmade floder och vattendrag betes- och åkermark 0.035 ± 0.010 lätt snårskog 0.050 ± 0.00 kraftig snårskog 0.075 ± 0.05 skog 0.150 ± 0.050 Medelytråhet, ǫ[mm] (83n) 6, då n < 0.035; ex. n = 0.01 ǫ 1 mm. Ex. rektangulärt tvärsnitt, b = 5.0 m, y = y n =.5 m, θ = 0.0, slätmurad cement n = 0.01 ± 0.00; normalflöde? R h = A/P = 1.5 m; S 0 = tanθ = 0.0035 Q = (61 86) m 3 /s; n = 0.01 71 m 3 /s. n Ch. 10. Strömningslära C. Norberg, LTH

EFFEKTIVA TVÄRSNITT Q = n 1 AR /3 h S0 Vid given area A, lutning S 0 och ytbeskaffenhet (n) fås maximalt normalflöde vid maximal hydraulisk radie, d.v.s. minimal våtlagd omkrets P (R h = A/P). Det absolut mest effektiva tvärsnittet vid given area är således det halvfyllda cirkeltvärsnittet. R h = A P = πr / πr = R = y För varje typ av tvärsnitt gäller att R h = y/ är mest effektivt. Det mest effektiva rektangulära tvärsnittet är således då djupet är halva kanalbredden (y = b/). Rektangulärt tvärsnitt, Q = 5.0 m 3 /s, n = 0.015, S 0 = 0.001 (θ = 0.06 ). Dimensioner för mest effektivt tvärsnitt? Mannings formel y = y n = 1.7 m. Mest effektivt då b = y =.54 m, A = b y = 3.1 m. Samma area, samma (n, S 0 ) fast y n = 1.07 m ( 16%) ger Q = 4.95 m 3 /s, endast ca. 1% mindre flöde. Flödet omkring det mest effektiva tvärsnittet är oftast relativt okänsligt för variationer i djup (vid samma area). Halvcirkeltvärsnitt med samma area (A = 3.1 m ) och samma (n, S 0 ) ger Q = 5.4 m 3 /s (+8.4%); Q = 5.0 m 3 /s innebär y = R = 1.07 m, A = πr = 3.60 m (1% mer area, 34% mindre våtlagd omkrets). Ch. 10.3 Strömningslära C. Norberg, LTH

SPECIFIK ENERGI Låt ẑ beteckna bottenytans vertikala höjd över någon referensnivå. Stationära förhållanden E 1 = E + h f + ẑ där ẑ = ẑ ẑ 1 och E = y + V g (specifik energi). Förutsätt rektangulärt tvärsnitt, konstant bredd b. Flöde per breddenhet: q = Q/b = V y = konst., E = y + q gy de dy = 0 y = y c = (q /g) 1/3 (kritiskt djup) E(y c ) = E min = 3 y c (kritisk specifik energi) Vid kritiskt djup är strömningen kritisk, (V c y c ) = q = g y 3 c V c = gy c Fr c = 1 y < y c Fr > 1 ; y > y c Fr < 1 Ch. 10.4 Strömningslära C. Norberg, LTH

STRÖMNING ÖVER BUMP Rektangulärt tvärsnitt, konstant bredd. Friktion försummas (h f = 0). Givet: V 1, y 1, h; Sökt: y Flöde per breddenhet, q = V 1 y 1 = V y Specifik energi, E 1 = y 1 + q gy 1 E 1 = E + h = y + q gy + h y 3 (E 1 h)y + q g = 0 Ingen lösning för h > h max = E 1 E c = E 1 1.5(q /g) 1/3 h h max, Fr 1 < 1 y + h < y 1 (ytan buktar ned) h h max, Fr 1 > 1 y > y 1 (ytan buktar upp) Ch. 10.4 Strömningslära C. Norberg, LTH

STRÖMNING UNDER SLUSSPORT Rektangulärt tvärsnitt, konstant bredd b, h f = 0, Fr 1 < 1. h = 0 E 1 = E, d.v.s. y 3 E 1 y + q /(g) = 0. En positiv reell rot motsvarande det alternativa djupet, Fr > 1. Vid försumbar kinetisk energi uppströms, E 1 = y 1, fås 1 maximalt flöde då y /y 1 = /3, q max 0.38y 1 gy1, q = Q/b. Potentialteori, fritt utlopp (free discharge) y /H 0.61 q = C d H gy 1 (C d = utströmningsfaktor) C d 0.61 1 + 0.61 H/y1, H/y 1 < 0.5 Om förhållanden nedströms kräver återgång till Fr < 1 uppstår ett hydrauliskt språng. I språnget sker kraftig virvelbildning vilket ger förluster (dissipation). När språnget kommer tillräckligt nära slussporten påverkas flödet, slussporten drunknar, C d minskar, C d = f(y 1 /H, y /H), se problem P10.77. 1 E 1 = y 1 innebär q y 1 gy1, max. flöde därför approximativt. Ch. 10.4 Strömningslära C. Norberg, LTH

HYDRAULISKA SPRÅNG Hydrauliskt språng (hydraulic jump): relativt plötslig övergång från över- till underkritisk strömning samtidigt som djupet ökar. Fr 1 > 1, Fr < 1, y > y 1 Virvelbildning m.m. ger upphov till förluster, s.k. dissipation, uttrycks oftast i förlusthöjd relativt specifik energi uppströms, h f /E 1. Språngets utsträckning ca. 5 nedströmsdjup, L jump /y 5 ± 1. (1.7 < Fr 1 < 1). Klassificering: Fr 1 (1.0, 1.7]: ondulerande språng, stående vågor, h f /E 1 < 0.05 (undular jump). Fr 1 (1.7,.5]: mjukt språng, måttlig virvelbildning, 0.05 h f /E 1 < 0.15 (weak jump). Fr 1 (.5, 4.5]: instabilt, oscillerande språng, pulsationer med kraftiga vågor som skickas nedströms, undviks vid design, 0.15 h f /E 1 < 0.45 (oscillating jump). Fr 1 (4.5, 9.0]: stabil, välbalanserat språng, okänslig för nedströmsförhållanden, rekommenderas vid design, 0.45 h f /E 1 < 0.70, 6 < y /y 1 < 1 (steady jump). Fr 1 > 9.0: kraftigt språng, oregelbunden men oftast OK vid design, 0.70 h f /E 1 < 0.85 (strong jump). Ch. 10.5 Strömningslära C. Norberg, LTH

HYDRAULISKA SPRÅNG TEORI VS. EXPERIMENT Djupökning: η = y = 1 [ 1 + 8Fr ] 1 y 1 1 Dissipationshöjd (höjdförlust): h f = E 1 E =... = (y y 1 ) 3 h f E 1 = 1 8 Relativ dissipation: 4y 1 y > 0 y > y 1 ( 1 + 8Fr 1 3) 3 ( 1 + 8Fr 1 1)(Fr 1 + ) Teori vs. experiment: Ch. 10.5 Strömningslära C. Norberg, LTH