Formelsamling för TMV20 : HT-06 Följane är en lista över saker man ska kunna till tentan. Det ieala är förstås att man ska förstå allting på listan så att man kan svara på teorifrågor, och att man kan tillämpa kunskapen till att lösa räkneuppgifter, som utgör majoriteten av tentan. Fakta grupperas i fem kategorier : D : efinition. Du ska kunna efinitionen av et nämna begreppet. F : formel. Oftast en algebraisk formel som man ska kunna utantill eller kunna härlea. M : en rutinmeto för att lösa en speciell typ av problem, som man ska kunna tillämpa. S : en sats vars formulering man ska kunna utantill och kunna återge. SS : en sats som man essutom ska kunna bevisa. RP. Algebraiska räknelagar : kommutativa, associativa och istributiva lagarna (D). Stanarfaktoriseringarna på s.2 (F). Faktoriseringen av a n ± b n (SS). Binomialsatsen / Pascals triangel (S). Bråkräkningslagarna (S). Polynomivision (M). RP.2
RP.4 Absolutbeloppfunktionen (D). RP.7 Rötterna till en kvaratisk ekvation (F) Faktorsatsen (SS). Regler för olikheter s.9 (F). ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac. 2a RP.8 RP. RP.2 Potenslagarna s.2 (F). Utvigning av potensfunktioner till rationella potenser (D/SS). RAA : P4 Definitionsmäng och väremäng till en funktion (D). Perioisk funktion (D). Jämn och ua funktion (D). Speglingssymmetrier och grafer (M : se boxen på s.29). RAA : P5 Summa, proukt, kvot, sammansättning av funktioner (D). f(x) = x, f(x) = x (D). f(x) = sgn(x) (D). Styckvis efiniera funktion (D). 2
RAA : P7 En raian (D). π raianer = 80 graer (SS). Cosinus och sinus av en vinkel (D). Definitionerna till e anra trigonometriska funktionerna i termer av sinus och cosinus (D). Graferna till e trigonometriska funktionerna (F). Följane lista av ientiteter hos e trigonometriska funktionerna (SS) : sin(θ + 2π) = sin θ, cos(θ + 2π) = cos θ, sin( θ) = sin θ, cos( θ) = cos θ, cos(π θ) = cos θ, sin(π θ) = sin θ, cos(π + θ) = cos θ, sin(π + θ) = sin θ, cos(π/2 + θ) = sin θ, sin(π/2 + θ) = cos θ, Sinuslagen : cos(π/2 θ) = sin θ, cos 0 = sin π/2 =, cos π/2 = sin 0 = 0, cos π = sin π/2 =, cos π/3 = sin π/6 = /2, cos π/6 = sin π/3 = 3/2, cos π/4 = sin π/4 = / 2, sin A a cos 2 θ + sin 2 θ =, = sin B b = sin C. c Följane ientiteter ska u kunna men behöver ej kunna bevisa (F/S) : och e speciella fallen (F) cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B, sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B, tan A ± tan B tan(a ± B) = tan A tan B, cos 2A = cos 2 A sin 2 A = 2 cos 2 A = 2 sin 2 A, 3 sin 2A = 2 sin A cos A, tan 2A = 2 tan A tan 2 A.
Dessutom (F/S) Cosinuslagen : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A, b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B, c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C. RAA : Appenix I Reella och imaginära elarna till ett komplex tal (D). Aition och multiplikation av komplexa tal (F). Absolutbeloppet av ett komplex tal (D/F). Konjugaten till ett komplex tal (D). Division av komplexa tal (F). Arganiagrammet (D). Argumentet av ett komplex tal (D). Polär representation av ett komplex tal (D). Följane formler ska kunna bevisas (SS) : z 2 = zz, zw = z w, z + w z + w, arg(zw) = arg z + arg w. Man ska kunna formulera och tillämpa (S/F) : De Moivres sats : (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. LEK Gausselimination (M). De tre typer av lösningsmäng (S). Unerbestäma och överbestäma system (D). Gränsväre (D) RAA :.2 lim f(x) = L. x a 4
