Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t) (x,y,z) = (3 4t, 1+2t,4+3t) (x,y,z) = (4+3t,3 5t, 1+6t) (x,y,z) = (11 2t,3 4t, 6+9t) Extra 2. Kan du ta reda på om några av dessa linjer skär varandra (har en gemensam punkt) L1 (x,y,z) = (2+t,t,2 t) L2 (x,y,z) = (4+t,2+t,t) L3 (x,y,z) = (3 t,2+t,2 t) Lösning: L1 och L2 skär varandra i punkten (4,2,0) s = 0 och t = 2 2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s Extra 3. En linje L 1 går genom punkterna P 1 = ( 7, 5, 3) och P 2 = (5, 9, 9). En annan linje L 2 går genom punkterna P 3 = ( 1, 19,3) och P 4 = (5, 17, 3). Bestäm linjernas skärningspunkt. Lösning: Plan: Bestäm de två linjernas ekvationer. Använd parametern t för den ena linjen och s för den andra. Sätt de två ekvationerna lika varandra som i föregående uppgift och lös ekvationssystemet. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Extra 4. Bestäm a så att linjerna x = 5+t y = a 2t z = a 2t x = 2+s y = a+s z = s skär varandra och dessutom i vilken punkt det sker. Lösning: Vi ställer upp följande ekvationssystem 5+t = 2+s a 2t a+s a 2t = s Ett system med 3 ekvationer och lika många obekanta. Vi skriver om sista ekvationen till s = 2t a och ersätter s med detta uttryck i första och andra ekvationen. Efter lite räknande får vi { a t = 3 a 4t = 0 Ur sista ekvationen ser vi att a = 4t. Detta insatt i första ekvationen ger t = 1. Då ser vi att a = 4. Går vi tillbaka till s = 2t a och sätter in det vi känner får vi s = 2 Resultatet blir då: För a = 4 får vi två linjer som skär varandra. Använder vi nu t = 1 i den första linjens ekvation får vi skärningspunkten (4, 2, 2). Samma resultat som vi fått om vi använt s = 2 i den andra linjens ekvation (förstås). Extra 5. Bestäm a så att planen ax 6y + 9z + 7 = 0 och 2x +4y 2az 8 = 0 blir parallella. Lösning: för att planen ska vara parallella måste normalvektorerna vara parallella, det vill säga det finns ett tal λ så att λ(a, 6,9) = ( 2,4, 2a) Vi får följande överbestämda ekvationssystem a λ = 2 6 λ = 4 9 λ = 2a Ur den andra ekvationen får vi λ = 2 3, som med hjälp av den första ekvationen leder till a = 3. Med dessa värden ser vi att de två normalvektorerna blir identiska och vi kan sluta oss till att planen är parallella då a = 3. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Extra 6. Bestäm avståndet mellan planen x+4y+8z+3= 0 och 2x 8y 16z+66 = 0. Lösning: Först måste de två normalvektorerna n 1 = (1,4,8) och n 2 = ( 2, 8, 16) vara parallella för att planen ska vara parallella. Är planen inte parallella skär de varandra och avståndet dem emellan är 0. Vi ser omedelbart att ( 2, 8, 16) = 2(1,4,8) Det finns ett tal (skalär) multiplicerat med den ena vektorn som gör den lika med den andra. Alltså är planen parallella. Alla punkter i det ena planet ligger lika långt från det andra planet. Vi väljer ut en punkt i det ena planet och konstruerar en linje som går genom denna punkt och med