Kurs: HF9 Matematik, Moment TEN (Anals) atum: augusti 8 Skrivtid 8: : Eaminator: Armin Halilovic För godkänt betg krävss av ma poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betgg F). Vem som har rätt till kompletteringg framgår av betget F på MINA SIOR. Komplettering sker ca två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betg E, annars rapporteras F. Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) n). Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namnn och personnummer påå varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Skriv klass på omslaget, A, B eller C. enna tentamenslapp får f ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar ==== ===== ====== ====== ====== ===== ====== ====== ===. (p) a) Bestäm definitionsmängden för inversfunktionen till funktionen f ( ) e (p) b) Bestäm gränsvärdet c) Bestäm gränsvärdet. (p) ln lim cos( ) lim (p) (p) Låt f( ) ( ). Ange funktionens eventuella asmptoter (lodräta/vågräta/sneda)) och bestämm alla lokala etremvärden och tp (min/ma) till funktionen f ( ) samt rita funktionens graf. 5 6. Var God Vänd!
. (p) a) Bestäm Talorpolnomet av andra ordningen kring punkten till funktionen f ( ). (p) b) Beräkna approimativt. med hjälp av polnomet i a-delen. (p). (p) Bestäm en primitiv funktion till funktionen f( ). 7 5. (p) Beräkna volmen av den rotationskropp som uppstår då området som begränsas av kurvorna och, roterar kring -aeln. 7. (p) Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär (Min/Ma/Sadelpunkt) till funktionen f (, ). 8. (p) Beräkna dd då är området som begränsas av och. 9. (p) Bestäm tngdpunkts koordinater (, ). för det området som definieras av. (Formler för tngdpunktskoordinater finns i formelbladet.), Lcka till!
Lösningsförslagg. (p) a) 5 6 f () e 5 6 e 5 6 ln 5 6 ln 6 ln f ( 5 5 efinitionsmängd till inversen: i. b) c) ln lim cos( ) lim LHo ospital a) Rätt invers p rätt definitionsmängd pp b) Rätt eller fel c) Rätt eller fel. (p) f ( ) ( ) Funktionen är definierad för alla men inte för och därför finns lodrät (vertikal)) asmptot vid. Polnomdivision ger f ( ) ( ) 6 ) ln 5 5 6 som ger g att är en sned asmptot. Vi undersöker derivatan: ( ) ( ) 8 ( 8 ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( 8), och 6 Funktionen är inte definierad i och därför inte den heller en e stationär punkt. 7 Teckenstudie visar att f ( ) är terrasspunkt och f (6) är lokala minimum (se grafen). Rätt asmptoter p. Rätt derivata samt rätt stationära punkter ger p. Fel derivata ger p. Svar med att terrasspunkt är etrempunkt ger -p. Rätt graf ger p
. (p) a) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) Talorpolnomet av andra ordningen kring f () P( ) f () f ()( ) ( )! 8 I vårt fall: P( ) 8 b) P( ),, för att beräkna, 8,, P (,),,,95. 8 rätt eller fel.. (p) Partialbråksuppdelning ger f ( ) 7 5 ger p f ( d ) d ( ) dln 5 ln C 7 5 fel polnomdivision ger p. 5. (p) Områdets gränspunkter: och 5 Volmen: V ( ) d ( ) d 5 5 Rätt gränspunkter samt rätt uppställd volmintegral ger p. Fel integral p. 6. (p) f (, ) df df Stationära punkter via lösningar av och
df och df ( ) ger, och, två stationära punkter (, ) och (, ) df df f A 6, C 6 och B Punkten (, ) origo i det här fallet, är en sadelpunkt eftersom AC B 9. Punkten (, ) ger AC B 6 9 som är Minpunkt. - Rätt partiella derivator ger p. Fel derivering ger p. - Rätt beräkning av stationära punkten ger p. - Rätt anals av punktens karaktär ger p. 8. (p) dd d d d ( ) d ( ) ( ) ln( ) ln ln - Rätt integrationsordning och rätt beräkning av första integral ger p. - Fel integrationsordning ger p. 9. (p) För beräkning av tngdpunkten används formlerna: c dd Arean( ) c Arean( ) och dd Arean: A d ln( ) ln dd d d d ( ) d ln( ) ln 5
6 6 ) ( ) ( d d d d d dd Tngdpunkter blir: ln ln ) ( ln ) ( c dd Arean ln 6 ) ( c dd Arean - Rätt integralteckning samt rätt integration +p. Fel i detta steg ger p. - Ej hänsn tagen till area -p. - Ovan rätt men ej beräknade tngdpunktskoordinater -p.