Lösningar till Matematisk analys 4,

Relevanta dokument
Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

Tentamen: Lösningsförslag

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Övningstenta: Lösningsförslag

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

Tentamen: Lösningsförslag

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Lösningar till Matematisk analys

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

= 0 genom att införa de nya

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

y= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Dubbelintegraler och volymberäkning

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

Tentan , lösningar

Vektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

Lösningsförslag envariabelanalys

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

SF1626 Flervariabelanalys

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare

Lösningsförslag till TATA42-tentan

20 Integralkalkyl i R 3

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Kontrollskrivning 1A

Lösning till kontrollskrivning 1A

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Transkript:

Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k + k + k + k + +0 k, +0 k och eftersom k är en divergent standardserie följer av ett jämförelsekriterium för positiva serier k att k a k divergerar. Serien k b k är alternerande. Vi har att b k e /k är avtagande i k för k,,... ty e x är växande i x, ochviharocksåatt b k e /k e 0 0då k,ochalltså konvergerar k b k enligt Leibniz konvergenskriterium för alternerande serier. För serien k c k notera att c k+ c k k +! 4 k+ k +! k! k! 4 k k +! 4 k+ k +! k! k! 4 k 4k + k + > för k,,..., k +k + k + varav fås att c <c <c 3 <...Alltså gäller ej att c k 0då k,ochsåledes divergerar k c k. b Eftersom y0 och y 0 0 kan den sökta potensserielösningen skrivas y + a k x k, och eftersom potensserier kan deriveras termvis ger derivering att y ka k x k och att y kk a k x k. k k k Insättning i den givna differentialekvationen ger sedan att x x kk a k x k + x ka k x k + x + a k x k 0. k k k Men x + a k x k x + a k x k+, k k

och k x ka k x k ka k x k x k k k l0 k ka k x k ka k x k ka k x k+ l +a l+ x l+ ka k x k+ }{{}}{{} Sätt l k Byt l mot k k +a k+ x k+ ka k x k+ a x +3a 3 x + k +a k+ x k+ ka k x k+ k0 k k k a x +3a 3 x + k k k +ak+ ka k x k+ k x x kk a k x k x kk a k x k x 3 k k l0 k k kk a k x k kk a k x k kk a k x k+ l +l +a l+ x l+ kk a k x k+ } {{ } } {{ } Sätt l k Byt l mot k k +k +a k+ x k+ kk a k x k+ k0 a x +6a 3 x + k +k +a k+ x k+ kk a k x k+ k a x +6a 3 x + Sambandet kan därför skrivas 4a +x +9a 3 x + eller ekvivalent Vi får således att samt att och alltså att samt att k k k k +k +ak+ kk a k x k+ k k +k +ak+ +k +a k+ kk a k ka k + a k x k+ 0 k 4a +x +9a 3 x + k + a k+ k k +a k x k+ 0. k k + a k+ k k +a k 0, k, 3,... a k+ 4a +9a 3 0, k k + k + a k, k, 3,... a 4,a 3 0. Av a 3 0ochföljer att a 3 a 5 a 7...0,

dvs att a k+ 0för k,,.... Av a 4 och följer att a4 3 a 4 3 3, dvs att a 6 3 5 4 a 4 4 5 3 5 4, a 8 5 7 6 a 6 4 7 3 5 7 4 6,. a k 4 k 3 5... k för k, 3,... 4... k en sökta potensserielösningen är alltså 3 y 4 x 4 k k 3 5... k 4... k xk Potensseriens konvergensradie bestämmer vi med hjälp av d Alemberts kvotkriterium. Sätt ågäller för x 0att b k+ b k b k k 3 5... k 4... k xk för k, 3,... k + 3 5... k + 4... k x k+ k 4... k 3 5... k x k k k + k x + x 0 + 0 x x k k då k, och enligt d Alemberts kvotkriterium gäller således för x 0 att den erhållna potensserielösningen 3 är absolutkonvergent om x < och divergent om x >. Potensserielösningen är alltså absolutkonvergent om x < ochdivergentom x >, och följdaktligen är potensserielösningens konvergensradie och den erhållna potensserielösningen är lösning till den givna diffrerentialekvationen i intervallet <x<. Anmärkning. Viharatt och alltså att a k 4 3 5... k 3... k k 4... k 4... k 3... k k k... k k 3 5... k 4... k 4 k! k k!, k k! 4 k k 4 för k, 3,... k! k! k k! 3

