Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v = 7 4 = 33 b) cos(v )= 44 56 v = 44 cos 1 56 = 38 c) sin(v )= 50 73 v = 50 sin 1 73 = 43 d) tan(v )= 3 30 v = 3 30 = 37 4105 a) tan(v )= 73 48 v = 73 48 = 33 b) sin(3.5 )= 73 F F = 73 sin(3.5 ) = 508N c) cos(3.5 )= 48 F F = 48 cos(3.5 ) = 507N a) Om v är minsta möjliga, dvs 64, blir sträckan s: cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m 9 Om vinkeln istället är den maximala blir sträckan: cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m 9 4108 Vi börjar med att beräkna ABC vinkeln. 116 tan(b )= 41+175 B = 116 416 = 16 På liknande sätt kan vi beräkna ADC och från den är CDB enkelt att finna. tan(d )= 116 41 d = 116 41 = 6 D = 180 d = 154 ACB beräknar via vinkelsummeformeln: C = 180 16 154 = 10 d) F = 48 + 73 = 508N Kommentar: Att c:s svar skiljer sig beror på att jag har använt tre siffror för att beskriva vinkeln. Hade jag använt fler hade även c varit 508N. 4106 Vi är intresserade av den vänstra rätsidiga triangeln och därför hälften av AB sträckan tillsammans med CM. tan(v )= CM AB / v = tan 1.5 1.46 =
4109 a) Först räknar vi ut sträckan D genom att beräkna AD och DB sträckan. tan(4 )= 1 AD AD = 1 tan(4 ) = 13 tan(57 )= DB DB = 1 tan(57)= 18 1 Vilket ger arean: Area = 1 (13+18) = 186 Kommentar: Skillnaden mot facits svar är att jag har avrundat. 4114 För 30 och 60 vinklarna tittar vi på den halva liksidiga triangeln medan vi tittar på halv kvadraten för 45 vinklarna. v tan(v) sin(v) cos(v) 30 1 3 1 45 1 1 60 3 3 3 1 1 b) Nu måste vi beräkna AC och CB sträckan innan vi kan få fram omkretsen. sin(4 )= 1 AC AC = 1 sin(4 ) = 18 cos(57 )= 1 CB CB = 1 cos(57 ) = 16 Omkretsen blir därför: Omkrets = 16+18+13+18 = 65m Kommentar: Skillnaden mot facits svar är att jag har avrundat. 4115 a) sin(45 ) cos(45 )= 1 1 = 1 b) sin(60 ) tan(45 )= 3 1= 3 c) sin(45 )+ cos(45 )= 1 + 1 = d) sin (30 )+ cos (30 )= 1 + 3 = 1 4 + 3 4 = 1 4116 4110 Vi vill att den motstående kateten ska varan mindre än den närmre, därför måste v < 45. 4111 Om cos(v) är en halv så säger Pythagoras sats att den andra a) tan(α )= sin(v) cos(v) = b / h a / h = b a kateten måste vara roten ur tre eftersom: = 1 1 + 3 och därför är sin(v)= 3 411 Ett sätt att räkna ut h på är att subtrahera den delen av radien som är ovanför vattnet från hela radien. Hela radien är hälften av 60. Och den delen som är över vattnet kan vi räkna ut med hjälp av sinusformeln: sin(35 )= r över 30 r över = 30 sin(35)= 17.cm Vattenhöjden blir därför: h = r r över = 30 17. = 1.8cm sin(v)= b h b) cos(90 v)= b sin(v)= cos(90 v) h 4117 = = 1
