Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

Relevanta dokument
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

y(0) = e + C e 1 = 1

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

5B1134 Matematik och modeller

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

MVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

SF1626 Flervariabelanalys

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

SF1635, Signaler och system I

Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, 2012/13

Lösning till kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

A dt = 5 2 da dt + A 100 =

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

= 0 genom att införa de nya

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Kontrollskrivning KS1T

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

= = i K = 0, K =

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Repetitionsuppgifter

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Tentamen i Envariabelanalys 2

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Kontrollskrivning 1A

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Lösningsförslag envariabelanalys

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Tentamen: Lösningsförslag

Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.

MVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)

MVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Transkript:

Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg 4 krävs 25 poäng, och för betyg 5 32 poäng. Lösningarna skall motiveras väl! TENTAMENSSKRIVNING 1. Beräkna Fourierserien med period 2π till funktionen ft = cos t π + cos 2 t, π < t < π. 2 Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. 5 Vi observerar först att cos 2 t = 1 2 1 + cos2t, vilket betyder att vi har Fourierserieutvecklat vänster led med period 2π. Enligt de trigonometriska additionsformlerna har vi och enligt BETA, s. 31 gäller att cos t π = sin t, 2 sin t 2 = π 4 1 π 4n 2 1 cos2nt. Lägger vi ihop dessa två utvecklingar erhålls ft = 1 2 1+cos2t + sin t 2 = π + 1 1 + 2 2 4 cos2t 4 1 3π π 4n 2 1 cos2nt. n=2 Detta är alltså Fourierserieutvecklingen. Grafen sammanfaller med grafen till funktionen f, vilken även den har period 2π. Av tekniska skäl avstår vi här från att rita grafen på det indikerade intervallet. V.g. vänd!

2. Finn en lösning till Dirichlet-problemet u = på skivan D = { x, y : x 2 + y 2 9 } med randvärdena u3 cos θ, 3 sin θ = 5 cos 3 θ, θ < 2π. 5 Enligt variabel-separations-metoden kan vi ansätta lösningen till Dirichlets problem på formen ur, θ = c + r n[ ] a n cosnθ + b n sinnθ, där c, a 1, b 1, a 2, b 2,... är konstanter vi kan anpassa. Här står r, θ för en punkt i planet given på polär form. Enligt randdata på cirkeln med radie r = 3 har vi således u3, θ = c + 3 n[ ] a n cosnθ + b n sinnθ = 5 cos 3 θ. 1 Enligt formeln cos θ = 1 2 e iθ + e iθ beräknar vi tredjepotensen lätt: cos 3 θ = 1 8 e iθ + e iθ 3 1 = 2 cos3θ + 6 cosθ. 8 Höger led i 1 är alltså omskrivet som en ändlig Fourierserie, och vi kan identifiera koefficienter: c =, b n = för n = 1, 2, 3,..., och a 1 = 5 4, a 3 = 5 18, medan a n = för alla övriga n. Lösningen blir alltså ur, θ = 5 4 r cosθ + 5 18 r3 cos3θ, återigen uttryckt i polära koordinater. Skriver vi så om ovanstående i vanliga koordinater x, y, får vi ux, y = 5 4 x + 5 x 3 3xy 2. 18

3. Bestäm de konstanter a, b så att integralen a + b x cos x 2 e x dx blir så liten som möjligt, och beräkna detta minsta värde. 5 Här behöver vi Laguerre-polynomen [BETA, ss. 263 264], L x = 1, L 1 x = 1 x, vilka är ortonormerade med avseende på inre produkten f, g = fx ḡx e x dx. Projektionen av fx = cos x på det delrum som uppspänns av L, L 1 ges av f, L L x + f, L 1 L 1 x, så vi behöver beräkna ovanstående inre produkter. Detta kommer så att ge värdena på parametrarna a, b; dessutom får vi det sökta minsta värdet som Vi beräknar: f 2 f, L 2 f, L1 2. f, L = cosx e x dx = 1 2 enligt en formel för Laplace-transformer i BETA, s. 327, samt f, L 1 = 1 x cosx e x dx = 1 2 om vi tittar på ytterligare en sådan formel i BETA, s. 328. Vi får således att a + bx = 1 2 + 1 2 1 x = 1 x 2, dvs a = 1, b = 1 2. Vi behöver normen på f: f 2 = cos 2 x e x dx = 1 2 enligt formel i BETA, s. 327. Minimum blir alltså: 3 5 1 4 1 4 = 1 1. 1 + cos2x e x dx = 3 5, V.g. vänd!

