Bråk från början - ett sätt att lära så man kan det - Lena Byström

Bråk från början - ett sätt att lära så man kan det - Lena Byström VT 2007

Sammanfattning På vår skola har vi länge upplevt att alla elever inte inhämtar den förståelse och förtrogenhet för tal och begrepp, som krävs för att kunna lösa och hantera problem i matematik. De arbetssätt som vi tillämpat tidigare ger inte längre de resultat som vi förväntar oss. Med vårt utvecklingsarbete: Bråk från början ville vi undersöka om ett laborativt arbetssätt och längre tid än vad vi vanligtvis använder till samma område påverkar den kompetens som krävs för att lösa problem inom en avgränsad del av det område som i matematiken kallas taluppfattning. Vi ville också lära oss något om de processer som påverkar elevens lärande. Genom att använda oss av s.k. Lesson study metodik fick vi möjlighet att observera hur vår gemensamma planering av lektionerna fungerar i mötet med eleverna. Elevernas loggboksskrivande gav oss ledtrådar om hur lärandet fortskred. Deras bilder och kommentarer tillsammans med resultat från diagnoser och prov visar att ett laborativt arbetssätt om de grundläggande begreppen i bråkräkning ger förståelse och skapar en stabil grund hos eleverna som ny kunskap kan utvecklas ifrån. Laborativt arbetssätt, grundläggande begrepp, tid, lärprocesser.

Innehållsförteckning 1. Inledning 1 1.1 Bakgrund 2 1.2 Tidigare forskning 3 1.3 Vad säger styrdokumenten? 4 1.4 Teoretiskt perspektiv 5 1.5 Syfte 6 2. Metod 7 2.1 Urval 7 2.2 Datainsamlingsmetoder 8 2.3 Procedur 8 2.4 Några uppgifters lösningsfrekvens på Nationella prov i matematik 8 2.5 Vardagsuppfattningar hos eleverna 8 2.6 Försök med alternativ undervisningsmetod 9 2.7 Lesson study 9 2.8 Genomförande av aktioner 10 2.9 Självvärdering 14 2.10 Inställning till arbetssätt 14 2.11 Diagnoser och prov 14 3. Resultat 15 3.1 Resultat av undersökning av lösningsfrekvens 15 på fyra nationella prov 3.2 Tabell. Rådata över lösningsfrekvens 15 3.3 Analys av enkät om vardagsuppfattningar 16 3.4 Analys av aktioner 16 3.5 Diagram 1. Självvärdering 19 3.6 Analys av enkät om inställning till arbetssätt. 20 3.7 Analys av diagnos 20 3.8 Resultat från matematikprov. Diagram 2. 21 3.9 Analys. Påverkas elevers lösningsfrekvens positivt av 21 laborativt arbetssätt? 3.10 Analys. Ger undervisning om bråk från början tillräckligt 22 grundläggande kunskaper så att elever klarar att lösa och hantera uppgifter skrivna i bråk och decimalform på Nationella prov, år 9? 4. Diskussion 24 5. Litteraturförteckning 26

6. Bilagor 28 1. Lärareenkät med tre uppgifter. 2. Självvärdering 3. Enkät, inställning till arbetssätt 4. Diagnos 5. Matematikprov 6. Fyra uppgifter hämtade från Nationella prov. 7. Beräkningar med division av bråk 8. Beräkningar med multiplikation av bråk

Inledning Vårt samhälle förändras i rask takt och synen på vilka kunskaper som kommer att krävas i ett framtida samhälle ledde till att en ny läroplan kom 1994, (Utb94). I läroplanen beskrivs tydliga kunskapsmål att uppnå för år 5 och år 9, men också en mängd kvaliteter i form av processmål som mål att sträva emot. Arbetssättet ska vara elevaktivt och lärandet ska ha som utgångspunkt elevens föreställningar, erfarenheter och problem. Dessvärre fick vi lärare ringa utbildning i det uppdrag som beskrivs i läroplanen och det har tagit oss lång tid att förstå förändringen av den kunskapssyn som genomsyrar läroplanen. Arbetssätten blev dock mera varierande och elevaktiva, men strukturen på elevernas uppgifter var långt ifrån fokuserad och målinriktad. Många av oss hade inte den helhetssyn av uppdraget som krävs för att utifrån målen anpassa undervisningen. I skolans och lärarens uppdrag ligger uppgiften att undervisa så att alla elever når läroplanens mål i år 9 och att alla elever går ut grundskolan med godkända betyg. Det är också min fasta övertygelse att de allra flesta elever kan göra det. Likväl är det inte så i verkligheten. År 2006 klarade inte 12 % av alla elever år 9 betyget godkänt i matematik på nationella provet, vilket inte avviker nämnvärt från föregående års resultat. (Skolverket, 2003) På den skola som jag arbetar på har resultaten varit liknande under de år som jag har arbetat där. Mina lärarkollegor och jag har ofta samtalat om troliga faktorer som kan inverka negativt på elevers lärande, men någon samlad ansträngning att gå till botten med vad som verkligen brister har vi inte gjort. 1

1.1 Bakgrund Under de år som jag arbetat som matematiklärarelärare på högstadiet har jag och mina kollegor ibland upplevt att några elever som vi tar emot från mellanstadiet inte har den begreppsförståelse som vi förväntat oss. Vi har också upplevt att inte heller alla elever lyckas nå den under de år som de går på högstadiet. De arbetssätt som vi tidigare tillämpat ger inte längre de resultat som vi förväntar oss. Vi kände behov av ett förändrat undervisningssätt och samtidigt ta reda på vilken påverkan undervisningssättet kan ha för begreppsförståelsen. Några år tidigare hade vi tagit emot 94 elever som gick ut grundskolan 2005. Vi upplevde då att spridningen av de förväntade kunskaper som dessa elever hade var stor. Det fanns många elever som saknade förståelse för grundläggande begrepp som arbetats med under de första skolåren och som inte kommit särskilt långt i sin matematiska utveckling. Några av eleverna som vi tog emot hade endast hunnit med den kurs som läroboken förespråkar för år 4 och andra var inne på lärobokens kurs år 7. Klasserna som vi tog emot hade dessutom många problem av social och kamratrelations karaktär. Trots denna spridning i kunskap undervisade vi dessa 94 elever på ungefär samma sätt under år 7. I slutet av vårterminen år 7 diagnostiserade vi alla elever i matematik. Denna diagnos tillsammans med övriga prov och lärarnas åsikter om elevernas kunskaper i matematik pekade på att 25 % av eleverna ej skulle bli godkända i matematik höstterminen år 8. Inför nästa läsår bestämde vi att något måste göras. Vi delade in gruppen i fem delar, där undervisningssättet och nivån skulle anpassas efter de elever som fanns där, (Wallby, Carlsson & Nyström, 2001). Ett förslag på hur grupperna skulle kunna se ut gjordes och visades för eleverna. Det blev en stor grupp med drygt 30 elever som vi bedömde hade goda baskunskaper och som skulle kunna utvecklas positivt och stimuleras av en utökad studiekurs. Vi trodde också att nästa grupp i storleksordning (20 elever) skulle klara att nå kunskapsmålen för år 9, men att de skulle vara betjänta av att arbeta i en mindre grupp för att få arbetsro. Nästan alla av de övriga 42 eleverna behövde stanna upp och gå tillbaka för att kunna tillgodogöra sig förståelse för grundläggande begrepp. Undervisningssättet måste anpassas till de elever som fanns i gruppen. Dessa 42 elever delades i tre grupper, varav en endast innehöll fem elever. I den gruppen hade eleverna problem av social karaktär vilket troligen inverkat negativt på deras lärande. Vi valde att låta den lärare som har särskilt god kompetens i sådana frågor att undervisa i den gruppen. De övriga 37 delades upp i två ungefär lika stora grupper. Vi bestämde att inga flyttningar från en grupp till en annan fick ske förrän några månader hade gått. Det blev inte heller några större omflyttningar därefter, eftersom de flesta eleverna kände att undervisningen blev meningsfull och att de lärde sig. När alla dessa 94 elever gick ut grundskolan år 2005 klarade 89,6 % av eleverna godkänt på de nationella proven i matematik. Vi tror att det anpassade undervisningssätt som möjliggjordes av organisationen har stor del i deras kunskapsutveckling. 2