samma riktningsvektor som planens normalvektor. Vi väljer punkten P(1,2,z) och löser ekvationen 2 1 8 2 16z+66 = 0 ger z = 3. Den eftersökta linjen har ekvationen x = 1+t y = 2+4t z = 3+8t Denna linje skär det andra planet då (1+t)+4(2+4t)+8(3+8t)+3 = 0 ger t = 4 9 som insatt i linjens ekvation ger punkten x = 1 4 9 = 5 9 y = 2 16 9 = 2 9 z = 3 32 9 = 5 9 Nu beräknar vi avståndet mellan de två punkterna ( d = 1 5 ) 2 +( 2 2 2 ( + 3+ 9 9) 5 2 = 4 9) Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Extra 7. Bestäm a, så att punkterna P 1 = (1,2,6), P 2 = (2,a,3), P 3 = (2,2,4) och P 4 = (a,a,5) ligger i samma plan. Lösning: Vi bildar två vektorer a = P 2 P 1 = (1 2,2 a,6 3) = ( 1,2 a,3) b = P2 P 3 = (2 2,2 a,4 3) = (0,2 a,1) Planets normalvektor n = a e x e y e z b = 1 2 a 3 0 2 a 1 = (2 a) e x+(a 2) e z (6 3a) e x + e y = (2a 4,1,a 2) Vi skriver nu planets ekvation på normalform (2a 4)x+y+(a 2)z+d = 0 Med en av de tre använda punkterna insatt i ekvationen kan vi bestämma d. Till exempel genom P 3 (2a 4)2+2+(a 2)4+d = 0 4a 8+2+4a 8+d = 0 d = 14 8a Vi vet att punkten P 4 = (a,a,5) ligger i planet vilket ger insatt (2a 4)a+a+5(a 2)+14 8a = 0 a 2 3a+2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2 Det finns alltså två alternativa uppsättningar punkter som ger önskat resultat. Extra 8. Kan konstanterna a, b, c och d bestämmas så att parameterframställningarna ger samma linje? x = 1+2t y = 2 3t z = t x = 4+as y = b+cs z = d+5s Lösning: Först vill vi att riktningsvektorerna ska vara parallella r 1 = (2, 3,1) och r 2 = (a,c,5). Med c = 15 och a = 10 får vi r 2 = 5 r 2 = (10,15,5). Om vi väljer t = 3 2 och s = 0 i de två linjerna får vi punkten (4, 5 2, 3 2 ), då d = 3 2 och b = 5 13 2. Väljer vi s = 1 och t = 2 får vi för båda linjerna punkten (14, 35 2, 13 2 ). Därmed har vi visat att för framräknade värden på a = 10,b = 5 2,c = 15,d = 3 2 är linjerna identiska. Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Extra 9. Två plan som inte är parallella eller sammanfaller skär varandra utefter en linje. Ofta ges linjens ekvation som normalekvationen för två plan där alltså skärningen mellan planen är den avsedda linjen. Vilken linje utgör skärningen av dessa plan? { x+y+z+1 = 0 2x+3y+4z+5 = 0 Lösning: Välj z = t och lös ekvationssystemet nedan med avseende på x och y. { x+y+t+1 = 0 2x+3y+4t+5 = 0 Vi får { x = 2+t y = 3 2t) och påstår att linjen x = 2+t y = (3+2t) z = t är skärningslinjen mellan de två planen. Alla punkter på denna linje ligger i båda planen. Extra 10. Tre punkter p 1 = (1,0, 1), p 2 = (3, 2,1) och p 3 = ( 1,2,0) ligger i samma plan och två punkter p 4 = (2,4,3) och p 5 = (0,0,2) ligger på samma linje. Bestäm linjens skärningspunkt med planet. Lösning: Först planets ekvation på vektorform (x,y,z) = (1,0, 1) +((3, 2,1) (1,0, 1))t +(( 1,2,0) (1,0, 1))s (x,y,z) = (1,0, 1) +(2, 2,2)t+( 2,2,1)s (x,y,z) = (1+2t 2s,0 2t+2s, 1+2t+s) Översatt till