Referens :: Komplexa tal version

Referens :: Komplexa tal version 0.8 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer av typen x 2 + 1 = 0 x 2 = 1 (1) Denna ekvation är olöslig om man bara känner till de reella talen. Vi ser ju att ekvationen leder till att vi måste hitta tal sådana att dess kvadrat blir negativ. Om x är reellt tal så gäller ju att x 2 0 vilket betyder att vi måste hitta en ny typ av tal för att kunna lösa (1). Man använder sin fantasi (Eng: imagination) och definierar därför den imaginära 1 enheten i som det tal som uppfyller i = 1 vilket ska tolkas som att i 2 = 1 (2) och därigenom har man fått en lösning till (1). Mha denna imaginära enhet så kan man sedan vidga vårt talsystem enligt vad vi säger i följande Definition av komplexa tal. Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen z = x + iy, där x, y R och i 2 = 1. x kallas för realdelen till z, Re z = x och y kallas för imaginärdelen till z och betecknas Im z = y. Notera att den imaginära enheten inte är en del av imaginärdelen. Imaginärdelen är det som står tillsammans med i men inte i själv. Mängden av alla komplexa tal skriver vi som C = {z : z = x + iy, x, y R} Notera att denna definition är utvidgning av de reella talen eftersom de reella talen är de komplexa tal vars imaginärdel y är noll. Exempel 1. Låt z = 5 + 3i då har vi att Re z = 5, och Im z = 3 Notera alltså att imaginär delen inte är 3i, vilket man lätt leds att tro när man stöter på komplexa tal för första gången. Komplexa tal i Elkretsteknik Komplexa tal har som vi såg ett ursprung i matematikens önskan att kunna lösa alla typer av polynomekvationer, något som möjligen endast tilltalar matematiker. Man kan därför lätt få uppfattningen att komplexa tal ska vara något abstrakt och oandvändbart. Men faktum är att komplexat tal dyker upp i en mängd tillämpningar. Inte minst inom Elektricitetsläran och speciellt inom elkretsteknik så används komplexa tal flitigt. 1 I den matematiska traditionen så är det naturligt att beteckna den imaginära enheten med i. I Elektrisk Kretsteori däremot, där man i följer traditionerna i Elektromagnetisk teori och betecknar elektrisk ström med i så betecknar man den imaginära enheten istället med j för att slippa risken för förväxling. 1

Ohms lag, impedans och admittans Ohmś lag uttrycker sambandet mellan spänning och ström genom en ren resistans: u(t) = i(t) R, där u(t) är spänningen, i(t) är strömmen och R resistansen. För en spole med ren induktans L och en kondensator med kapacistans C har vi i stället de respektive sambanden u L (t) = L i (t) i(t) = Cu C(t). Sambanden involverar alltså ett beroende av spänningen eller strömmens derivator när det gäller spolar och kondensatorer. Men, genom att introducera komplexa tal och använda dem för att modellera spänningar och strömmar kan man beskriva alla tre fallen i ovan på ett gemensamt sätt som direkt påminner oss om Ohmś lag u(t) = i(t) Z, där Z är kretskomponentens impedans. Impedansen är ett komplext tal som beror av spänning och strömsignalernas vinkelfrekvens dω och vi har Byt R mot Z i Ohm s lag så får vi denna. Z = R(ω) +j X(ω), resistans reaktans Impedansen för våra tre kretskomponenter modelleras enligt De fyra räknesätten Z = R + j 0 = R när vi har en ren resistans Z = 0 + j ωl = jωl ren induktans Z = 0 j 1 ωc = j 1 när vi har en ren kapacitans ωc För komplexa tal gäller samma räkneregler som för reella tal. Det är i princip att räkna precis som vanligt men man samlar ihop realdelar och imaginärdelar för sig och så ska man komma ihåg att göra bytet i 2 = 1 varje gång i 2 dyker upp. Addition, subtraktion: Låt z = x + iy och w = u + iv vara två komplexa tal. Då adderas/subtraheras de på följande sätt: z + w = (x + iy) + (u + iv) = x + u + i(y + v), z w = (x + iy) (u + iv) = x u + i(y v) dvs realdel och imaginärdel adderas/subtraheras för sig. Multiplikation: Två komplexa tal multipliceras: z w = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i 2 yv = xu yv + i(xv + yu). Observera att vi använde i 2 = 1 i den sista likheten! Division: Vid division handlar det ofta att skriva om ett bråk så att bråket har ett reellt tal i nämnaren i stället för ett komplext. Låt oss se hur vi gör i fallet z/w: z w = x + iy (x + iy)(u iv) xu + yv + i(yu xv) = = u + iv (u + iv)(u iv) u 2 + v 2, m.a.o. vi förlänger med vad vi kommer kalla för konjugatet till w = u+iv, dvs med w = u iv. Konjugatet är viktigt och vi behandlar detta i nästa avsnitt. 2

