Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Mikael Forsberg :: 2 noember 2012 1. eräkna summan a ektorerna (1, 2) och (3, 1) mha geometrisk addition 2. Tå ektorer u = ( 2, 3) och adderas och blir ektorn w = (1, 7). eräkna med ektoraddition. 3. Tå personer X och Y drar en båt på ar sin sida a en smal kanal ars riktning går längs ektorn (1, 3). Personernas krafter på båten kan beskrias som X = (2, 2) och Y = ( 1, 3). eräkna den resulterande kraften som erkar på båten. Kommer båten att gå rakt i kanalen eller kommer den braka in i någon a kanalens sidor? Vilken sida i så fall? Rita bild och förklara. D C Figur 1: Fyra ektorer i planet. 4. I ild 1 ser i fyra ektorer. Genom att flytta ektorerna på lämpligt sätt agör om + = C + D. 5. Med ektorerna i figur 1 beräkna C och D. 6. Med ektorerna definierade a figur 1. (a) Visa att ( + ) = ( ) + ( ). (b) Visa att 2( + C) = 2 + 2C. (c) Visa att 3( C) = 3 3C 7. eskri ektorerna,, C och D, i figur 1 som ortsektorer och isa att +=+. Stämmer motsarande relation också för andra kombinationer a de fyra ektoererna. Tex är + C = C +? Vad måste gälla allmänt för tå ektorer u och? Spelar det någon roll ilken ordning i adderar dem, ilken ektor i skrier först?
8. Skri ned koordinatektorerna för ortsektorerna för ektorerna i figur 1. nänd dessa för att beräkna +,, C + D och C D Uppgifter som kräer kunskaper om skalärprodukten och längdbegreppet 9. eräkna längderna a följande ektorer a.) a = (1, 3) b.) b = (1, 2, 5) c.) c = ( 3, 2, 1, 3) D C Figur 2: 10. Uttryck ektorern i figur 2 som koordinatektorer och beräkna deras längder 11. Vilka par a ektorer i figur 2 är ortogonala och ilka är inte det? 12. Solen står i zenit och på den plana marken mäter Mehmet skuggan a en sned telefonstolpe till 5 meter. Han mäter också inkeln mellan stolpen och marken och får den till 60. Hur lång är telefonstolpen? Hur högt öer marken är dess topp? 13. eräkna aståndet mellan punkterna p 1 = ( 3, 2, 1) och p 2 = (2, 1, 1) 14. Projicera ektorn a = ( 1, 2, 1) på skillnadsektorn mellan punkterna i föregående uppgift. Är projektionens längd större eller mindre än aståndet mellan punkterna? 15. Normalisera ektorerna u = (3, 1, 1) och = ( 2, 2, 7). Uppgifter om Räta linjer och plan 16. eräkna, på ektor form, den linje som går genom punkterna p 1 = (2, 1, 3) och p 2 = (1, 3, 2) 17. Giet linjen l(t) = ( 3, 0, 4)t+(1, 0, 1). eräkna en normaliserad riktningsektor för linjen och tå punkter på linjen som ligger aståndet 1 från arandra. 18. Giet planet x 2y + 3z = 2 agör om följande tå linjer skär planet och beräkna skärningspunkten om en sådan finns. l 1 (s) = (1, 2, 1)s + (1, 1, 0), l 2 (t) = (1, 3, 1)t + (1, 1, 0). 2
19. I föregående uppgift så fann man att ena linjen inte skar planet. eräkna aståndet från denna linje till planet. 20. eräkna det plan som går genom punkterna p 1 = (1, 2, 1), p 2 = (3, 1, 1) och p 3 = (2, 1, 2). 3
