Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Relevanta dokument
x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Tentan , lösningar

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

Tentamen: Lösningsförslag

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Övningstenta: Lösningsförslag

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

MMA127 Differential och integralkalkyl II

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösning till kontrollskrivning 1A

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Tentamen: Lösningsförslag

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

= 0 genom att införa de nya

Kontrollskrivning 1A

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

Transkript:

Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x (t Ax(t för ( A, 5 givet att x( (, T. Lösning: Egenvärdena beräknas genom det(a λi λ 5 λ λ(5 λ + 6 λ 5λ + 6 (λ (λ. Egenvärdena är således och. Ekvationerna (A λiv för dessa värden löses av v (, T och v (, T. Den generella lösningen blir då För t fås ( x(t c ( ( c e t + c ( + c ( e t., som löses av c 5 och c. Problemet löses alltså av ( ( x(t 5 e t + e t.

. Beräkna längden av kurvan F (t (ln t, t, t för t e. Glöm inte kvadreringsregeln. Lösning: Båglängden kan beräknas av integralen (dx ( dy ( dz S + + dt, dt dt dt där (x, y, z F (t (ln t, t, t. Vi får e S t t + + t dt e ( t t + t dt e ( t + t dt t t [ ln t + t ] e t + e e.. Ljudnivån stiger under tentan i Vågrörelselära och på din medhavda ljudmätare (på den tentan är alla hjälpmedel tillåtna mäter du nivån till 8 db. Genom att sträcka ut mätare en meter åt öster (höger minskar ljudnivån med db och en meter norrut (framåt minskar ljudnivån med,5 db. I vilken riktning växer ljudnivån snabbast, hur snabbt växer ljudnivån i den riktningen och hur starkt är ljudet hos den person som sitter snett framför dig, två meter till vänster och sex meter framåt? I det senare fallet får du använda linjär approximation. Lösning: Om vi lägger x-axeln åt höger och y-axeln framåt får vi att ljudnivåns gradient är f (, /. Ljudnivån växer alltså snabbast i just denna riktning, med farten f + 9/ 5/. I en punkt (, 6 från din position kommer ljudnivån ges av 8 + (, / (, 6 8 + 9 75.. Bestäm det största och minsta värdet av f(x, y x y på området givet av y x och x y. Lösning: De två kurvorna y x och x y korsar varandra i lösningarna till båda dessa ekvationer. Vi får y x y, vilket ger y y y(y, som har de reella lösningarna y och y. För dessa värden får vi x y och x y.

I det inre av området måste ett eventuellt extremvärde antas i punkter där f. Vi får f (x, y, vilket ger x y. Denna punkt ligger på randen. Om vi parametriserar den nedre randkurvan, y x, får vi g (t f(t, t t t. Studium av derivatan ger g (t t t t( t, med nollställen i x t och x t ±. Återigen fås de två skärningspunkterna samt en punkt utanför området. Den övre randkurvan, x y, parametriseras till g (t f(t, t t t, vilket ger g (t 8t t t(t. Nollställena blir denna gång y t och y t ±/. De intressanta punkterna är således (,, (, och (/, /. Funktionsvärdena är f(,, f(, samt f(/, / /6 / /8. Minimum är därför /8 och maximum. 5. Beräkna eller D D x da (x y da över fyrhörningen med hörn i (,, (,, (, och (,. Lösning: För att kunna integrerar över detta område delar vi upp det i tre delar. Vi får x f(x, y da f(x, y dy dx D x yx/ (x+/ + + x yx/ (x+/ x yx f(x, y dy dx f(x, y dy dx. Sedan beräknar vi varje del för sig. Om vi väljer integranden f(x, y x får vi x x yx/ x dy dx x x ] [ x [xy] x x/ dx x dx,

och x x (x+/ yx (x+/ yx/ x dy dx Summan blir således 9/. x dy dx x x [ x [xy] (x+/ x/ dx x ( x x ] [ x [xy] (x+/ x dx 9 dx ( x + 9x dx + 9x ] 7 + 8 + 9 7 5 7. Om vi väljer integranden f(x, y x y ser vi att den är udda kring linjen x y, och området är symmetriskt kring denna linje. Integralen blir således noll. 6. Beräkna K e z dv över kroppen K som ges av x + y z. Lösning: Vi integrerar med polära koordinater och får π e z dv e z r dz dr dθ K θ r zr π ( e e r r dr dθ θ r ( π π [ er er rer er ] π (e e + π. dr