4. Betrakta integralekvationen 1 1 fx y dy = gx, där x löper över alla reella tal. Här är funktionen g given, och vi letar efter funktionen f. Finns det några naturliga villkor som är nödvändiga på g för att ovanstående skall ha en lösning f som är absolut-integrerbar på hela reella linjen dvs av klass L 1 R? Vi utgår ifrån att även g är av klass L 1 R. För att illustrera problemet, studera speciellt följande två fall: a gx = 1 på intervallet [ 2, 2], medan gx = i övrigt, b gx = 2 x på intervallet [ 2, 2], medan gx = i övrigt. 5 Låt 1 [ 1,1] beteckna funktionen som antar värdet 1 på intervallet [ 1, 1], medan värdet är i övrigt. Ovanstående ekvation kan vi nu skriva som en faltningsekvation: Denna Fouriertransformerar vi, och får f 1 [ 1,1] = g. fω 1 [ 1,1] ω = ĝω, för alla reella ω. En kalkyl ger vid handen att 1 [ 1,1] ω = 1 1 e itω dt = 2 1 [ sinωt costω dt = 2 ω ] 1 t= = 2 sinω ω, för ω, medan 1 [ 1,1] = 2. Vi noterar att 1 [ 1,1] ω har nollställen i alla punkter ω = nπ, för n = ±1, ±2,.... Detta innebär att för att kunna lösa ovanstående ekvation måste även ĝω ha nollställen i dessa punkter. Vi betraktar först funktionen g i a. Då blir vilket ger att ĝω = 1 [ 2,2] ω = 2 sin2ω, ω fω = sin2ω sinω = 2 cosω. Funktionen 2 cosω går ej mot då ω +, vilket enligt Riemann-Lebesgues lemma innebär att f ej kan ligga i klassen L 1 R.

Vi betraktar sedan funktionen g i fall b. Då blir ĝω = 2 2 t e itω dt = 2 2 2 2 sinω 2 t costω dt = 4, ω och lösningen f blir given av fω = 2 sinω ω, dvs f = 1 [ 1,1]. Detta problem är alltså lösbart. 5. Genom att använda metoden med separation av variabler, lös ekvationen u xx = 4 u t, < x < π, < t < +, med randvillkoren u, t = uπ, t =, < t < +, och begynnelsevillkoret ux, = xπ x, < x < π. 6 Värmeledningsproblemet u xx = 4 u t längs med < x < π, < t < +, med perioden V.g. vänd!

2π i x-led har lösningen ux, t = c + Vi stoppar in en del av randvillkoren, nämligen vilket ger att så att e n2 t/4 a n cosnx + b n sinnx. u, t = uπ, t =, c =, a n = för n = 1, 2, 3,..., ux, t = Det återstående randvillkoret get ux, = Detta löser vi med hjälp av BETA, s. 39: b n sinnx = 8 π b n e n2 t/4 sinnx. b n sinnx = xπ x för < x < π. k=1 1 2k 1 3 sin 2k 1x, vilket låter oss dra slutsatsen att b n = för jämna n, medan för udda n gäller att b n = 8 π 1 2k 1 3 för n = 2k 1. Vi finner att ux, t = 8 π k=1 1 2 2k 1 3 e 2k 1 t/4 sin 2k 1x, vilket alltså är den sökta lösningen. 6. Beräkna Fouriertransformen av funktionen { sin2t cos3t, 2π < t < 2π, gt =, t > 2π. 5

Vi finner att = i fω = ft e itω dt = = 2i 2π sin2t cos3t e itω dt sin2t sinωt dt 2 cos 2 + ωt cos 2 ωt dt cos2t cosωt dt cos 3 + ωt + cos 3 ωt dt 4i = 4 ω 2 + 2ω 9 ω 2 sin2πω. Denna formel gäller bara för ω ±2, ±3, och värdet i dessa återstående punkter fås som gränsvärdet av ovanstående. Man får då f2 = 2πi, f 2 = 2πi, f3 = f 3 = 2π. 7. Beräkna integralen Ia = a t 2 a 2 + t 2 dt, a >, 5 genom att betrakta Fouriertransformen till funktionen ht = t e a t, och observera därvid att Ia = d da Ja, där Ja liksom Ia är en bestämd integral som beror av a. 5 Vi finner, enligt BETA, s. 314, att ĥω = t e a t e itω dt = 4iaω a 2 + ω 2 2, så att enligt Parsevals formel [BETA, s. 312] har vi 1 2a 3 = t 2 e 2a t dt = 1 2π Vi delar med 16 a 2 på båda sidor, och erhåller ω 2 a 2 + ω 2 4 dω = π 16 a 5. 16 a 2 ω 2 a 2 + ω 2 4 dω. Denna ekvation gäller för alla a, och således kan vi derivera med avseende på a och

behålla likhet: 4 a ω 2 5π a 2 + ω 2 dω = 5 16 a 6. Vi delar med 1/4 på bägge sidor, och får Ia = Detta är alltså värdet på den sökta integralen. a ω 2 5π a 2 + ω 2 dω = 5 64 a 6.