Exempelsamling :: Vektorintro V0.95:: Sar :: 1. (4, 1) (se Figur 3) 2. = (3, 4) 3. De båda drar inte helt rakt och båten rör sig åt Y s håll. Om de inte korrigerar sitt dragande så kommer båten krascha in i Y s sida a kanalen. 4. se lösningen 5. se figur 5(b). 6. Se figur 6 7. Se figur 7. 8. Saret är lösningen. 9. (a) 10 (b) 30 (c) 23 10. se lösningen 11. Endast är ortogonal mot C. 12. Telefonstolpens längd är 10m och toppen ligger 75 8.66m oanför marken. 13. 30 14. Projektionen är 5 30 (5, 1, 2). Denna projetion är mindre än aståndet. 15. u u = (3, 1,1) 11, = ( 2,2, 7) 57 16. l(t) = t + p 1 = ( 1, 4, 5)t + (2, 1, 3) 17. e = 1 5 ( 3, 0, 4) p 1 = (1, 0, 1) och p 2 = (1, 0, 1) + e = 1 5 (2, 0, 1) 18. Skärningspunkten blir 1 2 ( 1, 7, 3) 19. d = 3 14 20. T.ex. x + 2y + z = 6
Exempelsamling :: Vektorintro V0.95:: Lösningar 1. Se Figur 3 (1,2) (3,-1) (4,1) Figur 3: Geometrisk addition a ektorerna (1, 2) och (3, 1) 2. Vi har att u + = w = w u = (1, 7) ( 2, 3) = (3, 4) 3. Se Figur 4 X+Y Y X Den riktning som X och Y tillsammans åstadkommer Kanalens riktning Figur 4: När X och Y drar så åstadkommer de en resulterande kraft som får båten att röra sig åt änster i kanalens riktning och riskera att krascha in i den sida som Y står på. 4. Lösningen ges i figur 5(a).
tt både + (rött) och C+D (grått) hamnar på samma ställe betyder de båda ektorsummorna är lika ilket är den blå ektorn C D -D -C (a) Genom att göra geometrisk addition så ser i att de båda summorna faktiskt är lika. (b) Geometrisk addition isar att i detta fall så gäller att C = D. Figur 5: ilder till uppgifterna 4 och 5 5. Se Figur 5(b). 6. Se figur 6 - - -(+)= (-)+(-) + +C 2(+C)= 2+2C C 2C 2 -C -C 3(-C)= 3-3C -3C 3 (a) ( + ) = ( ) + ( ) (b) 2( + C) = 2 + 2C. Figur 6: ilder till uppgift 6 (c) 3( C) = 3 3C. 6
7. För + = + se figur 7. + + Figur 7: Parallellogrammet isar att ektoraddition är kommutati, ds + = + Samma sak gäller för alla andra par a ektorer så att i får den allmänna räkneregeln u + = + u man säger: Vektoradditionen är kommutati Vilken ordning man adderar tå ektorer spelar alltså ingen roll. 8. Vi har att = (3, 2) = ( 2, 4) C = ( 3, 1) D = (4, 3) ilket ger oss + = (3, 2) + ( 2, 4) = (1, 6) = (3, 2) ( 2, 4) = (5, 2) C + D = ( 3, 1) + (4, 3) = (1, 2) C D = ( 3, 1) (4, 3) = ( 7, 4) 9. (a) a = 1 2 + 3 2 = 1 + 9 = 10 (b) b = 1 2 + ( 2) 2 + 5 2 = 30 (c) c = ( 3) 2 + 2 2 + 1 2 + ( 3) 2 = 23 10. Koordinatektorerna blir = (3, 3) = ( 2, 4) C = ( 2, 1) D = (4, 3) = 3 2 + 3 2 = 18 = ( 2) 2 + 4 2 = 20) C = ( 2) 2 + ( 1) 2 = 5 D = 4 2 + 3 2 = 25 = 5) 11. För att kolla ortogonalitet så behöer i beräkna skalärprodukten. Skalär produkten är noll om och bara om ektorerna är ortogonala. Vi har med koordinatektorerna beräknade i 7