parameterform Linjens ekvation på vektorform x = 1+2t 2s y = 0 2t+2s z = 1+2t+s (x,y,z) = (2,4,3)+((2,4,3) (0,0,2))w = (2,4,3)+(2,4,1)w = (2+2w,4+4w,3+w) Översatt till parameterform x = 2+2w y = 4+4w z = 3+w Vi har nu sex ekvationer och sex obekanta x = 1+2t 2s y = 0 2t+2s z = 1+2t+s x = 2+2w y = 4+4w z = 3+w Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Lösning av ekvationssystemet ger oss skärningspunkten ( 1 3, 2 3, 13 ) 6 Extra 11. Vektorn n = ( 1,2,4) är normalvektor till ett plan i vilken punkten P = ( 1,2,4) befinner sig. Bestäm planets ekvation på normalform. Lösning: Första steget (x,y,z) ( 1,2,4) + d = 0 ger x + 2y + 4z +d = 0. När vi så sätter in punkten P i ekvationen kan vi lösa ut d och vi har ekvationen. ger planets ekvation x+2y+4z 21 = 0 Extra 12. Visa att linjen ligger i planet 6x+4y 4z = 0 ( 1)+2 2+4 4+d = 0 21+d = 0 d = 21 x = 0 y = t z = t Lösning: Om man väljer t = 1 får man punkten (0,1,1) eftersom 6 0+4 1 4 1 = 0 så ligger den punkten i planet. Om man väljer t = 0 får man (0,0,0) som man omedelbart ser att den ligger i planet 6 0+4 0 4 0 = 0. Om två punkter på en linje samtidigt ligger på planet ligger hela linjen i planet! Extra 13. Beräkna arean av den triangel vars hörn ligger i punkterna P 1 = (1,3,1), P 2 = (2, 1,0) och P 3 = (0,4,2). Låt P 0 vara en godtycklig punkt på linjen L som går genom P 1 och P 2. Ekvationen P 1 P 2 P 0 P 3 = 0 gör att P 0 P 3 blir höjd i triangeln. Vi kommer så småningom att beräkna arean med A = b h/2. Linjen L s ekvation är lätt att bestämma. För varje värde på t får vi en ny punkt på linjen. L = (1,3,1) +((2, 1,0) (1,3,1))t = (1,3,1) +(1, 4, 1)t = (1+t,3 4t,1 t) För ett visst värde på t får vi den sökta punkten P 0. Det är detta t vi ska ta reda på P 3 P 0 = (0,4,2) (1+t,3 4t,1 t) = ( 1 t,1+4t,1+t) Vi har nu två vektorer P 2 P 1 = (2, 1,0) (1,3,1) = (1, 4, 1) och P 3 P 0 = ( 1 t,1+ 4t,1+t). Dessa ska vara vinkelräta mot varandra vilket är samma sak som att ( 1 t,1+4t,1+t) (1, 4, 1) = 0 Enligt definitionen för skalärprodukten får vi nu ( 1 t,1+4t,1+t) (1, 4, 1) = 0 ( 1 t) 4(1+4t) (1+t) = 0 6 18t = 0 t = 1 3 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Nu känner vi t = 1 3 och kan bestämma punkten ( ( P 0 = 1+ 1 ) (,3 4 1 ) (,1 1 )) ( 2 = 3 3 3 3, 13 3, 4 ) 3 och sedan vektorn ( 2 P 3 P 0 = (0,4,2) 3, 13 3, 4 ) ( = 2 3 3, 1 3, 2 ) 3 Återstår att ta reda på P 3 P 0 och P 2 P 1 med hjälp av avståndsformeln innan vi till sist kan bestämma arean. P 2 P 1 = 1 2 +( 4) 2 +( 1) 2 = 18 P 3 P 0 = ( 2 3 )2 +( 1 3 )2 +( 2 3 )2 = 1 A = 18 1 2 = 3 2 2 Extra 14. Bestäm avståndet från punkten ( 2, 5) till y = 3x + 1 Lösning: Vi kan använda formeln nedan då vi skriver linjens ekvation som ax+by+c = 0 och det är avståndet till punkten P 0 = (x 0,y 0 ) som ska bestämmas d = ax 0 +by 0 +c a 2 +b 2 y = 3x+1 skrivs om till 3x+y 1 = 0. P 0 = ( 2,5) d = ( 3) ( 2)+1 5+( 1) ( 3) 2 +1 2 = 10 10 = 10 Håkan Strömberg 7 KTH Syd