Ensiiga gränsväre (D) lim f(x) = L. x a ± Ett existenskriterium (S) lim x a f(x) = L lim x a x a f(x) = lim f(x) = L. + Regler för gränsväreberäkningar : Theorem 2 (S). RAA :.3 Oänliga g.v. (lorätta asymptoter) (D) lim f(x) = + x a + (och anra teckenkombinationer). G.v. i oänlighet (D), antingen lim f(x) = + x + (och anra teckenkombinationer) eller (vågrätta asymptoter) lim f(x) = L. x ± G.v. i oänlighet för rationella funktioner : boxen på s.72 (S). RAA :.4 Kontinuitet i en punkt (D). Vänster/höger kontinuitet i en punkt (D). Kontinuitet på en öppen/sluten intervall (D). Theorems 6,7 s.79 (S). Removable iscontinuity (D). Mellanligganeväresatsen (S). Extremväresatsen (S). RAA : 2. Tangentlinjen till en kurva i en punkt (D). Normallinjen till en kurva i en punkt (D). 5
RAA : 2.2 Derivatan till en funktion i en punkt (D/F). Deriverbarhet på en öppen/sluten intervall (D). Derivering från själva efinitionen (SS) : En speciell erivata (SS) : Leibniznotationen (D). x xn = nx n (n N {0}). () x = sgn(x). x RAA : 2.3 Reglerna för erivering av summor, proukter, reciprocals och kvot (SS). Utvigning av () till alla rationella n (via prouktregeln : kan i stället använa implicit erivering) (SS). Deriverbarhet Kontinuitet (SS). Kejeregeln (F/S). Ett speciellt g.v. (SS) RAA : 2.4 RAA : 2.5 sin x lim =. (2) x 0 x Härlening från (2) och efinitionen av erivata att (SS) sin x = cos x. (3) x Härlening från (2), (3) och eriveringsreglerna av erivatorna till e anra trigonometriska funktionerna (SS). 6
RAA : 2.6 Växane/avtagane funktion i en punkt / på en intervall (D). Rolles sats (SS). Meeleväresatsen (SS : räcker me en bilmässiga reuktionen till Rolles sats). Lineariseringsformeln (F) RAA : 2.7 f(a + h) f(a) + h f (a). RAA : 3. Ett-till-ett (injektiv) funktion (D). Inversfunktion (D). Grafen till en inversfunktion (M). DM(f) = VM(f ), VM(f) = DM(f ) (D). Derivering av inversfunktioner via kejeregeln (SS) : [f (x)] = Allmänna potenslagarna s.68 (S). Logaritmen (D) : f [f (x)]. (4) RAA : 3.2 log a x = y ef a y = x. Logaritmlagarna s.69 (SS : ska kunna härleas från potenslagarna). Härlening av logaritmens erivata från (4) ovan och (5) nean : x log a x = Definitionen av Eulertalet (D) x(ln a), speciellt x ln x = x. e = lim n ( + /n)n, 7
och följaktligen (egentligen tillhör avsnitt 3.4) (S) e x = lim n ( + x/n)n. Derivering av allmänna potensfunktioner (S) : x ax = a x ln a, Logaritmisk erivata f /f (D/F). Logaritmisk erivering (M). Theorems 4,5 (S). speciellt RAA : 3.4 RAA : 3.5 x ex = e x. (5) Definitionsmängerna, väremängerna och graferna till e invers-trignometriska funktionerna (S). Följane erivator m.h.a. (4) och formlerna från avsnitt 2.5 (SS) : x sin x =, x 2 x cos x =, x 2 x tan x = + x 2. RAA : 3.6 Definitionerna av e hyperboliska funktionerna Cosh och Sinh (D) : cosh x := ex + e x, sinh x := ex e x. 2 2 Graferna till Sinh, Cosh och Tanh (F). Ientiteterna hos e hyperboliska funktionerna svarane mot ientiteterna hos e trigonometriska funktionerna i avsnitt P7 ovan (SS). Invers-hyperboliska funktioner : grafer (F) och formler (F/S) sinh x = ln(x + x 2 + ), cosh x = ln(x + x 2 ), tanh x = ( ) + x 2 ln, < x <. x 8
RAA : 4.2 Absolut max/min (D). Lokal max/min (D). Kritisk punkt (D). Singulär punkt (D). Theorem 2, s.28 (S). Theorem 3, s.29 (S). RAA : 4.3 Konkav upp/ner (D). Inflektionspunkt (D). Theorems 5,6 (S). RAA : 4.4 Lorätt/vågrätt/lutane asymptot (D). Asymptotisk uppförane hos rationella funktioner (S : boxen på s.23, som sammanfattar materialet om rationella funktioner från Kapitel ). RAA : 0. Cartesisk koorinatsystem (D). Högerhänt system (D). Avstånsformeln via Pythagoras (SS). Ekvationerna till en sfär och en cyliner (F). RAA : 0.2 Aition av vektorer (D/F). Skalärmultiplikation (D/F). Stanarbas m.a.p. ett Cartesiskt koorinatsystem (D). Skalär/ot/inre proukt (D/F, D2/F2) (SS : bevisa att D/F = D2/F2). Skalär/vektor projektion (D/F). RAA : 0.3 Vektor/kryss proukt (D/F, D2/F2) (S : att D/F = D2/F2). Egenskaper hos vektorproukten (SS : boxen på s.554). Skalärtrippelproukt (D), tolkning som volymen av ett parallelopipe (S) och beräkning som en eterminant (F). 9