Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.4, augusti 04 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 04-03-08 kl 8.30 3.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 6 poäng från del I och II tillsammans, ( 8). Var och en av dessa åtta uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället ht 03 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från I+II minst 0 poäng från del II och III tillsammans, för betyg 5 minst 30 poäng. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Del I. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. (D.). (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna A = (,, 0), B = (0,, ) och C = (,, ), (a) på parameterform, (b) på allmän form. Lösningsförslag: exempel) av (a) Planet Π består av punkter X = (x, y, z) parametriserade (till OX = OA + t AB + sac, dvs där t och s är fria parametrar. x y + t 0 + s 0, z 0 (b) Vill bestämma en ekvation ax + by + cz = d som villkor för att punkten (x, y, z) ligger i planet P i. Om n är en vektor ortogonal mot planet (en normalvektor), så ligger X i P i om och bara om AX n = 0. Vi kan beräkna en normalvektor n (till exempel) som vektorprodukten av två vektorer parallella med planet, exempelvis 0 0 n = AB AC = 0 0 0 = 0 0 0 Planets ekvation ges då av ekvationen (y ) = 0, eller ekvivalent y =.
Alternativ. Från (a) har vi x t 0 + s 0 y z (D.). (3p) Låt Andra komponenten ger oss ekvationen y = 0. Alternativ. De tre punkterna A, B och C har gemensamt att y-koordinaten är, alltså ligger de i planet med ekvationen y =. 0 v =, v =, v 3 = 3 4 och w = 8 5 Uttryck vektorn w som en linjärkombination av vektorerna v, v och v 3. Lösningsförslag: Behöver bestämma koefficienter a, b, c så att eller, på matrisform, a v + b v + c v 3 = w, 0 a 3 b 8 4 c 5 Vi Gauss-Jordaneliminerar totalmatrisen 0 () () 0 (3) () 3 8 0 3 3 9 4 5 0 4 6 0 0 (3)+() 0 3 3 (3) 0 3 0 0 3 3 0 0 3 () 0 0 3 0 4 6 0 0 0 0 0 ()+(3) () () 0 0 3 0 0 0 0 Alltså har vi w = 3 v + ( ) v + v 3. (D.) 3. (3p) Finns det en matris X som uppfyller matrisekvationen AX = B, där 0 0 A = 0 och B =? 0 3 0 Om så är fallet, beräkna den. 3
Lösningsförslag: Om A är inverterbar, så är X = A B den entydiga lösningen till matrisekvationen AX = B. Vi försöker med Gauss-Jordaneliminering av totalmatrisen A I : A I = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 (3) () 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 () (3) 0 0 0 3 I A. 0 0 0 Vi har alltså lösningen 0 0 X = A B = 0 3 6 0 0 0 Alternativ. Vi kan direkt G-J-eliminera totalmatrisen A B = 0 0 0 0 3 0 (3) () A B : 0 0 0 0 0 0 0 0 () (3) 0 0 6 I = A B 0 0 0 (D.) 4. (3p) Den linjära transformationen T : R R, där () x 3x 3y T =, y x 4y () x x kan uttryckas med en matrismultiplikation: T = A. y y (a) Bestäm matrisen A. (p) (b) Vektorn v = är en egenvektor till matrisen A. Vad är det motsvarande egenvärdet? (p) Lösningsförslag: (a) Eftersom 3x 3y 3 3 x =, x 4y 4 y. så har vi 3 3 A =. 4 4
(b) Vi har att 3 3 3 A = = = 3, 4 6 så egenvärdet som svarar mot egenvektorn är 3. 6 4 (D3.) 5. (3p) (a) Matrisen A = har som ett egenvärde. Bestäm egenvektorerna till A som 8 hör till detta egenvärde. (b) Bestäm vad matrisen A (som ovan) har för egenvärde utöver. (c) Bestäm en -matris B som har egenvärden och 3 och vektorerna och som egenvektorer tillhörande respektive egenvärde. 3 (Tips: Använd diagonaliseringen B = P DP.) I denna uppgift har det smugit sig in ett fel som gör att (a) och (b) inte är lösbara som de är skrivna. Egenvärdena till A som den är skriven är 0 och 4. 0 Lösningsförslag: (c) Med D = med egenvärden på diagonalen och P = 0 3 3 med egenvektorer som kolonner har vi 0 B = P DP 3 3 3 5 = = =. 3 0 3 3 4 9 30 3 med dessa egenvärden och egenvektorer. (D3.) 6. (3p) B = { + x, + x, + x + 3x } och S = {, x, x } är två olika baser för rummet P som består av alla polynom upp till och med grad två. Bestäm koordinatvektorerna p(x) S och p(x) B för polynomet p(x) = + 7x + 7x med avseende på respektive bas. Lösningsförslag: Vi ser direkt att Om så gäller att p(x) S = 7 7 a p(x) B = b, c + 7x + 7x = a( + x) + b( + x ) + c( + x + 3x ) = (a + b + c) + (a + c)x + (b + 3c)x, 5