1.2 Tidigare forskning Karin Wallby, Synnöve Carlsson och Peter Nyström menar att det inte heller är organisationsformen av undervisningen som är den viktigaste faktorn när det gäller elevernas prestationer. Det är hög tid, skriver de, att vi i stället för att söka förbättra utbildningens resultat studerar och utvecklar den inre verksamheten - undervisningens innehåll och utformning ( Wallby et al.2001) När man på högstadiet börjar studera mera formell matematik gäller det för läraren att vara uppmärksam på det språk som används när man talar om olika innehåll, säger Madeleine Löwing och Viggo Kilborn i Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle.( Löwing & Kilborn,2002) Ett sätt att underlätta den språkliga förståelsen är att konkretisera undervisningen. Genom att använda ett laborativt material på ett sådant sätt att det underlättar förståelsen av en operation eller metod så kan konkretiseringen hjälpa eleverna att få ett stöd för att bygga upp en ny tankeform och för att återskapa den bortglömda tankeformen. Scherp säger i sin forskning att många lärare menar att eleverna blivit annorlunda och att det är den viktigaste problemskapande faktorn. Förutom detta nämner en del lärare diskrepansen mellan skolverkligheten och lärarnas individuella visioner om lärarskapet och skolan, (Scherp, 2003) I den kvalitetsgranskning som Skolverket gjorde 2001-2002 heter det i rapporten Lusten att lära - med fokus på matematik (skolverket, 2003)att: Innehållet i skolarbetet i stort och i matematik måste upplevas som relevant och begripligt. Att plötsligt förstå något som länge varit svårt stärker motivationen. För förståelse och förmåga att internalisera ny kunskap behöver eleverna kunna anknyta till något redan känt. Tid är en viktig resurs som rätt utnyttjad och tillsammans med andra resurser - lärarkompetens i vid bemärkelse, organisering av undervisningen utifrån elevers behov och nationella mål - kan skapa en god miljö för lärande. Meningsfull tid är den tid då man som lärare möter eleverna och känner att man har tänt en gnista till fortsatt lärande och utveckling, I artikeln Perspektiv på Number sense och taluppfattning (Reys & Reys, 1995) talar Barbara och Robert Reys om en svårdefinierbar kvalitet som behärskas av elever med framgång i sina matematikstudier. De beskriver den som en intuitiv känsla för tal och hur de kan tolkas, eller som sunt förnuft vid användning av tal, emedan den hjälper oss att värdera noggrannheten i våra beräkningar och ger oss förmåga att upptäcka räknefel vid uppskattning. De kallar denna kvalitet för Number sense. Number sense är ett kunnande som utvecklas och mognar med erfarenhet och kunskaper. Dock utvecklas inte detta kunnande av sig självt. För att utveckla den hos våra elever måste undervisningen vara medvetet inriktad på aktiviteter som tränar förmågan att göra logiska kopplingar mellan det som eleven redan kan och vet och ny information. Barbara och Robert Reys menar att det är ett sätt att tänka som borde genomsyra all undervisning och allt lärande i matematik. 3

Hur kan då denna känsla för tal skapas hos eleverna? Vad är nödvändigt att eleven kan eller bör förstå för att kunna utveckla den kompetensen? Vi funderade ytterligare: Finns det något specifikt område inom skolmatematiken som vållar särskilt mycket bekymmer? Hur ska undervisningen gå till? Behöver vi mer kreativa, problemlösande aktiviteter? Behöver vi mer kunskap om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer? 1.3 Vad säger styrdokumenten? I Nationella mål, ur nationell kursplan i matematik, Mål att sträva mot, kan vi läsa om ämnets karaktär och uppbyggnad: För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar Med didaktikkursen i matematik fick en kollega till mig och jag möjlighet att forska i vår egen verksamhet. När jag i fortsättningen nämner vi, menar jag oss två. Vi ville undersöka om ett laborativt undervisningssätt och längre tidsåtgång än vad vi tidigare använt till samma område, påverkar den kompetens, som krävs för att lösa och hantera problem inom taluppfattningsområdet. Undervisningen inriktades på begreppsförståelse med hjälp av konkreta bilder. Som jämförelsematerial av resultaten från vårt utvecklingsarbete arbete används tidigare resultat från några uppgifter som förekommit på nationella prov i matematik år 9 och parallellklassens resultat på det matematikprov som vi genomförde efter arbetets slut. Vi ville också lära oss mera om de processer som bidrar till förståelsen (s.k. erfarenhetsbaserat lärande, (Scherp, 2003) 4

1.4 Teoretiskt perspektiv Resultaten av den forskning som jag bedrivit, säger Hans-Åke Scherp i Skolutvecklingens många ansikten (Scherp,2003) visar att såväl skolledare som lärare anser att deras erfarenhetslärande är den viktigaste påverkansfaktorn för sättet att leda respektive undervisa. Att lära genom att erfara är en process som börjar med att man erfar någonting och sedan reflekterar över det man erfarit.reflektionerna bygger upp lärdomar som påverkar det fortsatta agerandet, som sedan ger grund för ytterligare reflektioner och lärdomar. Scherp beskriver erfarenhetslärandet som en spiral med vars hjälp vi medvetet och omedvetet bygger upp kunskaper av det vi ser och erfar. De olika faserna vid erfarenhetslärande illustreras i figuren nedan. Han varnar dock för att erfarenhetslärandet kan vara konserverande istället för förändrande. Vi människor har en tendens att lägga märke till det som stämmer överens med det som vi redan tror. Scherp menar att lärande gynnas när vi möter tillstånd som vi blir förundrade över och som vi har svårt att passa in i ett mönster. Då byggs nya strukturer upp som gör att en ny ordning uppstår. 5