4118 a) Först räknar vi ut sträckan D genom att beräkna AD och DB sträckan. tan(45 )= AD AD = tan(45 ) = tan(60 )= DB DB = tan(60)= 3 Vilket ger arean: Area = (+ 3) = + 3a.e b) Nu måste vi beräkna AC och CB sträckan, med hjälp av Pythagoras, innan vi kan få fram omkretsen. AC = + = 8 CB = +( 3) = 16 = 4 Omkretsen blir därför: Omkrets = + 3 + 8 + 4 4119 Först tittar vi på sträckorna: Eftersom vinkeln vid F är 60 är sträcka BF 3 och FC 3. Eftersom vinkeln vid D är 45 är sträcka BD 3 och DC 3. Vilket gör att DF = 3 3 414 Cirkeln beskrivs av: 9 = (x +1) + y, vi testar ifall punkten uppfyller ekvationen. ( +1) +1 = 10 > 9 vilket betyder att punkten har en större radie och därför ligger utanför cirkeln. 415 Först beskriver vi cirkeln, därefter låter vi y vara noll och ser för vilka x-värden som ekvationen uppfylls. 10 = (x ) + (y + 5) Nu låter vi y vara noll. 100 = (x ) + 5 = x 4x + 4 + 5 x 4x 71 = 0 x = ± + 71 x 1 = 6.7, x = 10.7 416 Här byter vi ut y:et i cirkelns ekvation mot linjens y och kollar ifall det finns något x som uppfyller den nya ekvationen. 16 = (x 3) + ((x 7) 1) = x 6x + 9 + x 16x + 64 = x x + 73 x 11x + 57 = 0 x = 11 ± 11 57 x = 4.18, x = 6.8 1 Ja linjen skär cirkeln vid två punkter. Vinklarna: Vinkel DCF = DCB FCB = 45 30 = 15. Vinkel CFD = 180 BFC = 180 60 = 10. Vinkel CDF = 45. 411 a) r = (x x) +( y y) 36 = (x + ) +( y 5) 417 Här gör vi samma sak som i uppgiften innan. Skillnaden kommer i slutet då vi bestämmer r så att vi endast får ett möjligt x. r = x + ((x +1) ) = x + x x +1 x x +1 r = 0 x = 1 ± 1 1 r 1 1 r = 0 r = 1 = 1 4 4 b) r = (x x) +( y y) 36 = x +( y +1) 4130 a) v = sin 1 (0.81) = 55., v = 180 55. = 14.8 41 r = 5 r = 5, (x, y) = ( 4,1) b) v = cos 1 (0.81)= 34.8 413 a) Cirkeln beskrivs av: 1 = x + y, vi testar ifall punkten uppfyller ekvationen. 1 = 0.8 + 0.6 = 0.64 + 0.36 = 1 OK! c) v = sin 1 (0.043) =.5, v = 180.5 = 177.5 d) v = cos 1 ( 0.94) = 160.4 b) Här utnyttjar vi tangens. tan(v ) = 0.6 0.8 v = 0.6 0.8 = 36.9 4131 a) v = cos 1 ( 0.560) = 14.1 b) v = sin 1 ( 0.560) har ingen reell lösning. c) v = sin 1 (0.333) = 19.5, v = 180 19.4 = 160.5 d) v = cos 1 (1.03) har ingen reell lösning.
413 4137 a) Eftersom det är 90 vinkel mellan de två punkterna och origo kommer Q ha ( b, a) som koordinater. b) Att man kan gå mellan sinus och cosinus genom att addera vinkeln istället för att subtrahera den: sin(v) = cos(90 + v) och cos(v) = sin(90 + v). a) sin(v) är lika med ett då den motsatta kateten och hypotenusan är lika långa, vilket betyder att vinkeln måste vara 90. b) cos(v) är lika med minus ett då den närliggande kateten och hypotenusan är lika långa samt att vinkeln är över 90, vilket betyder att vinkeln måste vara 180. c) cos(v) är lika med noll då den närliggande kateten är noll, vilket betyder att vinkeln måste vara 90. d) sin(v) är lika med noll då den närliggande kateten och hypotenusan är lika långa, vilket betyder att vinkeln är antingen 0 eller 180. 403 Vi använder oss av areasatsen: Area = 8 sin(105) = 98cm 404 Den sista vinkeln är 180 113 37=30. Areaformeln ger: Area = 55 36 sin(30) = 495m 405 a) Areaformeln ger: 15= 7 6 sin(v) b) 15= 4.4 7.8 sin(v) 30 v = sin 1 4 = 45.6 30 v = sin 1 4.4 7.8 = 60.9 4133 De står givna som punktens x- och y-koordinat. 