dvs a + b + c =, a + c = 7, b + 3c = 7. Vi Gausseliminerar totalmatrisen för ekvationssystemet. 0 7 0 3 7 Alltså har vi () () 4 (3) 0 5 0 3 7 0 5 0 0 3 () 0 5 0 3 7 0 0 0 0 0 () (3) ()+(3) (3) () () () + 7x + 7x = ( + x) + ( )( + x ) + 3( + x + 3x ) 0 5 0 0 4 0 0 0 0 0 0 3 och alltså p(x) B = 3 Alternativ. Vi bestämmer basbytesmatrisen P B S som är inversen till P S B = 0 0 3 Då har vi / / / p(x) B = P B S p(x) S = 3/4 3/4 /4 7 /4 /4 /4 7 3 (Detaljerna i beräkningarna lämnas åt läsaren.) Del II. 7. (3p) Rangen av en matris är diensionen av kolonnrummet, som också är lika med dimensionen av kolonnrummet. Bestäm vad matrisen M = k k har för rang, beroende på värdet av k. 6
Lösningsförslag: Rangen av en matris är den gemensamma dimensionen av rad- och kolonnrummen i en matris, vilket är detsamma som antalet nollskilda rader efter Gausseliminering. (Rangen förändras inte med radoperationer.) Vi Gausseliminerar till trappstegsform. M = k k () () (3) () 0 0 0 k 0 0 k 0 () (3) 0 0 k 0 0 0 0 k Om k = så är både rad och rad 3 noll i den reducerade matrisen och rangen är då ett. Om k = så är rad 3 noll, men inte rad, rangen är då två. Om k ± så har den reducerade matrisen på trappstegsform ingen nollrad, och rangen är då tre. Sammanfattning: k = : rankm = ; k = : rankm = ; k ±: rankm = 3. 8. (3p) Bestäm, som funktion av x, determinanten det A x för matrisen x 0 0 4 0 0 A x =. 0 0 x 0 0 För vilka värden på x är A x inte inverterbar? Lösningsförslag: Utvecklar vi längs rad får vi 4 0 0 0 0 det A x = 0 x x 0 x x = 4 x x 0 0 = (4 x)( x) = (x )(x ) = x 6x + 4. Matrisen A är inte deriverbar då determinanten är noll, dvs om x = eller om x =. (Man kan också se att om x = så är kolonn och linjärt beroende i A x, om x = så är kolonn 3 och 4 linjärt beroende.) 7
Del III. För full poäng krävs förutom en korrekt och välmotiverad lösning en redig och lättläst presentation. 9. (0p) (a) För de värden på x som gör matrisen A x från uppgift 8 inverterbar, bestäm inversen A x. (b) Bestäm alla egenvärden till A 0. (c) Bestäm baser för egenrummen till A 0. (d) Är A 0 diagonaliserbar? 0. (0p) För matrisen M från uppgift 7, bestäm för varje fall en bas för kolonnrum, radrum respektive nollrum till matrisen.. (0p) Ett plan Π i R 4 innehåller punkterna (,,, ), (,, 3, 4) och (,,, ). Med (x, y, z, w) som koordinater, bestäm ekvationer dels (a) på parameterform dels (b) på allmän form (hur många ekvationer krävs?) (c) Mängden av vektorer som är parallella med planet Π bildar ett underrum V till R 4. Bestäm en bas för detta rum. (d) Bestäm en bas för rummet V av vektorer som är ortogonala mot alla vektorer i V. (e) Bestäm en matris som har V som radrum och V som nollrum.. (0p) (a) En linjär transformation T : R 4 R 4 avbildar vektorn x, y, z, på x+a, y+b, z+c,, för givna värden på a, b, c. Om vi ser x, y, z, som homogena koordinater för en punkt (x, y, z) beskriver det en translation av en punkt i R 3 med vektorn a, b, c. Bestäm matrisen T för denna transformation, dvs T så att x x + a y y + b T =. z z + c (b) En annan transformation R avbildar x, y, z, på x, y, z, där (x, y, z) är koordinaterna för en punkt som roterats vinkeln θ runt z-axeln från (x, y, z). (Moturs om man tittar från positiva z axeln mot origo, i ett högerhänt koordinatsystem.) Bestäm matrisen för denna transformation. Använd c = cos θ och s = sin θ. (c) Bestäm matrisen (för homogena koordinater) för avbildningen som roterar en punkt vinkeln θ kring linjen x = a, y = b, uttryckt i c, s, a och b. Lycka till! /SK 8