7. Beräkna kurvintegralen y(y x dx + xy( + y dy, där är randen till den nedre halvan av enhetscirkelskivan, det vill säga x + y, y, genomlöpt medurs. Lösning: Kurvan är sluten och vi kan således använda Greens formel. Eftersom kurvan genomlöps i negativ led sätter vi till ett minustecken. Vi får y(y x dx + xy( + y dy ( (xy + xy (y x y da x +y,y x y ( y + y y + x da x +y,y π θπ π π r [ r sin θ (r sin θ + r r dr dθ ] + r [ cos θ + θ ] π π ( + π 8 π. 8. Beräkna flödet av F (x, y, z (x, y, z ut genom halvklotet x + y + z, z. Lösning: Vi använder Gauss sats och får F n ds F dv K K (x + y + z dv dθ K π π/ [ ρ 5 6π 5 θ ϕ ] 5 ρ ρ ρ sin ϕ dρ dϕ dθ [ cos ϕ] π/ 9π 5.

9. Antag att A är en symmetrisk matris som diagonaliseras A V DV T. Dess egenvärden betecknas λ λ λ n. (a Visa att om y V T x så gäller x T Ax y T Dy. (b Visa att y T Dy i λ iy i (c Visa att det minsta värde vi kan få på uttrycket y T Dy om y är λ. (d Visa att det minsta värde vi kan få på uttrycket x T Ax om x är λ. Lösning: (a Vi har y T Dy (V x T DV x x T V T DV x x T Ax. (b Multiplicerar vi y T D får vi (λ y, λ y,, λ n, y n och skalärprodukten mellan denna vektor och y ger sedan svaret. (c Vi har y T Dy i λ i y i i λ yi λ yi λ y λ. Vi kan alltså inte få något lägre värde. För y (,,, uppnås värdet λ. (d Eftersom V är ortogonal gäller y V x x. Därmed följer av ovanstående att x T Ax λ för x. Den vektor som svarar mot y (,,, är den egenvektor som hör till egenvärdet λ. Om vi kallar den v gäller v T Av v T λ v λ v λ.. Bestäm och klassificera samtliga lokala extremvärden till funktionen f(x, y x + y x xy y, samt det största värdet av funktionen längs den slutna kurvan x +y. Lösning: Eftersom funktionen är deriverbar överallt söker vi punkter där gradienten är noll. Vi får f (x x y, y x y, i 6

vilket ger x y med reella lösningar x y. Insatt i de ursprungliga ekvationerna ger detta x 8x x(x, med lösningar x och x ±. Det finns alltså tre kritiska punkter. Hessianen ges av ( A B H(x, y B C ( x y För (x, y (±, ± får vi AC B 6 8 > och A >, så där har vi minpunkter. För (x, y (, har vi AC B 6 6. Denna undersökning hjälper oss således inte där. Vi betraktar nu värdet i punkter nära origo. Antag att h, k är små och betrakta f( + h, + k h + k h hk k. Vi ser då att för h k gäller f(h, h h 8h h (h och för h k gäller f(h, h h. Origo är således en sadelpunkt. Längs kurvan g(x, y x + y får vi största värdet genom att betrakta Lagrangianen L(x, y, λ f(x, y+λg(x, y x +y x xy y +λ(x +y och finna nollställena för dess gradient. Vi få x x y + λx ; y x y + λy ; x + y. Den första ekvationen minus den andra blir (+λ(x y, vilket ger x y eller λ. Om vi har x y ger den tredje ekvationen x, vilket förenklas till x y ±. Om vi har λ förenklas den första ekvationen till (x + y, vilket ger x y. Den tredje ekvationen ger då x y ±. De intressanta punkterna är således ±(, och ±(,, med funktionsvärden f(±, ± 6 + 6 8 6 8 och f(±, 6 + 6 8 + 6 8. Det senare är det maximala värdet.. Betrakta vektorfältet F (x, y, z (yz, xz,. Beräkna arbetsintegralen F dr yz dx + xz dy, 7

där kurvan är skärningskurvan mellan ytorna z x + och z x + y. Betraktad ovanifrån genomlöps kurvan moturs. Lösning: Vi kan använda Stokes sats, som säger att F dr F n ds, D där ytan D har som rand. Normalen är upptåriktad om kurvan genomlöps moturs sett uppifrån. Här har vi (yz, xz, ( x, y, z. Skärningskurvan ges av x + z x + y, vilket ger x + y. Ytan S kan väljas på flera sätt, men någon av de givna ytorna verkar enklast. Väljer vi z x + får vi, med g(x, y, z z x att ( g n ds x, g y, g dx dy ( x,, dx dy. z Därmed har vi yz dx + xz dy x +y x +y x +y x +y ( x, y, z ( x,, dx dy x z dx dy x (x + dx dy dx dy π. 8