4134 x = cos(61 ) = 0.48, y = sin(61 ) = 0.87 406 a) Först beräknar vi mellanliggande vinkeln, 180 69 69 = 4. Nu använder vi areaformeln: Area = 10 10 sin(4) = 33.5m 4135 a) v = 180 56 = 14, v = 56 b) Endast den simpla 100 c) Ingen eftersom sinus aldrig kan ge ett negativt värde inom intervallet. d) v = 180 70 = 110 4136 Att man kan gå mellan sinus och cosinus, dvs: sin(v) = cos(90 v) och cos(v) = sin(90 v). b) Den sista vinkeln är 180 70 70 = 40 och den andra sträckan är också 70 eftersom triangeln är likbent. Med areaformeln får vi fram: Area = 0 0 sin(40) = 18.6m 407 Eftersom vinkeln c inte är med i areaformel, utan endast den för vinkeln a kommer inte arean att påverkas. 408 4 = 8.1 9.9 sin(a) Eller 180 36,8 = 143, 48 A = sin 1 80. = 36.8
409 a) Vi utnyttjar areasatsen och letar efter ett värde på A mellan 0 och 180. 140 = 11 8 sin( A) Eller 180 65.4 = 114.6 80 A = sin 1 11 8 = 65.4 b) Vi deriverar uttrycket med avseende på vinkeln för att hitta det maximala värdet: 11 8 sin( A) f( A)= f '( A)= 11 14 cos( A)= 0 A = 90 F(90 )= 11 8 1 = 154cm 410 Vi utnyttjar areaformeln och löser andragradsfunktionen som uppstår tack vara likbenhet: 5= x x sin(180 15 15) x = 411 Areaformeln ger: 4 = a (a + 4) sin(150) 48 a = + 4 + sin(150) = 8 50 sin(150) = 10cm 48 a + 4a sin(150) = 0 416 a) 180 1 98 = 61 b) Sinussatsen ger: AB sin(1) = 34 sin(1) AB = 34 sin(61) sin(61) = 13.9cm 417 Vinkeln C är 180 70 30 = 80. Med den och sinussatsen får vi fram de andra sträckorna: AB sin(80) = 36 sin(80) AB = 36 sin(30) sin(30) = 70.9cm BC sin(70) = 36 sin(70) BC = 36 sin(30) sin(30) = 67.6cm Och med dem kan vi beräkna omkretsen: Omkretsen = 67.7+70.9+ 36 = 174.6cm 418 Vi har två vinklar och en motstående sträck. Därför utnyttjar vi sinussatsen: AC sin(38) = 6 sin(38) AC = 6 sin(115) sin(115) = 17.7cm BC sin(180 38 115) = 6 sin(7) BC = 6 sin(115) sin(115) = 13.0cm 41 Vi utnyttjar areaformeln för att bestämma k. Area = sin(v) a = k a och i en liksidig triangel är alla vinklar 60 grader vilket ger: k = sin(60) = 3 4 413 Den totala arean kan beskrivas av: Area 1 + Area + Area 3 = 3 sin(v) 6.5 = sin(v) (3+6+10)= 6.5 v = sin 1 + 4 3 sin(v) 19 = 0 + 4 5 sin(v) = 415 Här använder vi oss av sinussatsen: AB sin(40) = 8 sin(40) AB = 8 sin(30) sin(30) = 36cm
419 44 Vi utnyttjar sinussatsen: sin(7) sin( A) = 4 1 A = sin 1 sin(7) 1 4 = 13 45 a) Vi utnyttjar sinussatsen: sin(49) = sin(b) 40 50 B = sin 1 sin(49) 50 40 = 71 Men skulle även kunna vara 180 71 = 109. Givet är att Q = 57,6 och sträckan 5000. Med dessa kan vi direkt ta fram B och q: tan(57.6)= 5000 B B = 5000 tan(57.6) = 3173m q = 180 Q = 1.4 b Nu vill vi använda oss av sinusformeln: sin(a) = h sin(q) Men fört måste utrycka a och h i form av b. Vi börjar med den lättare, h: h = 5000 +(b+ 3173) För att kunna uttrycka a i form av b måste vi först uttrycka c 5000 med b. c = tan 1 b+ 3173 och 5000 a =180 q c = 180 1.4 tan 1 b+ 3173 Nu kan vi återvända till sinusformen: b sin(a) = h sin(q) b 5000 sin 57.6 tan 1 b+ 3173 = 5000 +(b+ 3173) sin(1.4) Problemet är att detta blir väldigt bökigt så antagligen har författarna glömt att skriva ut någon information. 