1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm fyrhörningens masscentrum. 3 p) Lösningsförslag. a) Fyrhörningen är en parallelltrapets i och med att två av de fyra sidorna är parallella. Arean ges av basen gånger medelvärdet av höjden dvs 5 6 + 4)/2 25 areaenheter. y x FIGUR. Fyrhörningen D

2 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 b) Vi behöver beräkna medelvärdet av x och medelvärdet av y över området. Området bestäms av olikheterna y 5 och x 6 2y/5. 5 6 2y/5 5 [ )] x 2 6 2y/5 x, y) dxdy 2, xy dy 5 ) 6 2y/5) 2, y6 2y/5 dy [ 2 5 )] 6 2y/5) 3 5, 3y 2 2y3 2 6 5 5 4 3 2 6 + 5 6 3 2 6, 3 52 2 ) 53 5 8 ) 5 9 + 9, 75 3 3 3, 75 ). 3 Därmed ges masscentrum av 9 25 3, 75 ) 38 3 5, 7 ). 3 Svar. a) Området är en parallelltrapets med area 25 areaenheter. b) Områdets masscentrum ligger i punkten 38/5, 7/3).

SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 3 2. Vektorfältet F i planet ges av Fx, y) y 2, 2xy + ). a) Avgör om F är konservativt. p) b) Beräkna kurvintegralen F dr, där är kurvan som parametriseras av rt) te t, e t ), t. 3 p) Lösningsförslag. a) Eftersom vektorfältet är definierat över hela planet som är enkelt sammanhängande räcker det att kontrollera om det uppfyller att F 2 x F y. Vi har att F 2 x F 2y 2y. y Därmed är F konservativt. Vi kan också göra det genom att finna en potential. Genom integration med avseende på x får vi Φx, y) xy 2 + gy) och vid derivering med avseende på y får vi 2xy + g y) 2xy +. Därmed kan vi välja gy) y och Φx, y) xy 2 + y är en potential. b) Med hjälp av potentialen Φx, y) xy 2 + y kan vi beräkna kurvintegralen som F dr Φe, ) Φ, e ) e + e 2 e e + e. Om vi ska beräkna integralen med hjälp av parametriseringen får vi dr e t + te t, e t ) dt och integralen blir F dr e 2t 2 + t)e t + 2te t e t + )e t dt + t)e 3t 2 + 2te 3t 2 + e t dt + 3t)e 3t 2 + e t dt ] [ + 3t) e3t 2 + e t e 3t 2 dt 3 4 3 e [ ] e 3 e 2 + e 3t 2 e + e. 3 Svar. a) Fältet är konservativt. b) Integralen är F dr e + e.

4 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 3. Den plana kurvan parametriseras av rt) sin t, sin t + ) 2 cos t, t 2π. a) Bestäm den högsta farten för en partikel som rör sig enligt denna parametrisering. 2 p) b) Kurvan är sluten och begränsar ett område i planet. Arean av detta område ges med Greens formel av kurvintegralen F dr y dx där Fx, y) y, ). Beräkna denna area. 2 p) Lösningsförslag. a) Partikelns hastighet ges av derivatan r t) cos t, cos t ) 2 sin t r t) och farten ges av beloppet av detta, dvs cos 2 t + cos 2 t 2 2 sin t cos t + 2 sin 2 t 2 2 2 sin t cos t 2 2 sin 2t. Detta blir som störst när sin 2t, dvs vid t 3π/4 och vid t 7π/4. Då har vi r 3π/4) r 7π/4) 2 + 2. b) För att bestämma arean beräknar vi kurvintegralen enligt parametriseringen och behöver dr cos t, cos t 2 sin t)dt vilket ger 2π F dr y dx sin t + 2 cos t)cos t) + cos t ) 2 sin t) dt 2π sin t cos t + ) 2 cos 2 t dt π 2, där vi använt oss av att cos 2 t har medelvärde /2 och sin t cos t /2 sin 2t har medelvärde noll. Svar. a) Högsta farten är 2 + 2 längdenheter per tidsenhet. b) Områdets area är 2π areaenheter.

SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 5 DEL B 4. Låt fx, y) 2x 2y + x 2 xy 2 + 2y 3. a) Beräkna Taylorpolynomet av grad två till funktionen f kring punkten, 2). 2 p) b) Använd Taylorpolynomet för att avgöra om fx, y) har ett lokalt maximum, lokalt minimum eller ingetdera i punkten, 2). 2 p) Lösningsförslag. a) VI beräknar derivatorna och får f x x, y) 2 + 2x y2, f x, y) 2 2xy + 6y2 y och 2 f 2 f 2 f x, y) 2, x, y) 2y, x, y) 2x + 2y. x2 y x y2 När vi sätter in x, y), 2) får vi f, 2) 2 4 + 4 + 6 25 och f f, 2), x y, 2), 2 f 2 f x, y) 2, x2 y x x, y) 4, 2 f x, y) 22. y2 Därmed ges Taylorpolynomet av grad två av P x, y) 25 + 2 2x )2 2 4x )y 2) + 22y 2) 2 ) 25 + x ) 2 4x )y 2) + y 2) 2. b) I och med att Taylorpolynomet saknar linjära termer är, 2) en kritisk punkt till fx, y). Vi behöver se på den kvadratiska formen Qh, k) h 2 4hk + k 2. Med kvadratkomplettering får vi h 2 4hk + k 2 h 2k) 2 + 7k 2 som visar att punkten, 2) är ett lokalt minimum för f. Vi kan också se detta genom att se på egenvärdena, λ och λ 2, för den symmetriska matrisen som svarar mot den kvadratiska formen, dvs för [ ] 2 2 I och med att både spåret, dvs λ + λ 2 2, och determinanten, dvs λ λ 2 4 7, är positiva måste båda egenvärdena vara positiva och den kvadratiska formen positivt definit. Slutsatsen blir på nytt att punkten är ett lokalt mimimum. Svar. a) Taylorpolynomet är P x, y) 25 + x ) 2 4x )y 2) + y 2) 2. b) Punkten, 2) är ett lokalt minimum för funktionen f.

6 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 5. Låt D vara kvartscylindern som ges av olikheterna y 2 + z 2 9, x 2, y och z. Beräkna flödet av vektorfältet Fx, y, z) x 2 y, y 2, yz 2 ) ut genom randen till D. 4 p) Lösningsförslag. I och med att fältet är kontinuerligt deriverbart och randytan är sluten och styckvis kontinuerligt deriverbar kan vi använda divergenssatsen för att beräkna flödet. Divergensen ges av div Fx, y, z) F x + F 2 y + F 3 2xy 2y + 2yz. z Eftersom området som innesluts av ytan är en cylinder i x-led över en kvartscirkel i yzplanet är det lämpligt att använda cylinderkoordinater med y r cos θ och z r sin θ. Flödet genom ytan S som innesluter området D blir nu enligt divergenssatsen F ds div F dxdydz S D π/2 3 2 π/2 3 π/2 3 2xr cos θ 2r cos θ + 2r 2 cos θ sin θ ) rdxdrdθ [ x 2 2x)r 2 cos θ + xr 3 sin 2θ ] 2 drdθ 2r 3 sin 2θ drdθ [ ] r 4 3 [ cos 2θ] π/2 4 8 8 ) )) 4 2. Genom att bertrakta symmetrin i planet x hade vi kunnat bortse från de två första termerna i div F eftersom 2x )y genom symmetrin har medelvärde noll över cylindern.) Det går också att beräkna flödet genom ytans fem olika delar. De ytor som ger något bidrag är dels x 2 då vi behöver integrera 4y dydz där D är en kvartscirkel med D radie 3, vilket ger 36, dels den buktiga ytan där vi behöver integrera S yz3 y 3 )/3 dydz, vilket ger 9/2. Svar. Flödet ut genom ytan är 8/2.

SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 7 6. Osquar ska inreda en myshörna i sin lägenhet och vill därför mäta avståndet a mellan ett skåp och motstående vägg. Eftersom det ligger en massa bråte i vägen är det svårt att mäta avståndet a direkt, så han mäter istället avstånden b och c, enligt figuren a b c och får b 2 ±, dm, c 2 ±, dm. Sedan använder han Pythagoras sats för att bestämma ett uttryck för a i b och c. Använd linjarisering linjär approximation) av detta uttryck för att bestämma a med felmarginal. 4 p) Lösningsförslag. Pythagoras sats säger att a c 2 b 2. Med b 2 dm och c 2 dm får vi a 2 2 2 2 dm, dvs a 6 dm. En linjarisering av detta ger a a a b + b c c vilket för dessa värden ger Därmed får vi b c2 b b + 2 a 3 b 4 + 5 c 4. c c2 b 2 c b a b + c a c a 3 4 b + 5 4 c 3 4, + 5,,2. 4 Svar. Vi får a 6 ±,2 dm.