z c Mikael Forsberg version 0.8 6 februari 2013 Exempel 2. Förenkla följande uttryck: 3 + 2i (1 i)(2 + i): 3 + 2i [2 + i 2i }{{} i 2 ] = 3 + 2i [3 i] = 3i = i = 1 Exempel 3. Förenkla kvoten 3+i 2 i : 3 + i 2 i = =5+5i { }} { (3 + i)(2 + i) (2 i)(2 + i) =4+1 = 1 + i Exempel 4. I den elektriska kretsteorin arbetar man även med den så kallade admittansen Y som definieras som Y = 1 Z = 1 R + jx = R jx (R + jx)(r jx) = R R 2 + X 2 j =G X R 2 + X 2 = B = G + jb, där vi använt oss av konjugattricket vi använde vid division. G kallas komponentens konduktans och B dess suseptans Konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal Vi definierade konjugatet z till ett komplext tal z = x + iy genom z = x iy. Geometriskt är detta en spegling av z i den reella axeln, dvs x-axeln. Se figur 1. y z = x + iy x _ z = x - iy Figur 1: Komplexa konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal Absolutbeloppet eller bara beloppet z av ett komplext tal är längden av sträckan mellan origo och vårt tal. I figur ser vi att vi kan använda Pythagoras sats och få följande uttryck för beloppet: z 2 = x 2 + y 2. 3

Vi noterar också att x 2 + y 2 = (x + iy)(x iy) = z z, och detta blir utgångspunkten för definitionen: Beloppet till det komplexa talet z = x+iy definieras som z = z z, Räkneregler för konjugat och belopp Räkneregler för konjugat: 1. (z + w) = z + w 2. zw = zw 3. z w = z w 4. z = z Räkneregler för absolutbelopp: 1. z 2 = zz 2. zw = z w 3. z w = z w 4. z = z Rektangulära och polära koordinater Det finns framförallt två olika sätt att beskriva komplexa tal; på rektangulär form och på polär form. Den rektangulära formen är den beskrivning vi hittills använt. Den polära formen går ut på att beskriva ett komplext tal mha avståndet till origo samt med den vinkel som linjen mellan origo och det komplexa talet bildar till den reella axeln. Detta illustreras i följande figur z = x + iy= r ( cos φ + isin φ ) r = z y = r sin φ φ x = r cos φ Figur 2: Rektangulär och polär beskrivning av komplexa tal I figur två ser vi att vi kan gå mellan de två olika representationerna: 4

