Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maimalt poäng. 0 poäng: U. 4 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 07 76 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. (a) Här är grafen för en funktion. Skissa grafen för dess derivata. Derivatan måste vara noll för = och =. Den är negativ däremellan (eftersom det lutar neråt). Som brantast är det vid = 0, en ungefärlig uppskattning av lutningen ger att f (0). Det lutar uppåt utanför detta område, så derivatan är positiv där. Som störst är den i ändpunkterna, en mcket ungefärlig uppskattning är f (±). I övrigt så sker inga plötsliga förändringar, så derivaran bör vara kontinuerlig. Skiss (eller snarare helt korrekt bild): Rättningsnorm: p för en smmetrisk, kontinuerlig kurva vars halvor är monotona, som är nere i det negativa området för < < och uppe i det positiva för < och >. p om positiv/negativ är rätt, men någon annan uppräknad egenskap saknas. (b) f ()=. Bestäm f () med hjälp av derivatans definition. Derivatans definition ger: ( f f (+h) f () (+h) ) ( ) ()= lim = lim h 0 h
MAA4 Lösning Sida (av 6) 8+8h+h 8+ 8h+h = lim = lim = lim(8+h)=8+0=8 h 0 Rättningsnorm: Ställt upp rätt uttrck att beräkna (sista uttrcket på första raden): p. Korrekt räknat ut det: p. Beräkna derivatan av nedanstående funktioner. (Deriveringsreglerna får användas.) (c) arccos ln Kedjeregeln ger d d arccos ln = d (ln ) d ln = (ln ) (d) e Produktregeln, kedjeregeln och potensreglerna ger d d ( e )=( d d / ) e + / ( d d e )= / e + / e Rättningsnorm: Gäller både (c) och (d): Helt rätt: p. Ett enstaka deriveringsfel: p. Vi har funktionen f, där f ()= cos +cos. Bestäm definitionsmängd, värdemängd och eventuella ma- och minpunkter och asmptoter för f, och skissa grafen. (8p) Nämnaren blir aldrig noll, för det skulle fordra att cos var. Inga vertikala asmptoter, alltså, ochd f =R. cos är en periodisk funktion, med perioden π, och det gör både täljare och nämnare periodiska. Då är hela funktionen periodisk, också den med perioden π. Då kan det varken finnas horisontella eller sneda asmptoter, dessa fordrar att funktionen lugnar ner sig då blir stort. Derivata: d f sin (+cos ) cos ( sin ) sin = = d (+cos ) (+cos ) Derivatan är noll då täljaren är noll: sin =0 sin =0 =nπ Funktionen är som sagt periodisk, så det räcker att vi klassar dessa kritiska punkter inom en period. Nämnaren i derivatan är en jämn kvadrat och därmed positiv, så det räcker att titta på täljaren då vi bestämmer tecknet. Värden: π 0 π f () 0 + 0 0 + f () ց min ր ma ց min ր f (π)= f ( π)= cosπ +cosπ = = f (0)= cos 0 cos 0 = + =
MAA4 Lösning Sida (av 6) Detta ger attv f = [, ]. Nollställen: f ()=0 cos =0 =± π + nπ Graf: 0 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 0 Rättningsnorm: Delmoment i beräkningen: () Definitionsmängd () Korrekt derivata () Korrekt genomförd anals av de kritiska punkter man fått fram (4) Graf konsistent med det man kommit fram till (5) Korrekt bestämning av kritiska punkter (6) Korrekt värdebestämning för de kritiska punkterna (7) Korrekta nollställen (8) Förklaring av varför asmptoter ej finns (9) Värdemängd i klartet. Punkt ger p var. Punkt 4 ger p, p om det finns någon mindre avvikelse. Ytterligare p om man har med minst av punkterna 5 9. (a) Om man säger att =a är en mapunkt för funktionen f, eakt