föregående uppgift = (3, 3) ( 2, 4) = 6 12 = 18 0 C = (3, 3) ( 2, 1) = 6 + 3 = 3 0 D = (3, 3) (4, 3)) = 12 9 = 3 0 C = ( 2, 4) ( 2, 1) = 4 4 = 0 D = ( 2, 4) (4, 3) = 8 + 12 = 4 0 C D = ( 2, 1) (4, 3) = 8 3 = 11 0 12. Skuggan har en iss ektorriktning som i kallar för och en enhetsektor i denna riktning blir. Telefonstolpen pekar i en annan riktning, som i kallar för T och i har att dess projektion i riktningen är 5 eftersom projektionen är skuggan när solen står i zenit. Projektionsformeln ger oss 60 5m Figur 8: Telefonstolpe med skugga ges a (där i anänder att inkeln mellan telefonstolpeek- Skalärprodukten mellan T och torn och skuggektorn är 60 ) proj T = T } {{ } =5 }{{} har längden 1 5 = T = T } {{ } =1 cos } {{ 60} = T 2 =1/2 Genom att lösa ut längden a T så får i att denna längd blir 10 Vi behöer nu beräkna höjden öer marken och har då att ektorn från skuggans spets till telefonstolpens topp (kallad y) kan skrias y = T 5 Dess längd i kadrat kan skrias y 2 = y y = (T 5 ) (T 5 ) = T T 10 T +25 = } {{ } } {{ } =5 = 2 =1 = T 2 50 + 25 = 100 25 = 75 8
från ilket det följer att höjen blir 75 8.66. Man kan naturligtis också lösa detta med elementär trigonometri genom att utnyttja figur 8 Höjden får man genom att anända Pythagoras sats. 13. Skillnadsektor från p 1 till p 2 : d = p 2 p 1 = (2, 1, 1) ( 3, 2, 1) = (5, 1, 2) d = 25 + 1 + 4 = 30 14. Skillnadsektorn från föregående uppgift ble d = (5, 1, 2). Den sökta projektionen blir proj d a = a d d 2 d = 5 (5, 1, 2) 30 Projektionens längd blir proj d a = 5 30 ståndet är 30 > 5 medan projektionens längd är mindre än 1: 5 30 < 5 5 = 1 15. Normalisering innebär att man diiderar ektorerna med dess längd. Vi har alltså u (3, 1, 1) = u 11 ( 2, 2, 7) = 57 16. eräkna först linjens riktningsektor. Denna fås som skillnads ektorn = p 2 p 1 = ( 1, 4, 5) Sedan behöer i specificera en punkt som ska ligga på linjen. Här kan i t.ex. älja punkten p 1. Då blir linjen på ektorform: 17. Normalisering a riktningsektorn ger oss l(t) = t + p 1 = ( 1, 4, 5)t + (2, 1, 3) e = = 1 ( 3, 0, 4) 5 Vi har att p 1 = (1, 0, 1) är en punkt på linjen. En punkt som ligger aståndet 1 från denna får i om i adderar den normaliserade egenektorn (eftersom denna har längden 1) till år punkt. Vi får då att en andra punkt ges a: p 2 = p 1 + e = (1, 0, 1) + 1 5 ( 3, 0, 4) = 1 5 (5, 0, 5) + 1 5 ( 3, 0, 4) = 1 (2, 0, 1) 5 18. För att en linje inte ska skära ett plan i det tredimensionella rummet så kräs att linjen är parallell med planet ilket inträffar precis om linjens riktningsektor är inkelrät mot planets normalektor. Eftersom den första linjens riktningsektor är 1 = (1, 2, 1) och planets normalektor är n = (1, 2, 3) så får i att skalärprodukten mellan dessa tå ektorer blir noll. Detta betyder alltså att den första linjen är parallell med planet. Det skulle dock kunna ara så att hela linjen ligger i planet, men detta kan inte ara fallet eftersom punkten (1, 1, 0) ligger på linjen men inte i planet. Den andra linjens riktningsektor är 2 = (1, 3, 1) och dess skalärprodukt med normalektorn blir 2 n = (1, 3, 1) (1, 2, 3) = 2 0 9