Från rektangulär till polär beskrivning: Utgångspunkten är här ett komplext tal på formen z = x + iy och vi vill beskriva z mha beloppet och vinkeln ϕ. Vi kan utnyttja vår triangeltrigonometri och få z = x 2 + y 2 ϕ = arctan( y x ) Exempel 5. Skriv det komplexa talet z = 3 + i på polär form. Vi har att beloppet blir z = ( 3 ) 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 = 2 För argumentet så har vi att tan ϕ = 1 3 = ϕ = arctan 1 3 = π/6 = 30 På miniräknaren står arctan som tan 1 Från polär beskrivning till rektangulär beskrivning: Här ges ett komplext tal mha absolutbelopp z och en vinkel ϕ och vi vill återfå vår rektangulära beskrivining. Vi har att x och y kan uttryckas mha z och ϕ på följande sätt: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Då gäller att z = r(cos ϕ + i sin ϕ), som är vår polära form. Men detta ska ses som en formel för att överföra från polär till rektangulär form: sätter vi in den aktuella radien r och det aktuella argumentet ϕ och utför räkningarna så har vi ett tal på rektangulär form Exempel 6. Ett komplext tal z har absolutbelopp r = z = 3 och argument ϕ = 30 = π/6rad. Beräkna talets rektangulära uttryck. Vi har att z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = 3(cos π/6 +i sin π/6) = 3 2 ( 3 + i) =1/2 = 3 /2 Det finns många gångbara argument Om vi tittar på graferna till sin x och cos x så ser vi att de upprepar sig 1 4 Π 3 Π 2 Π Π Π 2 Π 3 Π 4 Π 1 Figur 3: sin x (blått) och cos x (rött) är periodiska vilket man ser från att funktionernas värden upprepas. Det är inte svårt att se att grafsnutten över intervallet [0, 2π] (markerad med fetare linje) upprepas. I figur 3 illustreras att sinus och cosinus är periodiska funktioner. Detta kan man skriva som sin x + 2nπ = sin x, cos x + 2nπ = cos x, (3) 5

där n är ett godtyckligt positivt eller negativt heltal. När vi ska välja argument till den polära beskrivningen till z = x + iy så såg vi att vi söker vinkel ϕ så att x = r cos φ och y = r sin φ. Har vi väl hittat en sådan vinkel (t.ex. genom att beräkna arctan y/x) så får vi andra godtagbara vinklar genom att addera en heltalsmultippel av 2π, vilket är vad ekvationerna (3) säger. Om vi väljer argumentet i intervallet ( π, π] så säger vi att vi valt det komplexa talets principalargument. Det finns alltså många gångbara argument som vi kan använda för ett givet komplext tal. Detta blir viktigt när vi ska lösa binomekvationer längre fram. Exempel 7. Ange principalargumentet till z = 1 i och ett annat godtagbart argument för detta komplexa tal. Lösning : Vi har att 1 i ligger i fjärde kvadranten med vinkeln π/4 nedanför den reella axeln. Denna vinkel är negativ eftersom vi rör oss medurs från reella axeln för att komma till vårt komplexa tal. Vårt argument arg z = pi/4 ligger i intervallet ( π, π] och är därför principalargumentet för z = 1 i. principalargumentet -π/4+4π -π/4 1-i Figur 4: Principalargumentet för 1 i är π/4. Ett annat argument får vi genom att addera en multippel av 2π till principalargumentet. I figuren har vi adderat 2 2π = 4π och då får vi det nya argumentet π/4 + 4π, som är det argument som är angiven med spiralen. Ett annat godtagbart argument får vi genom att addera en heltasmultippel av 2π till vårt argument. Alla sådana argument har därför formen arg z = π/4 + 2πn, n Z Vi behövde ju bara ange ett av dem så vi kan välja t.ex. n = 10 10100 dvs n är en googolplex, men vi hade kunnat ta någon av 2, 1, 1 eller 2 också. Det enda vi inte kan välja är n = 0 eftersom vi då inte får ett annat tal än principalargumentet. Polär form och exponentialfunktionen I komplex analys visar man att exponentialfunktionen kan vidgas så att den gäller för komplexa tal, dvs så att e z har betydelse för z C och att de vanliga räknereglerna för exponentialfunktionen fortsätter att gälla. Detta innebär att för z = x + iy så ger potensräknereglerna att e z = e x+iy = e x e iy. Den sista faktorn e iy är speciellt intressant eftersom man också kan visa likheten 2 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (4) 2 Likheten (4) kan t.ex. visas genom att båda led löser samma differentialekvation och utnyttjar att differentialekvationer kan bevisas ha entydig lösning. Se t.ex Saff och Snider : Fundamentals of Complex Analysis. Men detta ligger en ganska bra bit utanför denna kurs. 6