vad menar man? (Vi söker den formella definitionen.) Frågan är otdligt formulerad, eftersom det inte framgår om det är definitionen av global mapunkt eller lokal mapunkt som efterfrågas. Därför godtas båda definitionerna. f (a) f () för alla id f (om man menar global )/nära =a (om man menar lokal ). Rättningsnorm: För full poäng måste man ha (och inte > ), och man ska ha med antingen id f eller nära =a. (b) Bevisa att derivatan i en deriverbar mapunkt som inte är en ändpunkt måste vara noll. (Detta kallas Fermats sats.) (4p) Vi antar att f är definierad och deriverbar i =a och i ett område på båda sidor om denna punkt, och att =a är en mapunkt. Nu kan vi med hjälp av derivatans definition studera derivatavärdet, och vi gör separata höger- och vänstergränsvärdesberäkningar. Eftersom det var sagt att =a är en mapunkt så vet vi att f (a+h) f (a), vilket medför att f (a+h) f (a) 0. negativ eller noll f (a+h) f (a) lim = negativ eller noll h 0 + h f f (a+h) f (a) positiv (a)= lim = negativ eller noll f (a+h) f (a) lim = positiv eller noll h 0 h negativ Det var sagt att derivatan var definierad, dvs. att gränsvärdet finns, dvs. att höger- och vänstergränsvärdena är lika. Om något positivt eller noll är lika med något negativt eller noll måste förklaringen vara att eller noll gäller. Så f (a)=0 V.S.B. Rättningsnorm: Svårt att bedöma hur svaren kan se ut; preliminärt poäng efter hur stor del av lösningen man åstadkommit. (c) Är det sant att en punkt med derivatan noll måste vara en etrempunkt? Motivera!
MAA4 Lösning Sida 4 (av 6) Nej. Den kan också vara en terrasspunkt, en där derivatan har samma tecken på båda sidorna. Då finns det både punkter med högre funktionsvärde och lägre funktionsvärde i den närmsta omgivningen. Rättningsnorm: p för nej, p för motivering. 4 (a) En låda hänger i ett m långt rep, som går över en trissa. Repets andra ända sitter fast i en lastbil. (Se bilden.) I det avbildade ögonblicket kör lastbilen framåt med farten,8 km/h. Hur snabbt åker lådan uppåt? 6 m 8 m (4p) Kalla avstånd låda bil för, avstånd låda trissa för och avstånd trissa bil för z. Just nu är =8 m, och d dt=,8 km /h. Vi söker d dt. +z= (de två repdelarna sammantaget är hela repet), vilket ger att = z, som ger dz dt= d dt. Pthagoras ger att z= + 6. dz dt = dz d d dt = d + 6 dt ={just nu}= 8,8 8 + 6 = 8,8 0 km/h= 8,8 0,6 m /s=0,4 m /s Svar: Lådan åker uppåt med hastigheten 0,4 m /s. Rättningsnorm: Beräkning som leder till rätt svar: 4p. Någon konstruktiv åtgärd (som att sätta namn på saker): p. Poäng däremellan utgående från hur stor del av lösningen man fått ihop. Vi studerar nu funktionen f, där f ()=arctan +. (b) Bestäm tangenten till kurvan = f () för =0. För att få fram en linje behöver vi en lutning och en punkt: (p) f (0)=arctan( 0)+ =arctan 0+=0+= f ()= +() +0= +4 f (0)= +4 0 = =( 0) =+ Det hela ser ut så här:
MAA4 Lösning Sida 5 (av 6) Svar: =+ Rättningsnorm: p för derivering, p för bestämning av f (0) och f (0), p för sammanställande av informationen till en linjeekvation. (c) Bestäm ett närmevärde till f (0,). (p) Tangenten är en linjär approimation av funktionen, och ger ett hfsat närmevärde för nära tangeringspunkten: f (0,) 0,+=, (Räknare ger f (0,),9795560.) Rättningsnorm: p om man korrekt utnttjar tangenten från (b), oavsett om den var rätt eller fel.