Vi noterar att slutformeln här ovan för a k stämmer även för k.enerhållna potensserielösningen 3 kan alltså även skrivas k! y 4 k k 4 x k. k! k. tan y + z 4är en rät cirkulär cylinderyta obegränsat lång åt båda hållen med radien och x-axeln som centrumlinje. Låt A vara arean av den del av cylinderytan y + z 4där y x + och låt A vara arean av den del av ytan z där y x +. Eftersom y + z 4 z ± gäller att A A.Avy + z 4följer att y 4 y. Låt vara det område i xy-planet där y, y x +.Sambandet z ger att z x 0, z y y och Enligt formel för area av funktionsyta gäller därför att A + z x + z y + y. + z x + z y dx dy dx dy. Eftersom rita figur x, y y, y x + x + y y, y x y får vi att sökt area y A A 4 dx dy 4 dx dy y 4 8 / 8 [ x ] xy x y u du 8 4 4u / dy 4 y y Gör substitutionen y u. u du 8 u / [ u / arcsin u ] / 8 0 arcsin 8 dy 8 3 π arcsin + arcsin 8 3 + π 8 6 y dy u u / du u 3 arcsin π 3. 3 3. a Inför även komponenterna för vektorn u. Säg att u u,u,u 3. Vi har då att u v u,u,u 3 v,v,v 3 u v 3 u 3 v, u v 3 u 3 v,u v u v u v 3 u 3 v, u v 3 + u 3 v,u v u v 0,v3, v u,u,u 3, v3, 0,v u,u,u 3, v, v, 0 u,u,u 3 0,v3, v u, v3, 0,v u, v, v, 0 u och den påstådda likheten är visad. b Om G är en vektor i rummet låter vi G k för k,, 3, eller när det passar bättre G k för k,, 3, beteckna komponenterna för G. Vihardåatt 4

N F ds Enligt definitionen av vektorvärd ytintegral. N F ds, N F ds, N F 3 ds 0,F3, F N ds, Enligt a. F3, 0,F N ds, F, F, 0 N ds Enligt divergenssatsen tillämpad på varochenavkomponenterna. ivergenssatsen kan så användas enligt de i problemtexten angivna förutsättningarna på, och F. F3 y F dx dy dz, F 3 z x + F z Eftersom F F dx dy dz, x F dx dy dz y x, y, F,F,F 3 z F3 y F z, F3 x F, F z x F y F3 y F z, F 3 x + F z, F x F. y F dx dy dz, och den påstådda likheten är visad. F dx dy dz, Enligt definitionen av vektorvärd volymintegralintegral. Fdx dy dz, F dx dy dz 3 4. Vi beräknar kurvintegralen genom att använda Stokes sats. Sambanden x + y + z 5,z 0geratt z 5 x y.låt beteckna den del av halvklotytan z 5 x y där x + y. En parametrisering av ytan är x u, y v, z 5 u v, u + v. Med ru, v u, v, 5 u v får vi att r, u, v u 0,, r 5 u v 0, u, v v, och 5 u v r u, v r u, v u 5 u v, v 5 u v,, och vi noterar att ytnormalen r u, v r u, v till pekar uppåt i den införda parametriseringen. Låt vidare N vara den uppåtriktade enhetsnormalen till.meddessa beteckningar har vi att xyz 3 +yz dx + xz + x z 3 dy + xyz +3x yz dz γ 5

+ Enligt Stokes sats. xyz 3 +yz,xz + x z 3, xyz +3x yz N ds u +v 0, yz, z N ds Enligt den införda parametriseringen av. 0, v 5 u v, 5 u v u 5 u v, v 5 u v, dudv u +v s +t v 5 u v dudv u +v Gör substitutionen s u, t v u s +,v t, substitutionens funktionaldeterminant du,v s + +3t 5 dsdt s +t ds,t. u +3v 5 dudv s +s +3t 4 dsdt Eftersom s är udda i s och området s + t är symmetriskt kring s 0 s +3t 4 dsdt s +t 0 r 0 θ<π s +t Eftersom området s + t är symmetriskt i s och t. s + t +3 s + t 4 dsdt s + t dsdt s +t Inför polära koordinater s r cos θ, t r sin θ. r rdrdθ4π 0 r 3 r [ ] dr 4π 4 r4 r 0 3π. 5. Låt kurvan γ vara ett varvmoturslängs den kvadratiska kurvan med kvadrathörnen i de fyra punkterna ±π/, ±π/, och låt kurvan γ vara ett varv moturslängs cirkeln x + y 6. Sätt cos x sin y P x, y sin x +sin y och Qx, y sin x cos y sin x +sin y. Låt vara hela planet utom de punkter x, y där sin x siny 0,dvs är hela planet utom punkterna mπ, nπ, m, n Z. Funktionerna P och Q och alla deras derivator existerar då ochär kontinuerliga i hela. Viskaberäkna γ Pdx+ Qdy och γ Pdx+ Qdy. Vi börjar med att beräkna kurvintegralen Pdx+Qdy.Låt γ γ vara räta linjen från punkten π, π till punkten π, π,låt γ vara räta linjen från punkten π, π till punkten π, π,låt γ3 vara räta linjen från punkten π, π till punkten π, π,ochlåt γ4 vara räta linjen från punkten π, π till punkten π, π.åär γ γ γ γ 3 γ 4.Enparametrisering av γ är x π, y t, π t π,enparametrisering av γ är x t, y π, π t π,enparametrisering av γ 3 är x π, y t, π t π,ochenparametrisering av γ 4 är x t, y π, π t π.vifår att Pdx+ Qdy γ Pdx+ Qdy+ γ Pdx+ Qdy+ γ Pdx+ Qdy+ γ 3 Pdx+ Qdy γ 4 Pdx+ Qdy γ Pdx+ Qdy γ Pdx+ Qdy+ γ 3 Pdx+ Qdy γ 4 6