ilket alltså betyder att den andra linjen skär planet. För att beräkna skärningspunkten så sätter i in uttrycket för linjen i planets ekation: (x, y, z) = l(t) = (t+1, 3t+1, t) (t+1) 2(3t+1)+3t = 2) 2t 1 = 2) t = 3 2 För detta ärde på t så får i skärningspunkten genom: l 2 ( 3 2 ) = (1, 3, 1) 3 2 + (1, 1, 0) = 1 ( 1, 7, 3) 2 Man kan göra en kontroll här och erifiera att denna punkt erkligen uppfyller planets ekation. 19. Idé:: ilda en skillnadsektor mellan en punkt på linjen och en punkt på planet. Projicera denna ektor på planets normalektor. Längden a denna projektionsektor realiserar aståndet mellan planet och linjen. Skillnadsektor: p = (1, 1, 0) är en punkt på linjen och man kan lätt se att q = (2, 0, 0) är en punkt i planet. En skillnadsektor blir därför d = q p = (2, 0, 0) (1, 1, 0) = (1, 1, 0) Projektion på normalektorn: Vi anänder projektionsformeln proj n d = d n n n = 3 (1, 2, 3) 14 ståndet melllan linje och plan är längden a denna ektor och i får d = d = 3 14 20. Ett plan karakteriseras som att skalärprodukten n = 0 för alla ektorer i planet, där n = (a, b, c) är den så kallade normalektorn som alltså ska ara inkelrät mot planet. För att få fram planets ekation så behöer i beräkna denna normalektor. Planets ekation blir då ax + by + cz = d, där d fås genom att i änster led sätta in en känd punkt (t.ex. p 1 ) i stället för x, y och z. Våra tre punkter som ska ligga i planet ger oss tre ektorer som ligger i planet: 1 = p 2 p 1 = (2, 1, 0), 2 = p 3 p 1 = (1, 1, 1), 3 = p 3 p 2 = ( 1, 0, 1), För att beräkna normalektorn så utnyttjar i att denna ska ara ortogonal mot åra tre ektorer som ligger i planet. Detta ger oss följande ekationssystem 0 = n 1 = 2a b 0 = n 2 = a b + c 0 = n 3 = a + c Subtraherar i den andra ekationen från den första så får i a c = 0 a = c Den tredje ekation ger oss samma sak. Sätter i in detta i den första så får i 2c b = 0 b = 2c. 10
För arje ärde på c så får i alltså en normalektor (a, b, c) = (c, 2c, c) = c(1, 2, 1) Oberoende på ad i äljer för ärde på c så får i en normalektor i planet. Denna ektor blir olika lång för olika ärden på c. För enkelhets skull så kan i älja c = 1 ilket ger oss normal ektorn (1, 2, 1). 1 Planets ekation är ax + by + cz = d x + 2y + z = d Sätter i in p 1 = (1, 2, 1) så får i Och i kan nu skria upp planets ekation som d = 1 + 4 + 1 = 6 x + 2y + z = 6. Kommentar:: När i i kapitel 3 introducerat determinant så kan i definiera den så kallade kryssprodukten. Kryssprodukten a tå ektorer ger oss en ny ektor som är inkelrät mot de båda öriga ektorerna. I år uppgift skulle i kunnat beräkna normalektorn som kryssprodukten a 1 och 2 : n = 1 2 = det 2 1 0 = [1, 2, 1] i j k 1 1 1 Här fick i en normalektor som pekar precis i motsatt riktning som den i räknade ut i oan. Men detta är helt ok, denna ektor är ändå inkelrät mot planet. Kryssprodukten kommer i till lite senare, speciellt hur man utför räkningarna rent konkret! 1 Om i alde c = ± 1 6 så skulle i få en normalektor med längden 1. 11