Dilation Erosion. Slutning. Öppning

Relevanta dokument
Originalbild Dilation Erosion Slutning Öppning R esultat av morfolo giska op er ationer til l upp gift 6(b). 2

ffl Utdrag ur kap 2 ur R. O. Duda and P. E. Hart, Pattern Classification", ffl Utdrag ur kap 8 ur R. A. Johnson and D. W. Wichern, Applied Multi

Innehνall 1 Introduktion Processbeskrivning Inloggning och uppstart

Transformkodning Idé: 1. Tag datasekvensen och dela in den i block av storlek N (eller N N om signalen är tvνadimensionell). Transformera dessa block

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

Omtentamen i DV & TDV

Bildbehandling i frekvensdomänen

Bildbehandling i frekvensdomänen. Erik Vidholm

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

2D1420 Datorseende gk (Period 3; VT 2004)

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

LYCKA TILL! kl 8 13

M = c c M = 1 3 1

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Vektorgeometri för gymnasister

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Funktioner. Räta linjen

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

SF1626 Flervariabelanalys

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Preliminärt lösningsförslag

Laboration i Fourieroptik

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

Speciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen

Vektorgeometri för gymnasister

Föreläsning 5. Approximationsteori

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

Omtentamen i DV & TDV

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl

SF1626 Flervariabelanalys

UPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Preliminärt lösningsförslag

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

MMA127 Differential och integralkalkyl II

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

Sidor i boken KB 6, 66

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Den räta linjens ekvation

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Den räta linjens ekvation

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** vara en stationär punkt dvs f x

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript:

Numerisk analys och datalogi, KTH Tony Lindeberg Lösningar till tentamen i 2D42 Datorseende gk 22 4 6 llmänt: För de teorifrνagor där svaren pνa uppgifterna direkt stνar att finna i kurslitteraturen ges i dessa lösningar endast referenser till relevanta avsnitt. Uppgift : ffl subjektiv kontrast/simultaneous contrast: se avsnitt 2..3 i Gonzalez och Woods (22). ffl Butterworths lνagpassfilter: se avsnitt 4.3.2 i Gonzalez och Woods (22) eller föreläsningsanteckningarna Image enhancement by filtering". ffl homeomorf filtrering: se avsnitt 4.5 i Gonzalez och Woods (22) eller föreläsningsanteckningarna Image enhancement by filtering". ffl `K-means clustering: se föreläsningsanteckningarna Pixelklassificering" ffl rektifiering: se föreläsningsanteckningarna Stereogeometri" ffl horoptern: se föreläsningsanteckningarna Stereogeometri" ffl run-length-kodning: se föreläsningsanteckningarna Representation, morfologi" eller sidorna 452 453 i Gonzalez och Woods (22). Uppgift 2: (a) Märkning av sammanhängande komponenter: se föreläsningsanteckningarna Digital geometri" eller avsnitt 9.5.3 i Gonzalez och Woods (22). (b) Relationen mellan frekvensvariablerna i kontinuerliga respektive diskreta Fouriertransformen: se föreläsningsanteckningarna Samplingsteoremet och DFT" eller instruktionerna till Laboration 2. Uppgift 3: För att transformera ett plant omrνade under perspektivavbildningen kan man använda sig av att den speciella egenskap som innebär att sνadana transformationer kan beskrivas genom matrismultiplikation av koordinatvektorer i homogena koordinater. Detta innebär att det finns nνagon matris med matriselement a ij sνadan att samtliga givna bildkoordinater (x k ;y k ) T kan transformeras till koordinater (x k ;y k )T i ett plant världskoordinatsystem enligt k @ x k y k = @ a a2 a3 a2 a22 a23 a3 a32 a33 @ x k y k se föreläsningsanteckningarna Image formation" för ytterligare detaljer. Ett möjligt förfarande för denna typ av uppgift bestνar sνaledes av följande steg:

ffl Ställ upp korrespondenser mellan avmätningar av bildpositionerna (x k ;y k ) T för de punkter som har kända koordinater (x k ;y k )T i planet. ffl För varje sνadant par av punkter, eliminera k och ställ upp tvνa homogona ekvationer där k eliminerats och som innebär linjära villkor av formen ρ b T k a = b T 2k a = pνa koeffienterna a ij samlade till en vektor a (se ytterligare detaljer i föreläsningsanteckningarna Image formation") ffl Givet minst 4 sνadana punktkorrespondenser (helst betydligt fler), samla dessa ekvationer till ett homogent ekvationsssystem pνa formen Ba = där varje punktkorrespondens ger upphov till tvνa rader i matrisen B. Lös därefter detta ekvationssystem i minstakvadratmening med SVD. Detta ger de aktuella värden pνa a ij för den inversa perspektivtransformationen frνan bildplanet till det plana världskoordinatsystemet. ffl För punkter (x l ;y l ) T för vilka endast bildmätningar är tillgängliga, beräkna motsvarande plana världskoordinater (x l ;y l )T enligt l @ x l y l = @ a a2 a3 a2 a22 a23 @ x l y l a3 a32 a33 Uppgift 4: (a) För att reducera belysningsvariationerna i en bild kan man förslagsvis anpassa en linjär eller kvadratisk modell till intensitetsvariationerna i bakgrunden och subtrahera denna variation frνan originalbilden innan klassificering utförs, se föreläsningsanteckningarna Pixelklassificering" för ytterligare detaljer. Eventuellt kan metoden ocksνa kombineras med homeomorf filtrering, som beskrivs i avsnitt 4.5 i Gonzalez och Woods (22). (b) För att öka den lokala kontrasten i en grνanivνabild kan man dels anvνanda sig av grνanivνatransformationer som exempelvis histogramutjämning (se avsnitt 3.3. i Gonzalez och Woods (22) eller föreläsningsanteckningarna `Grνanivνatransformationer"`) och dels högpass- eller bandpass-filtrering (se avsnitt 4.4 i Gonzalez och Woods (22) eller föreläsningsanteckningarna Image enhancement by filtering"). Uppgift 5: Metoden för differentialgeometrisk kantdetektion via non-maximum suppression liksom metoden för kantdetektion via nollgenomgνangar till Laplace-operatorn beskrivs i föreläsningsanteckningarna Kantdetektion" samt instruktionen till Laboration 3. 2

Dessa metoder uppvisar likheter i avseendet att för bνada metoderna gäller att kanterna definieras som nollgenomgνangar för ett differentialuttryck som involverar derivator upp till ordning 2. De faktiska utseendena för dessa differentialuttryck skiljer sig dock νat. I praktiken visar det sig att kanternas lägen sammanfaller för raka kanter medan kanternas lägen kommer att skilja sig νat för krökta kanter. Vidare involverar kantdetektion via non-maximum suppression ett ytterligare teckenvillkor för ett differentialuttryck som innehνaller derivator upp till ordning tre. Detta teckenvillkor förhindrar detektion av falska kanter, där gradientmagnituden uppvisar ett minimum i gradientriktningen. Uppgift 6: (a) Gällande definitionerna av de morfologiska operationerna dilatation, erosion, öppning och slutning, se kapitel 9 i Gonzalez och Woods (22) eller föreläsningsanteckningarna Representation, morfologi". Resultatet av att applicera dessa operationer pνa det binära objektet framgνar av nedanstνaende figur. Dilation Erosion Slutning Öppning Schematisk illustration av resultatet av att applicera dilatation, erosion, slutning och öppning pνa det binära objektet i uppgift 6(a). 3

(b) Gällande pyramidrepresentation, se föreläsningsanteckningarna Theory of a visual front-end". (c) Gällande definitionen av disparitet, se föreläsningsanteckningarna Stereogeometri". Gällande metoder för att beräkna disparitetskartor, se föreläsningsanteckningarna Stereomatchning". (d) Gällande faktoriseringsförfarandet för en bildsekvens med affina projektioner av punktformade objekt, se instruktionen till Laboration 4 respektive utdraget ur avsnitt 7.2 ur Hartley och Zisserman. Uppgift 7: (a) En Taylorutveckling av ordning tvνaav den givna operatorn r 2 8 med steglängden h i horisontell x-led och k ivertikal y-led ger r 2 8L(x; y) = L(x h; y + k) + L(x; y + k) + L(x + h; y + k) + = @ L(x h; y) - 8L(x; y) + L(x + h; y) + L(x h; y k) + L(x; y k) + L(x + h; y k) f(x; y) hfx + h2 2 f xx + kfy + k2 2 f yy + O(h; k) 3 + f(x; y)+kfy + k2 2 f yy f(x; y)+hfx + h2 2 f xx + kfy + h2 2 f yy f(x; y) hfx + h2 2 = f xx 8f(x; y) + f(x; y)+hfx + h2 2 f xx f(x; y) hfx B + h2 2 f xx kf y + k2 2 f yy @ f(x; y) kfy + k2 2 f yy + O(h; k) 3 C + f(x; y)+hfx + h2 2 f xx kf y + h2 2 f yy = 3(h 2 L xx + k 2 L yy)+o(h; k) 3 ßfmed h = k = samt försummande av resttermeng ß 3(L xx + L yy) = 3r 2 L: Dvs, operatorn r 2 8 utgör en diskret approximation till den kontinuerliga Laplaceoperatorn, multiplicerad med en faktor 3". (Man kan vidare lätt visa att resttermen O(h; k) 3 i detta fall reduceras till O(h; k) 4.) (b) För stelkroppsrörelse med ren translation (ingen rotation) gäller att det optiska flödet utgνar frνan expansionscentrum, som ligger i skärningspunkten mellan bildsfären och rörelseriktningen. Utifrνan denna egenskap kan vi beräkna de sökta vinkelhastigheterna enligt följande: (i) I denna punkt är rörelseflödet riktat rakt nedνat. Med ett koordinatsystem med origo i observatörens fokalpunkt, horisontell X-axel, vertikal Y -axel och Z-axeln parallell med rörelseriktningen, kommer punkten pνa marken att ha koordinaterna (X; Y; Z) T = (;h;d) T = 4