8 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL 7. I denna uppgift antar vi att alla funktioner och vektorfält är kontinuerligt deriverbara. a) Visa att ett konservativt vektorfält Fx, y, z) i tre dimensioner är rotationsfritt, det vill säga uppfyller rot F F. 2 p) b) Vi säger att ett vektorfält Fx, y, z) i tre dimensioner har en integrerande faktor fx, y, z) om fx, y, z) är en funktion sådan att vektorfältet ff är konservativt. Visa att om F har en integrerande faktor så är rot F ortogonalt mot F överallt. 2 p) Lösningsförslag. a) Om F är konservativt finns en potential, dvs en funktion Φ så att F grad Φ Φ. Detta ger Φ F x, Φ y, Φ ). z När vi sedan beräknar rotationen rot F får vi F3 rot F y F 2 z, F z F 3 x, F 2 x F ) y ) 2 Φ y z 2 Φ z y, 2 Φ z x 2 Φ x z, 2 Φ x y 2 Φ,, ) y x i och med att de blandade partiella derivatorna är lika när de är kontinuerliga. b) Låt f vara en funktion sådan att vektorfältet G ff är konservativt. Vi har då enligt rot G del a) att f y F 3 f z F 2, f z F f x F 3, f x F 2 f ) y F + f rot F f) F + f rot F så det räcker att visa att den första termen är ortogonal mot F överallt i och med att f aldrig är noll. Detta kan vi visa genom att använda skalärprodukten och får då F f F), eller utskrivet med alla termer f F y F 3 f z F 2, f z F f x F 3, f x F 2 f ) y F F f y F 3 f z F 2 ) F F 3 f x f x ) f + F 2 z F f x F 3 ) + F 2 F f y f y ) f + F 3 x F 2 f ) y F f + F 3 F 2 z f ). z

SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 9 8. Inom datalogin studeras bland annat hur slumpträd uppdateras vid slumpmässigt borttagande av element. Då behöver trippelintegralen y x) k z y) k) dx dy dz x y z beräknas där k är ett positivt heltal. Beräkna denna trippelintegral för alla k >. Ledning: Beräkningarna kan bli olika komplicerade beroende på i vilken ordning integrationerna utförs.) 4 p) Lösningsförslag. Det går lättast att beräkna integralen genom att först integrera med avseende på y. Vi får då y x) k z y) k) dx dy dz x y z z z y x) k z y) k) z [ ] y x) k+ z z y)k+ dy dx dz + dy dz x k + k + x z ) z x) k+ z z x)k+ + dy dz dy dz. k + k + Det går också att beräkna med x först, därefter y och sist z. Vi får då y x) k z y) k) dx dy dz x y z z y y x) k z y) k) dx dy dz z ] y y x)k+ [ xz y) k dy dz k + z ) y k+ k + + z y)k+ zz y) k dy dz [ y k+2 z y)k+2 z y)k+ + z k + )k + 2) k + 2 k + ) z k+2 k + )k + 2) + zk+2 k + 2 z zk+ dz k + Svar. där vi använt att k + k + 2 x y z k + 2) k + ) k + )k + 2) z ] z ) y k+ yz y)k dy dz k + dz dz y x) k z y) k) dx dy dz. k + )k + 2).

SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 9. Bestäm den högst belägna punkt på paraboloiden z x 2 + 4y 2 som är belyst av en punktljuskälla i 8, 3, ). 4 p) Lösningsförslag. Gränsen av det belysta området består av de punkter på paraboloiden där ljusstrålarna från P 8, 3, ) tangerar ytan. Detta betyder att gradienten för x 2 + 4y 2 z ska vara vinkelrät mot linjen. Detta ger villkoret 2x, 8y, ) x 8, y 3, z) 2xx 8) + 8yy 3) z. Punkterna ska dessutom ligga på paraboloiden så vi söker punkter på kurvan som ges av ekvationssystemet { z 2xx 8) + 8yy 3) z x 2 + 4y 2 som är ekvivalent med { z x 2 + 4y 2 xx 6) + 4yy 6) Vi söker det maximala värdet för z under dessa villkor, vilket är detsamma som att maximerar fx, y) x 2 +4y 2 under bivillkoret gx, y) där gx, y) xx 6)+4yy 6). Detta är en ellips i xy-planet och vi kan använda Lagranges metod för att se att vi måste ha gradienterna till f och g parallella vid optima. Detta ger villkoret att 2x, 8y) ska vara parallell med 2x 8), 8y 3)), vilket ger 6xy 3) 6yx 8). Alltså måste 8y 3x och x λa och y λb för något λ. Insatt i bivillkoret ger det λλ 2)8 2 +4λλ 2)3 2, dvs λλ 2). När λ får vi x y z och när λ 2 får vi x 6, y 6 och z x 2 + 4y 2 4 8 2 + 6 3 2 4. Därmed blir den högst belägna belysta punkten x, y, z) 6, 6, 4). Svar. Den högst belägna belysta punkten är x, y, z) 6, 6, 4).