Som inspiratörer till vårt utvecklingsarbete har främst Gunnar Berg, Hans-Åke Scherp och Tom Tiller varit. Deras beskrivningar av kulturanalyser (Berg, 2003), erfarenhetslärande, (Scherp,2003),och aktionsforskning (Tiller,2002)ledde till att vi utifrånundersökningresultatet av nationella proven planerade: att göra en kulturanalys bland matematiklärarna på skolan. Denna analys utgjordes av en enkät där kollegorna fick lösa ett antal uppgifter och beskriva med ord hur de tänker när de löser uppgifterna. att ta reda på rådande vardagsuppfattningar bland eleverna om begreppen bråk och bråktal. att genomföra några lektioner, aktioner, med fokus på bråkräkning. att använda oss av metodiken för Lesson study för vårt erfarenhetslärande. att använda den tid, som vi uppfattar behövs, för att förankra och konkretisera begreppen. att använda laborativt material i undervisningen. att eleverna under och efter arbetet skulle utvärdera sitt lärande, genomföra diagnoser och prov och skriva loggbok för egen reflektion. 1.5 Syfte Syftet med detta arbete är, att hjälpa de elever som vi undervisar i matematik att utveckla förståelse och förtrogenhet i ett avgränsat område inom taluppfattning, bråkräkning, med hjälp av ett laborativt arbetssätt. Vi ställde oss följande frågor: Vilken typ av uppgifter har vållat störst problem de senaste åren på taluppfattningsdelen av Nationella proven? Ger undervisning i bråk från början eleverna tillräckligt grundläggande kunskaper så att de klarar att hantera och lösa uppgifter skrivna i bråkform på nationella prov, år 9? Påverkas elevernas lösningsfrekvens i bråkuppgifter positivt, av laborativt arbete? Ger längre undervisningstid större förtrogenhet med tal skrivna i bråkform? Hur upplever elever att arbeta med laborativt material? 6

2. Metod 2.1 Urval Vid tidpunkten för starten för utvecklingsarbetet arbetade vi som mentorer och matematiklärare i en klass 7 med tjugo elever i en mellanstor högstadieskola i Västerbottens inland. Femton av de eleverna undervisades av mig som lärare och 5 elever som år 6 uttryckt en önskan, att få undervisning i en mindre grupp undervisades av min kollega. I den mindre gruppen ingick också 3 elever från andra sjuor. Dessa två grupper valdes ut att undervisas om Bråk från början. Parallellklassen till vår sjua deltog också i utvecklingsarbetet de första två veckorna. Alla matematiklärare som arbetade på skolan informerades om vårt utvecklingsarbete och en av dem deltog i arbetet den första tiden. 2.2 Datainsamlingsmetoder Vi började med att undersöka vår skolas resultat från B1-delen på nationella proven årgångarna 2002-2005, för att ta reda på vilken typ av uppgifter som vållar särskilt besvär. Därefter fick våra elever som skulle delta i utvecklingsarbetet, kort beskriva vad de tänker på när de hör ordet bråkräkning och sedan ge exempel på bråktal. Eleverna skrev i speciella loggböcker, som de fått för att dokumentera sitt lärande och för att reflektera över sådant som de upptäckt/lärt sig. Genom att använde oss av Lesson study-metodik, där en lärare observerar klassen och dokumenterar sina observationer medan den andra undervisar, kunde vi efter varje lektion samtala om hur målen för varje lektion uppnåtts, och vad som behövdes bearbetas ytterligare. Eleverna fick efter en tids arbetande med bråkräkning göra en självvärdering om hur säker respektive osäker de kände sig när de skulle lösa nio utvalda uppgifter från skolverkets diagnostiska uppgifter. ( bilaga 2) Vi ville också ta reda på hur eleverna upplevde att arbeta med det undervisningssätt som Bråk från början innebär och därför fick de besvara en enkät.( bilaga 3) Vi utarbetade en diagnos (bilaga 4) och ett matematikprov (bilaga 5) som vi använde under och efter arbetets avslutande för att dels kunna bedöma en kvantitativ men också kvalitativ kunskapsinlärning. Slutligen gav vi våra elever ett prov innehållande samma fyra uppgifter, som hade allra lägst lösningsfrekvens åren 2002-2005, och jämförde deras resultat med niornas resultat. (bilaga 6) 7

2.3 Procedur Vi började med att kartlägga vår skolas elevresultat på del B1, på 2002-2005 års nationella prov, och kategorisera vilken typ av uppgifter som har särskilt låg lösningsfrekvens. Eleverna i de båda sjuorna och den mindre gruppen fick i uppgift att skriva svar på några frågor angående sina uppfattningar om bråktal i den loggbok, som skulle användas under hela utvecklingsarbetet. Under hela arbetet följde vi elevernas loggboksskrivande för att lära oss mera om hur elever lär. Vi valde ut tre elever A, B och C vars tankar om det egna lärandet beskrivs i resultatdelen. Efter 3 veckors arbete genomförde vi den första diagnosen, som fick namnet Räkna med bråk Efter 6 veckors arbete fick eleverna göra en självvärdering där de skulle beskriva hur de kände sig inför att lösa några utvalda uppgifter, som alla handlade om bråktal. Vi valde att använda oss uppgifter hämtade från Skolverkets diagnostiska uppgifter (Primgruppen,2003) På baksidan av densamma hade vi formulerat en enkät som skulle ge svar på: hur eleverna upplevt undervisningssättet, om vi borde använda samma undervisningssätt med kommande sjuor När eleverna arbetat med arbetsområdet i sju veckor fick de ett matematikprov. Provet innehöll 26 uppgifter, som vi kategoriserade G-nivå och fem uppgifter som vi kategoriserade till Vg - nivå. Cirka ett år efter arbetets avslutande fick våra elever, som då gick i åttan, försöka att lösa de fem uppgifter inom taluppfattningsområdet som hade allra lägst lösningsfrekvens av de uppgifter, som vi undersökt tidigare. Enkäter, självskattning, utvärdering, diagnos och matematikprov bifogas som bilagor. 2.4 Några uppgifters lösningsfrekvens på nationella prov i matematik, år 2002-2005 För att ta reda på om något av de fyra olika ämnesområden som mäts i de nationella proven i matematik i år 9; taluppfattning, mönster och samband, statistik och sannolikhetslära samt mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, har lägre lösningsfrekvens än andra, beslöt vi att undersöka gamla nationella provresultat. Vi valde att undersöka B1-delen från årgångarna 2002, 2003, 2004 och 2005. Alla dessa har uppgifter där endast svar krävs, inga lösningar behöver redovisas. Av dessa fyra områden koncentrerade vi oss på taluppfattningsområdet med kartläggning av vilka uppgifter som hade särskilt låg lösningsfrekvens. 2.5 Vardagsuppfattningar hos eleverna Redan före arbetet i skolan har våra elever vardagsuppfattningar, som vi måste bli medvetna om och tillvarata, säger Siegfrid Stake i studiematerialet Täljaren: Del av en helhet. (Stake,1989) Dagmar Neuman har i sin rapport; Om uppfattningar av hälften, fjärdedelen och tredjedelen, (Neuman,1994) beskrivit sex vanliga uppfattningar bland barn från år 2-6. Bortsett från tidiga uppfattningar som handlar om rättvisa delar, lika eller olika delar samt form, finns missuppfattningen att nämnaren uppfattas som ett heltal och 4 1 ses som större än 3 1. 8