(; :2; 3:) T (enhet m) och hastigheten ( _X; _Y; _Z) = (; ;v) = (; ; 9=3:6) (enhet m/s). För att bestämma den momentana vinkelhastigheten _ fi ivertikal led, kan vi derivera projektionsekvationerna i följande form vilket med de givna värdena ger ψ Z Y _ Y _Z _fi = + Y 2 fi = arctan y f = arctan Y Z! = hv h 2 + d 2 ß :9ffi =s (ii) I denna punkt är rörelseflödet riktat rakt bakνat. Pga rotationssymmetrin för rörelsefältet, är den momentana vinkelhastigheten lika stor som för en punkt P som befinner sig pνa samma höjd som observatören, men pνa avstνandet q d 2 = d 2 + h2 där d2 = 3 m. Koordinaterna för P i förhνallande till observatören är (X; Y; Z) T = (d 2 ; ; )T = ( 3:; ; ) T och hastigheten νaterigen ( _X; _Y; _Z) =(; ; v) =(; ; 9=3:6) (enhet m/s). För att bestämma den momentana vinkelhastigheten _ff i horisontell led för P, deriverar vi projektionsekvationen ff = arctan x f = arctan X Z vilket med de givna värdena ger ψ Z _X X _Z _ff = + X2! = v d 2 ß 47:7ffi =s (iii) För dessa punkter kommer rörelsefältet att vara horisontellt riktat. Punkterna kan parametriseras enligt (X; Y; Z) T =(X; ;d3) T där X 2 [ ; ] m och d3 = 3: m och deras relativa hastighet i förhνallande till observatören är ( _X; _ Y; _Z) = (; ;v3) = (; ; =3:6). För att bestämma den momentana vinkelhastigheten _ff, deriverar vi ff = arctan x f = arctan X Z vilket med de givna värdena ger ψ! Z _X X _Z _ff = + X2 = v 3X X 2 + d 2 3 ß2 [ :8; =s :8]ffi Eftersom X << d3 i detta fall, kommer variationen inom detta intervall att kunna approximeras väl som ett linjärt beroende av X. 5

(c) (iv) Detta problem har samma struktur som uppgift (iii) ovan. Enda skillnaden är att punkten ges av(x; Y; Z) T =(d4x; ;d4z) T =( 5:; :; 3:) och att den relativa hastigheten är ( _X; Y; Z) =(; ;v4) =(; ; 8=3:6). Den horisontella vinkelhastigheten blir sνaledes _ff = + X2 ψ Z _X X _Z! = v 4d4x d 2 4x + d2 4z ß 5:5 ffi =s (i) Entropin för en punktkälla som genererar K olika typer av symboler med de relativa frekvenserna p k (k = ::K) definieras enligt H = P K k= p k log 2 p k.entropin för denna källa är sνaledes H = (:36 log 2 :36 + :2 log 2 :2 + :7 log 2 :7 + : log 2 : +:7 log 2 :7 + :5 log 2 :5 + :2 log 2 :2 + : log 2 :) ß 2:45 (ii) Efter applicering av den algoritm som beskrivs pνa sidorna 44 442 i avsnitt 8.4. i Gonzalez och Woods (22) respektive i föreläsningsanteckningarna Bildkompression" kan vi skapa följande kodordsträd.62.26.36.5..8.7.3.5..2..38.7.2 vilket via konventionen att uppνatriktade bνagar svarar mot ettor och nedνatriktade bνagar mot nollor ger upphov till nedanstνaende kodord symbol frekvens kodord S.36 S 2.2 S 3.7 S 4. S 5.7 S 6.5 S 7.2 S 8. (iii) Med l k betecknande kodlängden för kodord nummer k, är medelordlängden L = P K k= p k l k. Numeriskt fνar vi L =:36 Λ 2+:2 Λ 2+:7 Λ 2+: Λ 3+ :7 Λ 4+:5 Λ 5+:2 Λ 6+: Λ 6 ß 2:52 (iv) Transformkodning beskrivs i avsnitt 8.5.2 i Gonzalez och Woods (22) samt i föreläsningsanteckningarna Bildkompression". 6