46 Beskrivs väl i facit. 47 a) Sinussatsen ger: sin(b) 7 = sin(40 ) 6 och 180 49 = 131 b) sin(b) 7 48 = sin(40 ) 8 a) Vi utnyttjar sinusformeln: b = sin 1 sin(40 ) 7 6 = 49 b = sin 1 sin(40 ) 7 8 = 34 sin(v) 50 = sin(30) 130 v = sin 1 sin(30) 50 130 = 74 Men vi ser att vinkeln är trubbig och därför måste v vara: v = 180 74 = 106. b) Vi använder sinusformeln: sin(30) = 130 sin(180 30 106) F 1 = 130 sin(44) F 1 sin(30) = 180.6N 40 Vi utnyttjar areasatsen men först måste vi bestämma AB. AB sin(75) = 13 sin(75) AB = 13 sin(40) sin(40) = 19.5 Area satsen ger: Area = 13 19.5 sin(180 75 40) = 115km En kvadrat med sidan 100 meter har arean 10000m eller 0,01 km eller 1 ha. Vilket betyder att 115km är lika med 11 500 hektar. 49 Eftersom BC är större än AB kommer A eller B vara den största vinkeln. Det räcker därför att hitta B, men det lättaste sättet att göra det är genom att först hitta C. sin(43.6) 0 = sin(c) 15 C = sin 1 sin(43.6) 15 0 = 31. Vilket ger: B = 180 A C = 180 43.6 31. = 105. 430 Vi gör som i den tidigare uppgiften: sin(4) 9 = sin(c) 10 C = sin 1 sin(4) 10 9 = 48 Men C kan även vara 180 48 = 13. Vilket betyder att båda kan ha rätt, givet den informationen vi har fått.
431 Vi använder sinusformeln flera gånger om, först för att hitta vinkeln C: sin(40) 50 Vinkel B: = sin(c) 36 C = sin 1 sin(40) 36 50 = 5.6 B = 180 A C = 180 40 5.6 = 114.4 Sträckan AC: sin(40) 50 43 = sin(114.4) AC AC = 50 sin(114.4) = 70.8cm sin(40) Vi använder sinusformeln för att först räkna ut vinkeln C: sin( 7.6 ) 15 = sin(c) 1 C = sin 1 sin(36.) 1 15 = 8. Och med vinkelsumma formeln får vi fram B: B = 180 A C = 180 7.6 8. = 79. 433 Vi använder sinusformeln för att räkna ut vinkeln A som måste vara spetsig för att B ska kunna vara trubbig: sin(30) 1. = sin(a) Vilket ger vinkeln B: A = sin 1 sin(30) 1. = 56.4 B = 180 A C = 180 56.4 30 = 93.6 434 Eftersom en sådan triangel är omöjlig. Att A är trubbig betyder att sträckan BC är den längsta men AC sägs vara längre. 435 b) Sinusformeln vinkeln: sin(67) = sin(v 1) 17 108 v = 1 sin 1 sin(67) 108 17 = 35.3 a) Med den tidigare beräknade vinkeln kan vi få fram den sista: v = 180 67 35.3 = 87.7 Och med den kan vi beräkna F R. sin(35.3) 108 = sin(87.7) F R = 108 sin(87.7) F R sin(35.3) = 186N 436 Först beräknar vi vinkeln A: sin(95) 740 = sin(a) 40 A = sin 1 sin(95) 40 740 = 34.4 Nu beräknar vi B och använder den för att hitta AC: B = 180 95 34.4 = 50.6 sin(95) 740 = sin(50.6) AC 437 AC = 740 sin(50.6) = 574m