MA4021 Vektorgeometri, Projekt 2

HH/IDE/BN Projekt 2 1 MA4021 Vektorgeometri, Projekt 2 Allmänt Skriv klart och tydligt. Motivera väl! Tänk på att skriva så att fler än ni själva förstår vad ni menar. Rita alltid tydliga figurer där variabler och parametrar tydligt framgår! Ha ett reflekterande förhållningssätt! Välskriven rapport i Mathematica redovisas och inlämnas enligt planeringen! Uppgifter och pyssel Grupp 1 1. När Tomtefar blandar sina tre olika glöggsorter i volymförhållande 1 : 2 : 4 får blandningen en alkoholhalt på 35 %. Om de blandas i volymförhållande2 : 3 : 1 blir alkoholhalten 40 % och om de blandas 3 : 1 : 5 blir den 30 %. Bestäm nu alkoholhalten i var och en av Tomtefars tre glöggsorter. Studera häftet "Något om Minsta kvadratmetoden..." och berätta för eleverna. Vid sidan om de exempel som finns där ska följande utredas. 2. Huskatten har tröttnat på mössdieten och övergått till torrfoder. På förpackningen hittar Tomtarna följande doseringstabell. Kattens vikt m kg 2 3 4 5 6 Foder dag f g 40 50 60 70 75 Ta hjälp av MKM för att anpassa en rät linje till värdena. Är detta en realistisk modell? Om inte, föreslå en ny! Börja med följande problem som finns "löst" i Vektorhäftet på s. 19. Hur blir det om man har fler linjer än två som riktas mot punkten? Utgående från SKF-modellen i MKM-häftet för att se hur rund en kula är, kan man gå vidare till att bestämma "skärningspunkten" mellan flera cirklar eller klot, vilket används vid mobiltelefoni och GPS navigering. Leta efter lite material på nätet och berätta om detta. 3. När lantmätare gör uppmättningar i en terräng används oftast en metod där man från två kända punkter tar ut syftlinjen mot en sökt punkt. På grund av mätfel kommer inte syftlinjerna att skära varandra utan man söker istället det läge där syftlinjerna är som närmast varann. Som den sökta punktens läge kan man då t.ex. välja den punkt som ligger mitt mellan linjerna och avståndet mellan linjerna får bli ett mått på mätningens noggrannhet. Vid en uppmätning var den ena kända punkten 11, 19, 30 och den sökta punkten i riktning 25, 12, 1. För den andra kända punkten var läget 32, 1, 29 och riktningen 10, 14, 1. Bestäm den sökta punktens läge samt mätningens noggrannhet.

2 Projekt 2 HH/IDE/BN Grupp 2 4. Av ett gammalt recept framgår det att Tomtemors smörringar bakas av smör, socker, vetemjöl och skummjölkspulver. Tyvärr framgår det inte av receptet i vilka proportioner dessa ingredienser skall blandas. Däremot kan man utläsa att 100 g deg innehåller 24.1 g fett, 55 g kolhydrater, 7.5 g protein och 500 kcal. På förpackningarna till de olika ingredienserna kan man avläsa att 100 g innehåller fett kolhydrater protein kcal smör 80 0 0 800 socker 0 100 0 400 vetemjöl 0 75 10 350 skummjölkspulver 1 50 35 400 Bestäm hur många gram som behövs av varje ingrediens så att det räcker till 500 g deg (º60 st smörringar). Studera häftet "Något om Linjärprogrammering..." och berätta för eleverna. Vid sidan om de exempel som finns där ska följande utredas. 5. Tomtefar vill hålla kor och får. Plats finns för maximalt 50 kor och 200 får. Vidare finns det tillgängligt 72 ha betesmark. En ko behöver 1 ha och ett får behöver 0.2 ha årligen. Tomtefar kan tillsammans med nissarna avvara 10 000 arbetstimmar per år för att sköta djuren. En ko kräver 150 timmar och ett får kräver 25 timmar. Nettovinsten per ko beräknas till 250 kr och per får till 45 kr. Hur ska Tomtefar hålla djur? Formulera problemet och lös det med lämplig metod. Rita figur över situationen. Missa inte den spännande historien om LP! Leta på nätet efter lite kuriosa och tillämpningar! Kanske något om Simplexmetoden och den modernare Karmarkars metod.