De äldre eleverna i Neumans undersökning kunde inte heller förstå och se att 6 2 också kunde vara 3 1. För att få en uppfattning om våra elevers förkunskaper om bråk fick de beskriva med egna ord i sina loggböcker vad de tänker på när de hör ordet bråkräkning och sedan ge exempel på bråktal. 2.6 Försök med alternativ undervisningsmetod Vi beslöt att under lång tid använda oss av ett laborativt arbetssätt med konkret material, för att ge eleverna möjlighet att skapa inre bilder och uppfattningar om tal i bråkform. Vi bestämde att dröja med att införa sifferskrivning, och inte använda några läroböcker förrän vi ansåg att eleverna nått den begreppsförståelse som krävs för att utföra beräkningar och lösa problem som återfinns i dessa. Vi gjorde ingen tidplan, eftersom vi menade att ett sådant skulle stressa oss och eleverna. Vi tror att lärandemöjligheten påverkas positivt av att mera tid ges för varje moment i matematiken. Genom att använde oss av Lesson study-metodik, där en lärare observerar klassen och dokumenterar sina observationer, medan den andra undervisar, kunde vi efter varje lektion, samtala om hur målen för varje lektion uppnåtts, och vad som behövdes bearbetas ytterligare. 2.7 Lesson study Inspirerad av Hieberts Video study (Hiebert et al. 2003) och Staffan Åkerbloms föreläsande och skrivande (Åkerblom, 2005) om Lesson study beslöt vi att använda oss av den metodiken i vår planering av de aktioner som vi ville genomföra med de elever som utvalts att delta i utvecklingsarbete. Före och under planeringen av aktionerna läste vi om hur andra forskat om och arbetat med samma ämne. En av oss skulle leda lektionen och den andra skulle vara observatör och studera hur planeringen fungerat. Efter dagens slut träffades vi för att analysera och utvärdera lektionen. Utvärderingen av observationen fick sedan ligga som grund för eventuella förändringar av planeringen av undervisningen med parallellklassen, men också för nästa lektions innehåll. Lesson study kommer ursprungligen från Japan, där lärare under lång tid arbetat med denna metodik som ett sätt att utveckla undervisningen. Flera lärare planerar ett arbetsområde tillsammans och genom att observera och dokumentera hur elever lär, har deras undervisningssätt förändrats och förbättrats. Idéer till planeringen av arbetet med Bråk från början hämtade vi bl.a. från Lisen Häggblom (Häggblom, 2000), Viggo Kilborn (Kilborn,1990) Madeleine Löwing (Löwing, 2002) och Siegfrid Stake. (Stake 1989) Om de kvaliteter som kännetecknar en framgångsrik lärare kunde vi läsa i Barbara och Clarke Dougs artikel: Hur arbetar duktiga lärare?[clarke & Clarke,2002) 9

2.8 Genomförande av aktioner Lektion 1-2 Med stöd av Siegfrid Stakes undersökningar (Stake, 1989) om hur man enklast skapar en förståelse för bråkbegreppet beslöt vi att utgå från en helhet, som delas upp i ett antal lika stora delar. Målet för vår första lektion blev alltså att eleverna skulle förstå Bråk som del av en helhet. En loggbok till varje elev delades ut för dennes egna reflektioner och anteckningar. Utgångspunkten för vår planering av lektionerna blev Stakes idéer om att använda oss av konkreta material och att låta eleverna arbeta enbart visuellt och muntligt med stambråken, helt utan sifferskrivning. Vi började med att ge eleverna i uppdrag att dela, genom att vika, en cirkel i fyra lika stora delar, en rektangel i sex lika stora delar, en kvadrat och en rektangulär remsa i åtta resp. tio delar. Eleverna uppmanades att fundera över hur de skulle vika. Vi valde att vika papperet dels för att de skulle upptäcka att antalet vikningar inte är synonymt med antalet delar och dels för att arbetet gick att göra flera gånger om resultatet inte blev det förväntade. När alla elever hade vikt färdigt och var nöjda med sina resultat sammanfattade vi uppgiften genom att tillsammans med hela klassen samtala om hur många lika stora delar de hade delat cirkeln, rektangeln, kvadraten och den rektangulära remsan i., och hur dessa delar benämns. Läraren skrev delarnas namn med bokstäver på tavlan. Därefter fick eleverna i kör berätta för varandra hur många fjärdedelar som behövs för att göra en hel, hur många sjättedelar som behövs, åttondelar osv. Detta gjorde vi för att dels befästa sambandet mellan fjärdedelar och den hela, sjättedelar och den hela osv., men också för att träna på bråktalens namn. Eleverna valde sedan ut en del från sin vikning, klippte ut den och klistrade fast den på en hel figur i sin loggbok. De skrev benämningen av bråket med bokstäver på delen. Lektionen avslutades med att eleverna skrev i sina loggböcker Under rubriken om bråktal skrev de: Jag vet att.. Lektion 3-5 följde samma mönster bara med den skillnaden att nu skulle eleverna dela sina geometriska figurer i tre, fem och sju delar och arbeta parvis. De skulle också dela ett äpple i två lika stora delar. Äppeldelen fick avsmakas och vi samtalade med eleverna om benämningarna halv, hälften och tvåondel. Alla bråktalens benämningar skrevs på tavlan med bokstäver. Lektionerna avslutades med eget skrivande i loggböckerna. Lektion 6-7 Introduktion av addition och subtraktion av bråk Eleverna fick nu vika niondelar enligt samma arbetsgång som tidigare. Därefter fick ett par elever i uppdrag att klippa ut en niondel, några skulle klippa ut två niondelar, några tre niondelar osv. Läraren satte under tiden upp en hel remsa med markeringar för varje niondel på whiteboardtavlan. Därefter fick varje elev visa sin del och berätta hur stor del han/hon klippt ut, och svaren skrevs med bokstäver 10