Course: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Exam date: 04-03-08 kl 8.30-9.30 Aids : No aids allowed except for attached cheat sheet. No calculator. The examination is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3 or higher) at least 6 points are needed from problems 8 (Part I+II). Each of these 8 problems may yield 3 points. For each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 0 points in part II+III (problems 7 ). For grade 5 at least 30 points in part II+III is required. Give full solutions to all problems. Don t answer more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Part I. Problems 6 may each be substituded for by the corresponding pre-test results. (D.). (3p) Find equations, in a xyz coordinate system, for the plane containing the points A = (,, 0), B = (0,, ) and C = (,, ), (a) in parameter form, (b) in general form. (D.). (3p) Let 0 v =, v =, v 3 = 3 och w = 8 4 5 Express the vector w as a linear combination of the vectors v, v and v 3. (D.) 3. (3p) Is there a matrix X which satisfies the matrix equation AX = B, where 0 0 A = 0 and B =? 0 3 0 If that s the case, compute it. (D.) 4. (3p) The linear transformation T : R R, där () x 3x 3y T =, y x 4y () x x can be expressed as a matrix multiplication: T = A. y y (a) Find the matrix A. (p) (b) The vector v = is an eigenvector of the matrix A. Which is the corresponding eigenvalue? (p) 6 4 (D3.) 5. (3p) (a) The matrix A = has as an eigenvalue. Find the eigenvectors of A which corresponds 8 to this eigenvalue. (b) Determine which eigenvalue the matrix A has in addition to. (c) Find a -matrix B which has eigenvalues and 3 and the vectors and as egenvektors corresponding to each eigenvalue respectively. 3 (Hint: Use the diagonalization B = P DP.) 9
(D3.) 6. (3p) B = { + x, + x, + x + 3x } and S = {, x, x } are two different bases for the space P consisting of all polynomials of degree at most two. Find the coordinate vetors p(x) S and p(x) B for the polynomial p(x) = + 7x + 7x with respect to each of the two bases. Part II. 7. (3p) The rank of a matrix is the dimension of the column space, and is also equal to the dimension of the row space. Find the ranks of the matrix M = k k depending on the different values of k. 8. (3p) Find, as a function of x, the determinant det A x of the matrix x 0 0 A x = 4 0 0 0 0 x 0 0 For which values of x is A x not invertible? 0
Part III. For full points, the solution needs to be correct and well-grounded, and the presentation has to be comprehensible ande in good style. 9. (0p) (a) For values of x where the matrix A x from problem 8 is invertible, find the inverse A x. (b) Find all eigenvalues of the matrix A 0. (c) Find bases for the eigenspaces of A 0. (d) Is A 0 diagonalizable? 0. (0p) For the matrix M from problem 7, find, for each case, a basis for each of the column-, row- and nullspaces.. (0p) The plane Π in R 4 contains the points (,,, ), (,, 3, 4) and (,,, ). With (x, y, z, w) as coordinates, find equations (a) in parameter form, and (b) in general form (how many equations are needed?) (c) The set of vectors parallel to the plane Π forms a subspace of V in R 4. find a basis for this subspace. (d) Find a basis for the subspace V in R 4 of vectors orthogonal to all vectors of V. (e) Find a matrix which has V as its row space and V as its nullspace.. (0p) (a) A linear transformation T : R 4 R 4 maps the vector x, y, z, to x + a, y + b, z + c,, for given values of a, b, c. Seeing x, y, z, as homogeneous coordinates of a point (x, y, z), it describes a translation of a point in R 3 by the vector a, b, c. Find the matrix T for this transformation, that is, T such that x x + a T y z y + b z + c (b) Another transformation R maps x, y, z, to x, y, z, where (x, y, z) are the coordinates of a point rotated an angle θ around the z-axis from the point (x, y, z). (Counter-clockwise if you look towards the origin from the positive z-axis, in a right-handed coordinate system.) Find the matrix for this transformation. Use c = cos θ and s = sin θ as a shorthand. (c) Find the matrix (for homogeneous coordinates) for the transformation which rotates a point the angle theta around the line x = a, y = b, expressed in c, s, a and b. Good luck! /SK