Vi kan nu skriva ett komplext tal z = x + iy som z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ, som är mycket trevligt att räkna med tack vare exponentialfunktionens många räkneregler. En viktig observation är också att beloppet av e iϕ är lika med ett, tack vare den s.k. trigonometriska ettan : e iϕ 2 = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ i sin ϕ) = = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + i(sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ) = =sin ϕ cos ϕ =0 = cos 2 ϕ + sin 2 Trigonometriska ϕ = 1 ettan Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal Låt oss betrakta två komplexa tal a och b och låt dem vara givna på polär form: a = re α b = Re β Multiplicerar vi dessa tal så får vi ett nytt komplext tal, c säg, och för detta gäller c = ab = re iα r 2 e iβ = r 1 r 2 e i(α+β) Eftersom vi har den trigonometriska ettan så har vi att c = rr γ = α + β, dvs produktens vinkel är summan av faktorernas vinklar och produktens belopp är produkten av faktorernas belopp! Vi illustrerar detta i figur 3. Exempel 8. För reella tal har vi att roten ur x, x, där x > 0 är det positiva tal a som har egenskapen att a 2 = x. Vi ska nu använda den geometriska tolkningen av multiplikation med komplexa tal för att ge en idé om vad roten ur ett komplext tal ska vara. För roten z av ett komplext tal z så måste gälla att ( z ) 2 = z Om vi sätter z = Re i(ϕ+2πn) och z = re iα så har vi alltså att ( z ) 2 = r 2 e i2α = Re i(ϕ+2πn) = z Eftersom e iφ = 1 så har vi att de två sidornas belopp måste överensstämma r 2 = R r = R = z Sedan måste även de båda sidornas argument överensstämma vilket ger oss 2α = ϕ + 2πn α = ϕ/2 + πn, n Z, där n = 0 och n = 1 ger två unika argument, som genererar två olika lösningar. Argumentet för n = 0 och n = 2 skiljer sig åt med en multippel av 2π och kommer därför att ge samma punkt i det komplexa talplanet. Vi har alltså att z = z e i(ϕ/2+nπ = z e iϕ e inπ = ± z e iϕ, 7

c rr b γ=α+β R r α a β Figur 5: Geometrisk tolkning av komplex multiplikation: När de två komplexa talen a = re iα och b = Re iβ multipliceras som får man ett nytt komplext tal, betecknat med c = r Re i(α+β). c s belopp är produkten av a s och b s belopp. Argumentet för c är summan av a s och b s argument. vilket följer eftersom { e inπ 1 om n jämn = 1 om n udda. Sammanfattar vi detta så har vi att roten ur ett komplext tal är ett tal vars argument är hälften av talets argument och har ett belopp som är roten ur talets belopp. a 2 = z = z = a = z e (i arg z)/2 Exempel 9. Ett exempel på föregående exempel: Beräkna i. Vi har att i = 1 och arg i = π/2. Föregående exempel ger oss därför att i = ± e (i arg 2 i)/2 = ±e iπ/4 = ±(cos π/4 + i sin π/4) = ± (1 + i) 2 = 2 /2 = 2 /2 De Moivres formel De Moivres formel säger (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin ϕ (5) Om man tänker på binomialsatsen så förstår man att denna formell inte är självklar. Däremot när vi nu vet att det som står i parantesen till vänster är e iϕ så följer (5) lätt av räknereglerna för exponentialfunktionen: ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = (e iϕ ) n = e iϕn = cos nϕ + i sin nϕ e iϕ 8