Någon av de elever som klippt ut en niondel fick sätta fast sin del på figuren. Därefter frågade läraren hur mycket som återstod för att fylla hela figuren igen. Alla elever kunde nu se att åtta niondelar fattades Den elev som klippt ut åtta niondelar klistrade fast sina delar och läraren skrev på tavlan: en niondel + åtta niondelar = en hel Samma förfaringssätt gjordes med övriga multipler av niondelarna. Subtraktionen en hel en niondel = åtta niondelar kunde åskådliggöras på samma sätt. Slutligen införde vi siffersymbolerna, benämningarna täljare och nämnare samt poängterade bråkstrecket betydelse. Lektion 8-11 Nu var våra elever rejält trötta på att vika figurer och jobba med vad de kallade dagismatte! Vi fortsatte ändå att använda oss av konkret material, bråklådor för att bygga upp föreställningar av bråk större än en hel. Bråklådorna består av några geometriska figurer, cirklar, kvadrater eller rektanglar och bråkdelar till dessa. Baksidan har en magnetisk film som gör att figurerna fäster på white boardtavlan. Eleverna kunde själva berätta om bråkets storlek och benämning, tack vare de inre bilder de fått från föregående lektioner. Bråklådorna användes också för att växla mellan bråkform och blandad form, och för att konkretisera additioner och subtraktioner. Lektion 12-15 Eleverna fick var sitt arbetshäfte: Räkna med bråk som förutom att vara en räknebok konstruerades så att det kunde användas som en diagnos över vilka begrepp eleverna hade inhämtat respektive behövde mera förståelse för. I detta häfte fick de skriva med siffror och med ord. Häftet omfattade allt som vi hittills arbetat med och resultaten bokfördes. Utifrån våra erfarenheter från resultatet av diagnosen förändrades planeringen av nästa lektion. Vi gick tillbaka till bilderna och samtalade om bråkens namn med bokstäver och med symboler. Diagnosen, Räkna med bråk, bearbetades också inför nästa grupp elever. Lektion 16 För att konkretisera bråkens storleksordning och visa på att fjärdedelar, tredjedelar osv. ser olika ut beroende på helhetens utseende, valde vi att låta eleverna arbeta i par med var sin bråklåda. Den hela var antingen en cirkel eller en kvadrat. De kunde nu konstatera att namnet fjärdedel inte har något med utseendet att göra, utan med det antal delar som man har delat den hela i. De skulle också lägga bråklådans olika delar i storleksordning. Tanken var att de skulle skapa sig inre bilder av bråkens storlek i förhållande till varandra och det hela. 11

Lektion 17-20 Att ungefär varannan elev på högstadiet har problem med subtraktion med oliknämniga bråk, kan knappast skyllas på bristande tabellkunskap i subtraktion, menar Kilborn. Analyser av elevtänkande och elevsvar visar att det oftast är själva bråkbegreppet som saknar förankring hos elevernas erfarenheter och i åskådliga bilder ( Kilborn, 1990) Dessa tänkvärda ord uppmanade oss att fortsätta att arbetade med bråklådorna. Eleverna upptäckte snabbt att det går att bygga en hel figur genom att lägga ihop olika sorters delar. De kunde utföra additioner och subtraktioner med oliknämniga bråk laborativt. De upptäckte också att 2 1, 4 1, 3 1 osv. kan skrivas på flera olika sätt. De laborerade med olika delar och dokumenterade i sin loggbok att t. ex 4 1 = 8 2. Därefter infördes siffrorna vid beräkningar med oliknämniga bråk. Vi introducerade förlängning och förkortning och lämpliga uppgifter till det som vi hittills arbetat med laborativt, plockades nu ur två olika läromedel och eleverna fick, som de själva uttryckte det äntligen, RÄKNA: Lektion 21-22 Nu var det dags att arbeta med multiplikation och division av bråk. För att i möjligaste mån konkretisera dessa båda räknesätt använde vi återigen bråklådorna. Vi började med division eftersom vi menar att multiplikation av två bråktal egentligen är en 1 1 1 division. Ex; = 3 3 2 2 Inledningsvis delade vi ett bråk med ett helt tal. Vi utgick från den hela figuren och delade den i två lika stora delar. På frågan, vad dessa delar kallas, kunde alla svara tvåondelar eller halvor. Alla elever visste också att när man delar något räknar man division. De kände till tecknet för division och vi kunde skriva en hel delat i två delar = en halv med bokstäver och med symboler: 1/2 = 2 1 på tavlan. Vi fortsatte med att dela en halv i två delar och en tredjedel i två delar, en fjärdedel i två delar osv. Alla beräkningar skrevs nu på tavlan med siffror och symboler. Därefter fick de ett arbetsblad med beräkningar (bilaga 7) som de skulle utföra laborativt med hjälp av bråklådan eller egna ritade bilder. Alla beräkningar med svar skulle därefter skrivas in i loggboken. Slutligen uppmanades eleverna att reflektera över sina beräkningar och svar. Kunde de formulera en räkneregel som skulle vara användbar när man utför en division med bråk? Eleverna upptäckte snart att svaret blev detsamma när de multiplicerade nämnaren i bråket med heltalet. Hur gör man då om man dividerar ett bråk med ett tal i bråkform? Eleverna fick börja med att plocka fram den del som utgjorde hälften av den hela plattan. Därefter skulle de pröva sig fram genom att lägga ut vilka andra sorters likadana delar som fick plats på samma yta som den halva delen utgjorde och räkna antalet av dessa. De kunde se att när de la ut fjärdedelar på den halva plattan rymdes två stycken, av sjättedelarna behövdes tre, av åttondelarna 4 stycken osv. 12