sin(95) Först bestämmer vinkeln D (=B): D = 180 40 4 = 116 Nu använder vi sinusformeln: sin(40) 16 438 = sin(116) AC sin(116) AC = 16 sin(40) =.4m Det första man måste inse är att D ligger mellan A och B. Därefter vill du bestämma AC: tan(5) = AC AC = 1 tan(5) = 15.4cm 1 Du kan nu använda tan igen för att hitta AD. tan(180 90 5 10) = AD AD = 8.cm 15.4 Och BD: BD = AB AD = 1 8. = 3.8cm 439 Vi börjar med att räkna ut vinkeln B: 180 4.5 3.3 =105, Vilket gör att DBC vinkeln är: 180 105, = 74,8 Eftersom DBC triangeln är likbent är Vinkeln vid C densamma som vid D, mer specifikt är dem: BDC = 180 74.8 = 5.6 Nu söker vi bara BC innan vi kan få fram CD: sin(3.3) 1 sin(5.6) 15. 44 = sin(4.5) BC = 1 sin(4.5) BC sin(3.3) = 15.cm = sin(74.8) CD Vi utnyttjar cosinus satsen: BC = sin(74.8) CD = 15. sin(5.6) = 18.4m 15 + 31 15 31 cos(140) = 44cm 443 Vi ser direkt att A är den minsta vinkeln och beräknar därför 1 0 5 den: A = cos 1 0 5 = 8
444 Vi ser även här att A är den minsta vinkeln eftersom 19 är 19 17 18 större än både 17 och 18. A = cos 1 17 18 = 66 445 Cossinussatsen ger oss: F = 675 + 415 675 415 cos(15) = 974N 446 Vi är intresserade av den vinkel som är på motsatt sida som den sträckan som är 400. Cossinussatsen ger oss därför: 400 500 600 A = cos 1 500 600 = 41 450 Först måste vi bestämma triangelns sträckor med hjälp av Pythagoras sats: AC = 4 +7 = 5, BC = 6 + 31 = 31.6 och AB = (4 6) +(7 31) = 30 vilket ger cossinusformeln: 31.6 30 5 A = cos 1 30 5 = 69 451 Maximalt en vinkel kan vara trubbig och om det är någon så är det C eftersom den är på motsatt sida från den längsta sträckan. Vi beräknar därför C: 7.4 5.5 4.8 C = cos 1 5.5 4.8 = 9 > 90 C är därför trubbig. 447 Vi utnyttjar cosinussatsen på de två första och sen faktumet att summan av de tre vinklarna ska vara 180. 5 6 7 A = cos 1 6 7 = 44.4 6 5 7 B = cos 1 5 7 = 57.1 C = 180 A B = 78.4 448 Det räcker att bestämma två sidor eftersom de andra två är motsvarande långa. Diagonalerna skär varandra efter att de har färdats halvvägs till andra sidan, vilket gör att vi kan skriva upp cossinusformeln för höjdsträckan i parallellogramet: H = 9 +15 9 15 cos(60) = 13.1cm För längden behöver vi vinkeln, vilken är v = 360 60 60 = 10 och därför blir längden: L = 9 +15 9 15 cos(10) = 1cm 45 Vi skriver upp cossinusformeln och löser därefter ut a. 35 = 30 + a 30 a cos(60) a 30a + 30 35 = 0 a = 15+ 15 30 + 35 = 15+5 454 Vi utnyttjar cossinussatsen här med. Därför räknar vi ut de olika sträckorna: AB = 5 + 3 = 34, AB = 6 + 3 = 45 och AB = 6 +5 = 61. Med dessa finner vi A: 61 45 34 A = cos 1 45 34 = 76.7 455 Vi utnyttjar cossinussatsen här med. Därför räknar vi ut de olika sträckorna: PQ = 1 +10 = 44, QR = 8 +1 = 08 och PR = 10 + 8 = 164. Med dessa finner vi Q: 164 08 44 Q = cos 1 08 44 = 50.3 449 Därför att en sådan triangel finns inte eftersom AB är mindre än BC + AC.