HH/IDE/BN Projekt 2 3 Grupp 3 6. Med hjälp av tre linor är en motvikt uppriggad i Tomteverkstans tak, se figur. Sök spännkrafterna i de tre linorna! Läs lite om tillämpningar inom ekologi i "Något om Matriser..." s. 22-26. Lös nästa uppgift om tomtarnas djurhållningsproblem. Hur många 2- och 3-åriga grisar slaktas varje jul? 7. Tomtarna vill ha en stabil och självförsörjande uppsättning grisar. Denna kan beskrivas med sambandet x t+1 = Ax t, där x t är en vektor med antalet grisar av åldern 1, 2 respektive 3 år vid ett 0 2 1 visst år t, x t+1 upppsättningen året därpå och A = s 0 0. Första raden i A anger hur många 0 0.7 0 l åringar som produceras av varje gris i de olika årskullarna, rad två och tre anger hur stor andel av grisarna som överlever till 2 respektive 3 åringar. Alla 4 åringar tas bort. Bestäm s samt årskullarnas storlek om tomtarna vill ha totalt 30 grisar. Exemplet med ugglor och möss brukar kallas Volterra-Lotkas jägar-byte modell och var formulerad på diskret form, exempelvis tillståndet en gång om året. Om man gör en kontinuerlig form, hamnar man i differentialekvationer istället. Exempel: Volterra Lotkas jägar byte modell. Studera ett stort skogsparti där endast rävar och kaniner lever. Uppgiften blir att studera djurens utveckling över tiden. När de lever i den bästa av världar, det villl säga ostörda, bygger modellen på följande förutsättningar Vid tidpunkten t finns det k t st kaniner och r t st rävar. Rävarnas enda föda är kaniner vars föda det finns i överflöd. Vid avsaknad av rävar gör kaniner det dom är bäst på och ökar sin population enligt Malthus lag, k ' t =a k t. Vid avsaknad av kaniner svälter rävarna ihjäl. Även detta enligt Malthus lag, r' t =-b r t. Då det finns både kaniner och rävar i skogen är det rimligt att anta att antalet kaniner som dödas per tidsenhet av rävarna är proportionellt mot både antalet kaniner och antalet rävar. Kaninekvationen korrigeras alltså till k ' t =a k t - g k t r t. Med samma betraktelsesätt får vi då att rävarnas antal ökar. Så rävekvationen korrigeras till r' t =-b r t +d k t r t. Då har vi

4 Projekt 2 HH/IDE/BN BVP k ' t =a k t - g k t r t r' t =-b r t +d k t r t k 0 = k 0 r 0 = r 0 ODE BV Detta är ett system av icke-linjära differentialekvationer av första ordningen. De går inte att lösa analytiskt utan vi får tillgripa den numeriska lösaren i Mathematica. Vi väljer lite numeriska värden och öppnar skådespelet. kår t_ k t, r t. NDSolve k' t 4 k t 0.02 k t r t, r' t 0.9 r t 0.001 k t r t, k 0 200, r 0 200, k t, r t, t, 0, 25 First InterpolatingFunction 0. 25., <> t, InterpolatingFunction 0. 25., <> t Några bilder kan inte skada Plot Evaluate kår t, t, 0, 25, PlotStyle Gray, Red, AxesLabel "t", "kaniner,rävar" ; kaniner,rävar 2500 2000 1500 1000 500 5 10 15 20 25 t Man kan rita lösningarna på parameterform och bilda ett så kallat fasporträtt. Då t ökar vandrar punkten k t, r t med t som parameter utmed en sluten kurva enligt pilen i figuren nedan. Om vi t.ex. befinner oss i punkten A så kan vi förvänta oss att i en nära framtid så ökar antalet rävar medan antalet kaniner minskar. Needs "Graphics`Arrow`" ; SetOptions Arrow, HeadCenter 0.7 ; ParametricPlot Evaluate kår t, t, 0, 5, PlotRange 100, 350, PlotStyle Blue, AxesLabel "kaniner", "rävar", Epilog Blue, Arrow kår 2.2, kår 2.21, Text "A", kår 2.1, Background Automatic ; rävar 350 300 250 200 A 150 500 1000 1500 2000 2500 kaniner Vi kan göra en ekologisk betraktelse genom att studera en bukett av kurvor sprungna ur olika (BV). Antag att vi befinner oss i punkt P 1 i figuren och att vi efter t.ex. ett mänskligt ingripande "reducerar" antalet kaniner så vi hamnar i punkten P 2 på en annan kurva i fasplanet. En tid senare får detta som effekt att vi befinner oss i Q 2 i stället för Q 1, det vill säga antalet kaniner är fler än vad de skulle varit om vi lämnat skogen ifred. Bra exempel på kontraintuitiv mänsklig insats! Vad händer om man gör insatser på rävar/kaniner vid andra tidpunkter?

HH/IDE/BN Projekt 2 5 rävar 350 300 250 200 P 2 P 1 Q 1 Q 2 150 500 1000 1500 2000 kaniner Denna modell introducerades av den italienske matematiken Vito Volterra i samband med hans studier av fiskbeståndet i Adriatiska havet under 1920-talet. Modellen är generell och kan genom olika val av proportionalitetskonstanter och (BV) anpassas till olika arter av djur. Leta på nätet om ni kan hitta något skojigt om populationsmodeller att berätta om eller något om namnet bakom modellerna.