Exempel 10. Om vi tar n = 2 i de Moivres formel (5) så får vi, där vänster led utvecklats cos 2 ϕ sin 2 ϕ + 2i cos ϕ sin ϕ = cos 2ϕ + i sin 2ϕ. Eftersom två komplexa tal är lika precis om deras real och imaginärdelar är lika så ger denna likhet oss två väl bekanta trigonometriska formler cos 2ϕ = cos 2 ϕ sin 2 ϕ realdelen sin 2ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ imaginärdelen DeMoivres formel kommer alltså från en egentligen en ganska enkel egenskap för exponentialfunktionen. I nästa exempel ska vi utnyttja en annan egenskap e i(α+β) = e iα e iβ (6) Exempel 11. Vi ska visa de trigonometriska additionsreglerna som man kan hitta i vilketn matematisk formelsamling som helst. Vi har nu alla verktyg vi behöver för att visa att Vi använder oss av ekvation (6): sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β (7) cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β (8) cos(α ± β) + i sin(α ± β) = e i(α±β) = e iα e ±iβ = (cos α + i sin α)(cos β ± i sin β) =cos α cos β sin α sin β+i(sin α cos β±cos α sin β) Från detta får vi att de två sidornas realdelar är lika ger oss ekvation (8) och (7) följer av att imaginärdelarna ska vara lika Den binomiska ekvationen Ett binom är ett polynom med två termer: b(z) = a 1 z m + a 2 z n, Antag (WLOG) 3 m > n. När man ska hitta nollställen till detta binom så börjar man med att faktorisera binomet: z n (a 1 z m n + a 2 ) Den första faktorn ger nollstället 0, medan den andra faktorn ger andra nollställen. När vi i fortsättningen talar om ett binom menar vi ett polynom av typen p(z) = az n b, (9) ty de intressanta nollställena till ett allmänt binom kommer alltid från ett sådant binom, vilket var vad vi visade i ovan. Exempel 12. Den binomiska ekvationen (9) kan skrivas på formen och denna ska vi nu lösa! z n = a, 3 WLOG står för Without Loss Of Generality som betyder utan förlust av allmängiltighet och används för att ange att ett antagande inte ger ett svagare resultat, bara enklare räkningar. I detta fall gäller att vi har två hela tal m n och då kan vi alltid låta m beteckna det större heltalet. 9

Tricket här är att utrycka allt på polär form. När vi skriver a på polär form har vi uppräkneligt många val av argument. Om vi väljer en vinkel α 0 i principalområdet (α 0 ( π, π]) så kan vi skriva alla andra möjliga vinklar som Med a = r så får vi Skriver vi z = Re iφ, så får vi ekvationen α = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... a = re i(α+2πn), N = 0, ±1, ±2,.... R n e inφ = re i(α+2πn) Detta leder till ett system av två ekvationer, en för beloppet och en för argumentet: R n = r (beloppen lika) nφ = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... Den första ekvationen leder till att R = r 1 n. Den andra leder till att φ = α 0 n + 2π N, N = 0, ±1, ±2,.... n Notera att eftersom e iθ+2mπ = e iθ, m Z (e iθ är 2π periodisk eftersom cosinus och sinus är det) så gäller att endast n stycken av ovanstående vinklar är olika. Därför får vi n stycken olika lösningar till vår binomekvation: z = r 1 n e i( α 0 n + 2π n N), N = 0, 1,..., n 1. Exempel 13. Lös ekvationen z 4 + 1 = 0 Lösning:: Ekvationen, som kan skrivas som z 4 = 1, blir på polär form z 4 e 4iθ = e i(π+2πk), k godtyckligt heltal Ekvation för beloppet:: z = 1 Ekvation för argumentet:: 4θ = π + 2πk θ = π/4 + kπ/2 Fyra på varandra följande värden på k ger våra fyra lösningar för argumentet. Lösningen sammanställs nu som z = e i(π/4+kπ/2), där k = 0, 1, 2, 3. k=1, 5, 9,... k=0, 4, 8,... -1 k=2, 6, 10,... k=3, 7, 11,... Figur 6: För varje heltasvärde på k så får vi en av de fyra svarta punkterna. Notera att de är jämnt utspridda på cirkeln och att den första (k = 0) har argument som är en fjärdedel av argumentet för vårt högerled 1. 10