Enligt de angivna parametriseringarna av γ, γ, γ 3 och γ 4. π/ 0+ sin π cos t π/ π/ sin π dt cos t sin π +sin t π/ sin t +sin π +0 dt π/ 0+ sin π cos t π/ π/ sin π +sin dt + cos t sin π t π/ sin t +sin π +0 dt π/ cos t [ ] π/ 4 π/ +sin t dt 4 arctan sin t 4arctan arctan 4 arctan π. π/ Vi beräknar nu den andra kurvintegralen γ Pdx+ Qdy.erivering ger att P x, y Q x, y cos x cos y sin y sin x sin x +sin dåx, y. y Idelområden av planet där Greens formel kan användas på vektorfältet P, Q, dvs i delområden av området, försvinner således dubbelintegraldelen i Greens formel. Vi utnyttjar detta för att beräkna kurvintegralen γ Pdx+ Qdy.Fem av punkterna mπ, nπ, m, n Z, depunkter där P och Q inte är definierade, ligger innanför kurvan γ,ochdetär punkterna A 0, 0, A π, 0, A 3 0,π, A 4 π, 0 och A 5 0, π. Omge var och en av dessa fem punkter A k med en cirkel med liten radie a och medelpunkt i punkten. Låt Γ k k,, 3, 4, 5 vara cirkeln kring A k genomlupen ett varv moturs. Cirklarnas radie a väljs så liten att cirklarna Γ k k,, 3, 4, 5 är disjunkta och ligger innanför cirkeln γ,ochocksåsåliten att Γ ligger innanför kadratkurvan γ.vs0<a<4 π gäller. Låt E vara den del av området innanför cirkeln γ som är utanför cirklarna Γ k k,, 3, 4, 5, samt låt F vara den del av området innanför kvadratkurvan γ som är utanför cirkeln Γ.ågäller att E E och att F F. Vikanalltså tillämpa Greens formel på vektorfältet P, Q i området E E och i området F F och få att 5 Pdx+ Qdy+ Pdx+ Qdy Q x, y P x, y dxdy 0 dxdy 0 γ Γ k E E k och att Pdx+ Qdy+ γ Pdx+ Qdy Γ F Q x, y P x, y dxdy F 0 dxdy 0, och eftersom Γ Pdx+ Qdy Γ Pdx+ Qdy och γ Pdx+ Qdy π följer av detta att 4 och att 5 Pdx+ Qdy γ 5 k Γ Pdx+ Qdyπ. Γ k Pdx+ Qdy Låt x ϕt, y ψt, α t<βvara en parametrisering av cirkeln Γ.Ensådan parametrisering fås t ex om ϕt a cos t, ψt a sin t, α 0ochβ π. å är x π + ϕt, y ψt, α t<β en parametrisering av cirkeln Γ.essa parametriseringar ger Γ Pdx+ Qdy β α cos ϕt sinψt sin ϕt cosψt sin ϕt+sin ψt ϕ t+ sin ϕt+sin ψt ψ t dt 7

och β cos π + ϕt sin ψt sin π + ϕt cos ψt sin π + ϕt + sin ψt ϕ t+ sin π + ϕt + sin ψt ψ t dt Pdx+ Qdy Γ α β cos ϕt sinψt sin ϕt cosψt α sin ϕt+sin ψt ϕ t+ sin ϕt+sin ψt ψ t dt. vs vi har att 6 Pdx+ Qdy Γ Pdx+ Qdy. Γ På likartat sätt kan motiveras att vi även har att 7 Pdx+ Qdy Γ k Pdx+ Qdy Γ för k 3, 4, 5. Av 4, 5, 6 och 7 följer att γ Pdx+ Qdy 6π. 6. Se kurslitteraturen. 7. Se kurslitteraturen. 8