456 För att kunna beräkna A måste vi först beräkna triangelns tre sträckor. Det gör vi genom att använda Pythagoras flera gånger om. Vi börjar med att titta på sträckan AC. Vi vet att det är 74 mm i höjdskillnad mellan dem men vi vet inte hur lång den andra sträckan är. Därför använder vi Pythagoras för att beräkna den: 135 s AC = + 40 = 138mm Nu använder vi den för att hitta AC: AC = s AC +74 = 156mm Vi gör på liknande sätt för AB: s AB = ( 135) + 40 = 181mm AB = s AB + 74 = 184mm Vi gör på liknande sätt för BC: s BC = BC = 135 + ( 40) = 49mm s BC + 74 = 5mm Med dessa sträckor kan vi nu beräkna vinkeln A: 5 184 156 A = cos 1 184 156 = 95.3 460 a) Först måste vi bestämma den vinkeln som står emot x vilket vi gör genom att först beräkna den andra okända vinkeln och därefter använda att vinkelsumman i en triangel är 180. sin(v 35 ) = sin(45) v 35 = sin 1 sin(45) 35 35 7 7 = 66.4 v x = 180 66.4 45 = 68.6 Nu kan vi använda denna vinkel för att hitta x: x sin(68.6) = 7 sin(45) sin(68.6) x = 7 = 35.6cm sin(45) Sträckan skulle även kunna beräknas 90 + 68.6 = 158.6. x sin(158.6) = 7 sin(158.6) x = 7 =13.9cm sin(45) sin(45) b) Här kan vi använda vinkeln vi räknade ut i a): x = 461 35 + 7 35 7 cos(68.6) = 35.6cm Sidan BC beräknas enklast med hjälp av cosinusformeln: BC = 9 + 6 9 6 cos(3.8) = 4.3cm Nu kan vi beräkna B och C med sinussatsen: sin(b) 6 = sin(3.8) 4.3 c = sin 1 sin(3.8) 6 4.3 = 34.3 Men vi ser att C är trubbig därför är C = 180 57.6 =1.4 457 Eftersom kroppen är en kub är alla sidor lika långa, vi kallar den x. Det betyder att: BC = x, BM = AM = AN = x, AC = x + x Med dessa kan vi beräkna: NM = AM + AN = x + x CM = BC + BM = x + x 4 = x 4 = 5x CN = AC + AN = x + x + x 4 = 3 x Med dessa sträckor och cossinusformeln kan vi bestämma CMN: 3x MN = cos 1 5x 5x x x = 9x 5x x = cos 1 5 x = 9 5 cos 1 5 =108.4 b) Vi gör likadant som i uppgiften innan. Sidan BC beräknas enklast med hjälp av cosinusformeln: BC = 6 + 5 6 5 cos(11) = 9.1cm Nu kan vi beräkna B och C med sinussatsen: sin(b) 5 sin(c) 6 46 = sin(11) 9.1 = sin(11) 9.1 B = sin 1 sin(11) 5 9.1 = 30.6 c = sin 1 sin(11) 6 9.1 = 37.7 Här kommer använda sinus- och cosinusformeln om vart annat: S 96 sin(96) = 30 sin(180 96 7) S 96 = 30 sin(96) sin(57) = 35.6m S 7 = S 96 + 30 S 96 30 cos(7) = 16.m I den mindre triangeln använder vi nu sinusformeln: S 180 96 sin(180 96) = S 7 sin(90) S 84 = S 7 sin(84) sin(90) = 16.m
463 Ja, eftersom triangeln är rätvinklig kan Marco använda definitionen av sinus. 464 Tänk att vi drar ett streck från toppen av triangeln som skär basen med 90. Vi har då skapat två rätvinkliga trianglar. Med hjälp av definitionen av sinus kan vi bestämma triangelns höjd: sin(59) = h h = 34 sin(59) = 9.1m 34 Nu ska vi bestämma basen med hjälp av cosinusformeln men innan vi kan göra det måste vi bestämma de två andra vinklarna med hjälp av sinusformeln och triangelsumman. sin(v 34 ) 34 = sin(59) 5 v B = 180 59 34.1 = 86.9 v 34 = sin 1 sin(59) 34 5 = 34.1 B = 34 + 5 34 5 cos(86.9) = 60.6m Slutligen beräknas arean av triangeln: Area = B h = 9.1 60.6 = 881.7m 465 Den längre diagonalen kan vi beräkna direkt med hjälp av cosinusformeln: D = 3 +1.5 3 1.5 cos(118) = 3.9m För att kunna beräkna den kortare diagonalen kommer vi använda cosinusformeln för att bestämma halv vinkeln mellan de två 1,5 sidorna. 