Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det som gås igenom här ska inte på något sätt ses som heltäckande utan är helt enkelt till för att bekanta sig med dessa funktioner. Pythagoras sats ges som bekant av a + b = c () Där a och b är längden på respektive katet i en rätvinklig triangel och c är längden på hypotenusa. Pythagoras sats kan bevisas på väldigt många olika sätt och det nns hemsidor dedikerade åt endast detta. Ett sätt att bevisa pythagoras sats kan fås genom att betrakta kvadraten nedan. a c b Figur : Pytagoras sats Övning : Bevisa pythagoras sats med hjälp av gur. Cosinus och sinus är denierade utifrån enhetscirkeln. Betrakta gur. Givet en vinkel α, som mäts enligt gur, så får man denitionen på cosinus och sinus som är x respektive y koordinaten på enhetscirkeln. Det vill säga x = cos α () y = sin α () Med hjälp av vinkeln α kan man alltså nå alla x och y på enhetscirkeln.
(0, ) (, 0) sin α α cos α (x, y) (, 0) (0, ) Figur : Enhetscirkeln Övning : Visa trigonometriska ettan cos α + sin α = med hjälp av enhetscirkeln och pythagoras sats Övning : Visa med hjälp av enhetscirkeln att cos ( α) = cos (α) Övning 4: Visa med hjälp av enhetscirkeln att sin ( α) = sin α Ett vanligt och praktiskt vinkelmått som används inom matematiken är radianer. Begreppet radianer är också denierad utifrån enehetscirkeln (gur ). Genom att starta i punkten (, 0) och sedan följa enhetscirkeln moturs tills man kommer tillbaks till (, 0) igen så säger man att vinkeln har ändrats med radianer. I grader säger man att vinkelförändingen är 60. Det vill säga: 60 = rad = 80 rad (4) Betrakta nu en större cirkel med radien r med origo i (0,0), se gur. Multipliceras () och () med denna radie så kan man nå alla punkter i xy-planet (genom att variera radien r och vinkeln α). x = r cos α (5) y = r sin α (6)
(0, r) ( r, 0) r (,0) (r, 0) (0, r) Figur : Cirkel med radie r Övning 5: Med hjälp av gur samt ekvationerna (5) och (6) visa att i en rätvinklig triangel gäller sin α = cos α = Motstående katet Hypotenusa Närliggande katet Hypotenusa Några vanligt förekommande vinklar är 0,,,, 4, 6 och det är viktigt att man behärskar cosinus och sinus av dessa standardvinklar. Några av dessa vinklar kan fås genom att betrakta vissa trianglar. Se gur 4. (7) Figur 4: En rätvinklig och en liksidig triangel
EXEMPEL : Cosinus av 6 fås genom att betrakta den liksidiga triangeln i gur 4. I en liksidig triangel är alla vinklar lika stora, och eftersom summan av vinklarna i en triangel är så vet vi att varje hörn har vinkeln. En rätvinklig triangel bildas sedan ur den liksidiga genom att dela det översta hörnet med en linje, se gur 4. Det översta hörnet i denna rätvinkliga triangeln har alltså vinkeln 6 rad. Vi ser att den närliggande kateten är enligt guren och hypotenusan är. Utnyttjar vi resultatet i övning 5 har vi alltså: cos 6 = Övning 6: Med hjälp av trianglarna i gur 4 och enhetscirkeln i gur fyll i resten av tabell. α cos α sin α 6 4 0 Tabell : Några standardvinklar för cosinus och sinus Ett par trigonometriska formler för cosinus och sinus kommer att slutligen presenteras i detta dokument. Två användbara formler är sinus samt cosinus för dubbla vinkeln och ges av sin α = sin α cos α (8) cos α = cos α sin α (9) Övning 7: Med hjälp av (9) samt trigonometriska ettan, visa att cos α = cos α samt cos α = sin α. 4
Additions- och subtraktionsformler för cos och sin presenteras nedan. Subtraktionsformeln för cosinus (0) kommer att bevisas senare i linjär algebra kursen och de återstående formlerna (-) kan sedan härledas med hjälp av denna och några trigonometriska samband. Även formlerna för dubbla vinkeln är special fall av () och (). cos (α β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) (0) cos (α + β) = cos (α) cos (β) sin (α) sin (β) () sin (α β) = sin (α) cos (β) cos (α) sin (β) () sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) () Övning 8: Visa trigonometriska ettan, cos α + sin α =, med hjälp av subtraktionsformeln för cosinus (0) Tips övning : Hitta två stycken uttryck för arean av den större kvadraten, sätt dem lika med varandra och förenkla sedan. Referenser [] Analys i en variabel. Arne Person, Lars-Christer Böiers. Studentlitteratur, Lund. Denna bok i analys beskriver mer ingående de trigonometriska funktionerna och går till exempel att hitta i Matte-biblioteket. [] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml, 00-08-6 Hemsida med bland annat 86 bevis för pythagoras sats. 5