Vi samtalade om resultaten och diskuterade hur vi skulle skriva detta matematiskt. Samma förfaringssätt gjordes med övriga delar ur bråklådan. Eleverna skrev beräkningarna med svar i sina loggböcker och fick nu i uppdrag att prövade den metod som de upptäckt föregående 1 1 lektion. De visste att kvoten på beräkningen / = 2 och insåg att om regeln gäller för alla 2 4 1 divisioner med bråk måste man vända på bråket 4 En annan upptäckt gjordes också av eleverna, och vi fick anledning att samtala om när kvoten blir större än täljaren. Vi visade slutligen hur man matematiskt kan förvandla en division till en multiplikation med nämnarens inverterade värde. 23-24 Multiplikation av bråk Bråklådan användes på white - boardtavlan för att åskådliggöra multiplikationen av ett bråk, vilket som helst förutom 2 1, med ett heltal genom att teckna multiplikationen som en upprepad addition. Att förstå och teckna beräkningarna av desamma vållade inga problem. 1 Eleverna hade en klar bild hur varje tredjedel eller fjärdedel ser ut och kunde säga att 3 = 3 3 1 3, eller 3 =. 3 4 4 1 När det gällde att multiplicera ett bråk med fick de lektionen därefter arbeta laborativt med 2 bråklådan och sedan göra samma uppgifter skriftligt på ett arbetsblad.(bilaga 8 ). Uppgifterna på bladet avslutades med en uppmaning till eleverna att reflektera över produktens storlek jämfört med heltalet som multiplicerats med en halv. Eleverna upptäckte att 2 1 multiplicerat med ett heltal är lika med att dividera samma heltal med 2. Denna nya kunskap hos eleverna skrevs i loggboken. Nästa lektion repeterades vad eleverna hade upptäckt, när det gäller att multiplicera 2 1 med ett heltal. Kan detta gälla när man multiplicerar ett bråktal med 2 1? Vi skrev beräkningarna 2 1 2 1, 2 1 4 1, 2 1 5 1 osv. och uppmanade eleverna att titta på storleken av dessa bråk samt fundera över hur stor produkten blir när man multiplicerar dem en halv gång. De kunde lätt tänka sig/se produkten. De kunde konstatera att ett bråktal multiplicerat med 2 1 är lika med det bråket dividerat med 2 Nu fick eleverna i uppdrag att undersöka de beräkningar som fanns på tavlan och försöka fundera formulera en allmängiltig räkneregel som går att använda vid beräkningar av multiplikation med bråk. 13

Eleverna arbetade sedan skriftligt med multiplikation av stambråk med hjälp av den räkneregel som de själva formulerat. Lektionen därpå arbetade vi med multiplikation av bråk skrivna i blandad form och visade på tavlan hur beräkningarna kan förenklas genom förkortning. Lektion 25-30 Därefter fick eleverna lösa uppgifter som behandlade det vi arbetat med ur en lärobok. I dessa uppgifter fanns också uppgifter av problemlösningskaraktär. 2.9 Självvärdering Eleverna gjorde också en självvärdering om hur säker respektive osäker de kände sig när de skulle lösa nio utvalda uppgifter från skolverkets diagnostiska uppgifter. Bilaga med självärderingsuppgifter bifogas.( bilaga 2) 2.10 Inställning till arbetssätt Med hjälp av en enkät som eleverna besvarade tog vi reda på vad eleverna tyckte om det arbetssätt som vi använt i vårt utvecklingsarbete. Enkät bifogas. ( bilaga 3) 2.11 Diagnoser och prov Diagnos och matematikprov användes under och efter arbetets avslutande för att dels kunna bedöma kvantitativa men också kvalitativa kunskaper. Diagnos och prov bifogas.( bilagor 4 och 5) Slutligen gav vi våra elever ett prov innehållande samma fyra uppgifter, som hade allra lägst lösningsfrekvens åren 2002-2005, och jämförde deras resultat med niornas resultat. Prov bifogas. (bilaga 6) 14

3. Resultat 3.1 Resultat av undersökning av lösningsfrekvens på fyra nationella prov. Uppgifterna på de Nationella proven mäter elevens kunskaper i fyra olika ämnesområden; taluppfattning, mönster och samband, statistik och sannolikhetslära samt mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Vi valde att undersöka den så.kallade B1- delen som innehåller uppgifter där bara svar krävs. Samtliga årgångar som vi undersökte innehöll 20 uppgifter. Taluppfattningorådet omfattade flest uppgifter, i genomsnitt 9,75 styck, därefter mätning, rumsuppfattning och geometriska samband som i genomsnitt omfattade 4,25 uppgifter, mönster och samband 3,75 uppgifter och färst uppgifter hade statistik och sannolikhetslära, i genomsnitt 2,25 stycken. 3.2 Tabell 1. Rådata över lösningsfrekvens År 2002 2003 2004 2005 Taluppfattning 62,2 % 60,4 % 71,7 % 65,4% Mätning, rums- 66,7 % 62,6 % 46,7 % 67,4 % uppfattning, geometriska samband Statistik och 49,6 % 59,3 % 91,2 % 19,1 % sannolikhetslära Mönster och samband 54,7 % 81,2 % 53,3 % 36,4 % Dessa fyra år lyckades våra elever i genomsnitt med att lösa ca sex av tio uppgifter som hörde till området taluppfattning. Övriga områden hade ännu lägre genomsnitt på lösningsfrekvensen men proven innehöll alltför få uppgifter hämtade från statistik och sannolikhet samt från mönster och samband, att en jämförelse är omöjlig. Av de tjugo uppgifterna på provet som hade allra lägst lösningsfrekvens hörde dock de flesta till området taluppfattning. Vi preciserade problemen ytterligare genom att kategorisera dessa svårlösta uppgifter. Vi fann att de flesta fallen bland misslyckandena fanns bland tal skrivna i decimaloch i bråkform. Att subtrahera, multiplicera och dividera var särskilt svårt, men även att uppskatta talens värde. Liknande resultat talar Lisen Häggblom om i boken Räknespår (Häggblom,2000) Emanuelsson, Ryding och Johansson undrar i boken Tal och räkning 2, varför nästan varannan elev på högstadiet gör fel på uppgifter av typen 0,21-0,209. Hur kan man förklara ett sådant nedslående resultat?, undrar de. Jo, sannolikt är det så i skolan att vi i stället för att bygga upp ett förhållningssätt till arbetet med tal i decimalform brukar tvinga på eleverna ett antal minnesregler som dessutom oftast saknar praktisk förankring.( Emaqnuelsson, Johansson & Ryding, 1991) 15