-1+i 3 k=0, 2, 4,... 2 2 k=1, 3, 5,... Figur 7: Den yttre röda cirkeln har radien 2 som är beloppet 1 + i 3 = 2. Den inre svarta cirkeln har radien 2. Lösningarna till vår binomekvation ligger på denna inre cirkel. Notera att de svarta punkterna kan tolkas som ± 1 + i 3 i enlighet med exemplen 8 och 9 Exempel 14. Lös ekvationen z 2 = 1 + i 3. Lösning:: Börja med att ställa upp ekvationen på polär form, där vi noterar att 1 + 3 i = ( 1) 2 + ( 3 ) 2 e 2π/3+2πk = 2e 2π/3+2πk Vi får Detta ger oss en ekvation för beloppet: och en ekvation för argumentet ( z e iθ ) 2 = z 2 e 2iθ = 2e 2π/3+2πk z 2 = 2 z = 2 e 2iθ = e (2π/3+2πk)i θ = π/3 + πk, k = 0, 1 Vi får alltså argumenten π/3 och 4π/3 och lösningarna blir därför z = 2 e iπ/3 = ( 1 + i ) 3 2 6 2 = 2 2 + i 2 och z = 2 e i4π/3 = z = 2 e iπ/3 }{{} e iπ = ( ) 2 6 2 e iπ/3 = 2 + i 2 = 1 Exempel 15. Lös ekvationen z 5 = 3 + i Lösning:: Skriv ekvationen på polär form: r 5 e 5θ = 2e i5π/6+2πk Detta ger oss att beloppet för z blir z = r = 2 1 5 5 = 2. Argumentet blir. θ = π 6 + k 2π 5 = 30 + k 72, k = 0, 1, 2, 3, 4 11

150 3-i k=2, 7, 12... k=1, 6, 11,... k=0, 5,10,... 2 30 k=-2, 3, 8,... k=-1, 4, 9,... Figur 8: Här ligger rötterna på den inre cirkeln som har radien 5 2 1.15. Punkterna är jämnt utspridda med vinkeln 72 = 360/5 mellan sig. Den första punkten, dvs för k = 0 har ett argument som är en femtedel av argumentet för 3 i (som är 150 ) och blir därför 30. Nollställen till andragradspolynom Nu ska vi lära oss hitta nollställena till ett polynom som har komplexa koefficienter. Låt oss titta på ett exempel: Exempel 16. Vi låter p(z) = z 2 +(1+i)z (6+2i). För att hitta nollställena kan vi inte använda den gamla formeln eftersom vi inte vet vad roten ur ett komplext tal innebär. (se Komplex Analys) Däremot kan vi kvadratkomplettera i ekvationen p(z) = 0: (z + 1 2 (1 + i))2 1 4 (1 + i)2 = (6 + 2i), som blir (z + 1 2 (1 + i))2 = 6 + 5 2 i. Genom att göra substitutionen w = z + 1 2 (1 + i) så får vi den enkla ekvationen w 2 = 6 + 5 2 i. Sätt nu w = x + iy så ger ekvationen att x 2 y 2 = 6, och 2xy = 5 2. Det finns också en tredje ekvation som är väldigt användbar här; Att två komplexa tal är lika 12

betyder att deras belopp också är lika. Vi får: w 2 = w 2 = ww = x 2 + y 2, 6 + 5 2 i = 36 + 25 4 = 144 + 25 4 = 13 2. Följande ekvationssystem ger lätt lösningar för x 2 och y 2 : x 2 + y 2 = 13 2 x 2 y 2 = 6. Man får alltså x 2 = 25 4 och y2 = 1 4 Den tredje ekvationen visar att x och y har samma tecken vilket ger att w = ±( 5 2 + i 1 2 ). Nu var det ju z vi sökte och vi har att z = w 1 2 (1 + i) så vi får att { z = 1 2 (1 + i) ± (5 2 + i1 2 ) = 2 3 i. 13