3 1.5 3.9 v 3 = cos 1 1.5 3.9 = 43.7 Vi kan nu använda vinkeln med definitionen av sinus för att bestämma halva den mindre diagonalen. d sin(v 3 ) = 1.5 d = 3 sin(v 3) =.1m 466 Om vi delar in fyra området i två trianglar en som är rätvinklig och längst ner till höger och sen den andra. Den längst ner till vänster kan beräknas genom: T V = 30 40 = 600m Den sista sidan, den vi inte vet om, beräknas genom Pythagoras sats d = 30 + 40 = 50. Och den andra triangeln beräknar vi med hjälp av Herons formel. T H = 60 (60 50) (60 5) (60 45) = 561m Den totala arean blir därför: T = T V + T H = 1161m Vilket gör att totala priset blir: P = 1161 850 = 987000kr 467 För att bestämma v använder vi cosinusformeln. 9.1 0.4 40.8 v = cos 1 0.4 40.8 = 4. Med hjälp av definitionen av sinus kan vi nu bestämma h. sin(v) = h h = 0.4 sin(v) = 13.7m 0.4 Arean blir därför: Area = B h = 40.8 13.7 = 79.5m 468 Vi utnyttjar Herons formel. Först beräknar vi halva omkretsen: O = 0.4 + 9.1+ 40.8 = 45.m Nu utnyttjar vi formeln och får: T = 45. (45. 40.8) (45. 9.1) (45. 0.4) = 81.8m Kommentar: Svaren skiljer sig p.g.a. avrundningar.
469 Här kommer vi använda Herons formel igen, men innan vi kan göra det delar vi upp 5-hörningen i fem lika stora delar genom att dra kanter från cirkelns mitt till de fem punkterna. Varje sträcka blir då halva diametern d.v.s 5 cm. Det sista benet i triangeln kan vi räkna ut med cosinusformeln eftersom vi vet att mittenvinklarna är 360/5 =7. B = 5 + 5 5 5 cos(7) = 5.9m Halva omkretsen blir därför: O = 5 + 5 + 5.9 = 7.9m 47 c sin( A) sin(b) Vi börjar med: h = sin(c) Där sin(c) är extra svår att hantera eftersom den inte är en del i en rätvinklig triangel, därför byter vi ut den: sin(c)= sin(180 A B)= sin( A + B) Nu kan vi använda sinusformeln för att byta ut: c sin(c) = a vilket gör att vi nu har: h = a sin(b) sin( A) Och genom att byta ut sin(b) får vi: h = a h a Och Arean: T = 7.9 (7.9 5) (7.9 5) (7.9 5.9) = 11.5m Den totala arean blir: 5T = 57.6m 470 Om v antar att klippans höjd är h och sträckan mellan A och där h skär den horisontella axeln med 90 är x kan vi ställa upp följande samband: (1) : tan(31) = h +1, () : tan() = h x x (1) () tan(31) h +1 tan() = x = 1+ 1 h h h = 1 = 4.6m tan(31) x tan() 1 471 Här använder vi cosinussatsen och Pythagoras sats flera gånger om för att få fram sträckorna och därefter kunna beräkna CAB. Vi börjar med att beräkna BC-sträckan med Pythagoras: BC = 3.5 + (6. 4.) = 4.03m Nu beräknar vi AB-sträckan med Pythagoras: AB = 6. + 8.5 = 10.5m Sist beräknar vi AC sträckan genom att använda Pythagoras två gånger: s AC = 4. + 8.5 = 9.48m AC = s AC + 3.5 = 10.11m Med dessa sträckor kan vi nu beräkna vinkeln CAB: BC AB AC v = cos 1 AB AC =.4