Även Siegfrid Stake är av samma åsikt. Han säger i Täljarens studiematerial: Del av en helhet (Stake, 1989) att: För såväl bråk som tal i decimal- och procentform gäller det därför att hos våra elever bygga upp uppfattningar, föreställningar, så att de kan tolka, förstå, använda och hantera data givna i dessa former. 3.3 Analys av enkät om vardagsuppfattningar om bråk Resultatet av den enkät som vi gjorde med våra elever visade i huvudsak att begreppet bråk var oklart, och att bara några elever kunde ge exempel på bråktal. 14 elever av 23 lämnade inget svar alls eller skrev vet inte på frågan: vad tänker du på när du hör ordet bråktal. Bland resterande 9 elevsvar fanns endast 4 svar som kunde tolkas som någon slags förkunskap. 6 av 23 kunde ge exempel på bråktal. Som helhet visade diagnosen att våra elever hade mycket vaga föreställningar om bråk, vilket motiverade oss att börja från början. 3.4 Analys av aktioner Tack vare elevernas loggböcker kunde vi följa hur deras lärande om bråk fortskred. Det allra första som de skrev i loggboken var svar på de två frågor som i någon mån skulle ge svar på deras förkunskaper om bråk. Vi valde ut tre elever A, B och C som får representera hur elever med betygen Mvg, Vg och G i matematik, kommenterar sina upptäckter och sitt lärande.. Elev A som svarat att hon tänker på något tråkigt när hon hör ordet bråktal säger i utvärderingen om arbetssättet att det var ett enkelt sätt att lära sig bråk och att hon tycker att nästa år sju borde få ha samma undervisningssätt. På frågan om hon kunde ge något exempel på bråktal skriver hon att hon har kunnat det. I hennes loggbok kan man se en utveckling i lärandet ganska snabbt. Hon säger i sin loggbok efter första lektionen: Idag har jag lärt mig att om man delar en cirkel i fyra delar får man fyra fjärdedelar. När hon beskriver sitt vikande av figurerna berättar hon redan efter andra lektionen hur hon gissar sig till hur figuren ska vikas för att hela figuren ska vara delad i tre eller fem delar. Hon inser också att en femtedel är dubbelt så stor som en tiondel, när hon ska vika tiondelar. I hennes loggbok kan man läsa: Jag gissade mig fram till en femtedel, sedan vek jag på mitten. Hennes beskrivning av sättet att vika niondelar visar på hon har förståelse för förlängning och förkortning även om hon inte är medveten om att det är det hon gör. Hon skriver i loggboken att hon delar figuren först i tre delar och sedan varje tredjedel i ytterligare tre delar. 16

Hennes bild av beräkningen av en division med ett heltal visar också att hon har förstått vad hon gör och att den hela kan ha olika utseende. Elev B berättar att han tänker på 1037935,0=312 30573,32 +10298710,203/3025 och sätter sedan ett frågetecken efter, när han tänker på bråktal. Kanske menar han att det är ett svårt tal att beräkna? Han ger inga exempel på bråktal. Även i B:s loggbok kan man se och förstå progressionen i lärandet. B är mycket tydlig i sitt berättande om hur han viker figurerna och ritar bilder som förklaring. Den hela är delad i fyra fjärdedelar, sex sjättedelar osv. Han skriver också delarnas namn med siffror och avslutar första dagens loggboksskrivande med: Idag har jag lärt sig att säga fyra fjärdedelar på en hel snabbt. Elev B visar med sitt symbolskrivande att hade förkunskaper eftersom vi konsekvent använde bokstäver när vi skrev bråkens namn. När vi arbetade med att dela ett äpple i två delar ritar elev B ett äpple som är delat mitt itu och skriver 2 1 i den ena halvan och tillägger att jag delar den på hälften. Han beskriver additionen en sjundedel + sex sjundedelar = en hel med bokstäver och berättar hur han delat figuren i sju lika stora delar. Han skriver också 7 1 i några av delarna. Jag tolkar hans bild som ett sätt att konkretisera den additionen. 17

Hans bilder av bråktal dividerat med heltal tyder på att han har förståelse för sina beräkningar. Elev C skriver att hon tänker på 10 3 när hon hör ordet bråktal och ritar sedan en cirkel som är delad i åtta delar. Hon berättar i sin loggbok att hon tycker att bråk är kul, men att hon redan kan allt. Elev C förklarar med bilder sina vikningar och skriver delarnas benämningar med siffror men kastar om täljarens placering med nämnarens. Således skriver hon i figuren som hon delat i åtta delar 8 10 och i figuren med tio delar. Hon avslutar nästan varje lektions loggboksskrivande med 1 1 orden: Jag har inte lärt mig något eftersom jag kunde allt. När hon arbetet med att skriva bråktal i blandad form berättar hon: Jag har lärt mig lite mera nu att räkna 5 7. Hennes beräkningar av divisionerna är korrekta och bilden av beräkningen 3 1 / 3 tyder på förståelse. 18

3.5 Diagram 1. Självvärdering. Självvärdering Antal elever 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Placera bråktal i storleksordning rita en bild av ett bråktal skriva ett tal i dec.form skriva ett tal mellan 1/3 och 1/2 beräkna en addition Beräkna en subtraktion beräkna en subtraktion skriva ett tal i bråkform skriva ett tal i blandad form Säker Ganska säker Osäker Mycket osäker Vi gjorde också en självvärderande undersökning där eleverna fick berätta hur de kände sig när de skulle lösa 9 olika uppgifter som handlar om bråkräkning. De skulle sätta ett x under rubrikerna; mycket osäker, ganska säker, säker och mycket säker på varje uppgift. Uppgifterna valdes från Skolverkets diagnostiska uppgifter. 60,9 % av eleverna svarade att de kände sig säker eller ganska säker på hur man löser alla dessa uppgifter. 30,4% av eleverna hade svarat att de kände sig säker på några uppgifter, ganska säker på andra uppgifter men osäker på 1-6 uppgifter. 8,7 % kände sig till övervägande del mycket osäker. De elever som svarat att de kände sig mycket osäker eller osäker är genomgående samma elever på samtliga frågor. Dessa elever ingick i den s.k. lilla gruppen och har en låg självkänsla när det gäller matematik. De har under mellanstadietiden undervisats i en mindre grupp och önskade en liknande organisation på högstadiet. Den lilla gruppen har fungerat dåligt, eleverna har mer eller mindre gett upp. De har en negativ inställning till skolan i allmänhet, men uttryckte trots detta en positiv inställning till det laborativa arbetssättet. En av dessa elever klarade inte gränsen för godkänt på matematikprovet. 19

3.6 Analys av inställning till arbetssätt. På baksidan av självvärderingarna fanns en enkät där eleverna skulle besvara några frågor som handlade om vårt sätt att undervisa om bråk från början. På frågan: Tycker du att vi ska lära ut bråkräkning till sjuorna nästa läsår, på samma sätt som du har fått lära dig det i år?, svarade 73,9% ja, 21,7% nej och 4,3% både ja och nej. Deras motiveringar till svaret ja var allt från: För att jag lärde mig snabbt och det var lätt till att det var segt och barnsligt men man lärde sig. De som svarat Nej på samma fråga motiverade sina svar med att det blev många lektioner med samma sak och att det blev segt. Vid en närmare jämförelse mellan de attityder som några elever uttryckte till sättet att undervisa och resultat på matteprovet kunde vi inte se något samband. Bland de 6 elever som var negativa till undervisningssättet lyckades 5 av dem bra eller mycket bra på matematikprovet och bland de 17 elever som varit positiva misslyckades 1 elev. Av de elever som skattat sig själva säkra eller ganska säkra lyckades alla bra, men det fanns också ett par elever som skattade sig själva som osäkra eller mycket osäkra och som klarade att lösa uppgifterna på ett bra sätt. 3.7 Analys av diagnos Diagnosen visade att alla elever kunde ange hur stor en tvåondel, en tredjedel, två tredjedelar, tre fjärdedelar osv av en hel figur är, och skriva bråkens namn med bokstäver och med siffror. De kunde också avgöra hur mycket som fattades till en hel, men inte alltid skriva delens namn korrekt med siffror. Enkla additioner och subtraktioner med summor/differenser mindre än en hel gick bra för samtliga elever. Däremot visade diagnosen att inte alla elever var förtrogna med additioner och subtraktioner med termer större än ett. Likhetstecknet användes inte alltid korrekt, och benämningarna täljare och nämnare samt begreppen bråkform och blandad form var inte heller förankrade hos alla elever. En av uppgifterna handlade om att från en ruta välja vilka bråk som var större än en hel, lika med en hel och mindre än en hel. Det fanns två bråk av varje. Några elever hade bara angett ett svar och några hade valt fel svar. Märkligt nog klarade alla elever utom en att skriva med ord hur de ser att bråket är större, lika med respektive mindre än 1. Vi samtalade om de uppgifter som eleverna misslyckats att svara rätt på och funderade om symbolspråket kunde vara en del av problemen. Efter samtal med de elever som inte skrivit namnet på en viss del av en hel figur korrekt, bedömde vi att problemet berodde på felaktigt konstruerade uppgift. Eleverna hade endast skrivit täljaren, eftersom det bara fanns en ruta att skriva i.. 20

3.8 Resultat från matematikprov Diagram 2 % 90 Resultat ma-prov 80 70 60 50 40 30 20 10 0 G-nivå Vg-nivå Totalt De blå staplarna i diagrammet redovisar vår klass resultat och de lila staplarna redovisar parallellklassens resultat. 3.9 Påverkas elevers lösningsfrekvens i bråkuppgifter positivt av laborativt arbetssätt? Resultatet på det matematikprov som vi genomförde efter avslutad undervisning om Bråk från början visade på en total lösningsfrekvens för våra elever av 80 %. Parallellklassens lösningsfrekvens var 72 %. Vid jämförelsen av resultaten kan man se att våra elever lyckades bättre med att lösa både G och Vg - uppgifter. Provet innehöll 31 uppgifter varav 25 av uppgifterna var av karaktären ange delens storlek, ange del av helhet, skriva bråktal i blandad form eller i bråkform, storleksordna bråk, addera och subtrahera bråk, skriva tal i decimalform och bråkform samt förkortning och förlängning. Vi kallade den provdelen för G-nivå. Övriga uppgifter fick namnet Vg - nivå.. Tre av Vg - uppgifterna var valda så att de skulle visa på förståelse för begreppen men också vad Barbara och Robert Reys menar med Number sense (Reys & Reys,1995) Två av uppgifterna innehöll en multiplikation och en division med bråk utan kontext. 21

3.10 Ger undervisning i bråk från början tillräckligt grundläggande kunskaper så att elever klarar att hantera och lösa uppgifter skrivna i bråkform på nationella prov, år 9? Cirka ett år efter påbörjat arbete med Bråk från början fick eleverna som då gick i åttan i uppgift att lösa 5 uppgifter som handlar om taluppfattning. Det var tre uppgifter med tal skrivna i bråkform och en uppgift med tal skrivna i decimalform. Dessa fyra uppgifter hade allra lägst lösningsfrekvens på de nationella proven som vi undersökte. Vi jämförde våra elevers resultat med den årgång 9, som löst samma uppgifter på nationella proven. Uppgift 1. Vilken beräkning ger minsta talet? 25/0,96 25 0,96 25/0,99 25 0,99 68,8 % av våra elever klarade att lösa uppgiften korrekt. Motsvarande siffra från undersökningen av Nationella proven år 2002, visade på en lösningsfrekvens av 46 %. Uppgift 2. Ge ett exempel på ett tal i bråkform som är större än 7 6 men mindre än 1. 62,5 % av eleverna klarade att lösa denna uppgift korrekt, medan 52 % gjorde det på proven år 2002. Uppgift 3. Vad är hälften av 4 3? Ringa in ditt svar! 3 2 6 8 3 8 6 8 4 6 Denna uppgift löste 62,5 % av våra elever korrekt. Motsvarande siffra från 2003 år var 49 %.. Uppgift 4. Vilka beräkningar ger ett tal som är större än 1? 1 1 / 3 2 1 1 1 2 3 2 3 1 1 / 2 3 1 / 2 3 Endast 18,8 % av våra elever kunde lösa denna uppgift korrekt, medan resultaten från år 2004 visade på en lösningsfrekvens av 29,4 %. 22

4. Diskussion Madeleine Löwing och Wiggo Kilborn säger i boken: Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle; att det är anmärkningsvärt att över 50 % av eleverna i skolår 7, och 1 nästan 30 % av eleverna i skolår 9 inte vet att 8 = 4. De menar att om eleven har en 2 konkret bild av åtta halvor så förstår var och en att det blir fyra stycken hela. På samma konkreta sätt, bör vi undervisa om divisionen 4 3 / 4 1. Har eleverna inre bilder och förståelse 1 8 av bråktalen bör inga beräkningar av 8 ge svaret. De säger också att det är viktigt att 2 16 konkretiseringen inte blir en aktivitet som enbart sysselsätter eleverna eller får dem att manipulera sig fram till ett korrekt svar utan att den ska hjälpa eleverna att förstå innebörden i en operation eller räkneregel. Eleverna ska också känna till syftet med konkretiseringen. ( Löwing & Kilborn,2002) Resultatet från diagnosen och matematikprovet pekar på att det laborativa arbetssätt med konkreta bilder som vi använde hela tiden under vårt arbete med Bråk från början, ger eleverna bättre grundläggande kunskaper så att de förstår och kan lösa uppgifter i bråkform. De relativt goda resultaten tyder på att de har förstått innebörden av olika operationer och metoder och skapat sig inre bilder av de olika bråkens värde. Elevernas kommentarer om det laborativa arbetssättet är till största delen positiva. De elever som skattat sig själva osäker eller mycket osäker är trots detta positivt inställda till arbetssättet. Några skriver att: bråkräkning blir lätt och att det är barnsligt, men det är då man förstår det. Någon poängterar att om man har svårt för det där är det ett bra sätt att lära ut. För att få den förtrogenhet och känsla för tal som behövs (Reys & Reys, 1995) verkar målinriktade laborativa uppgifter fungera väl. Alla elever var också aktiva under lektionerna. Ett par elever tyckte att det blev segt och tråkigt. Någon direkt koppling mellan inställning till arbetssättet och resultat kunde vi dock inte påvisa. Vid jämförelsen av resultaten på matematikprovet, visade vår grupp ett bättre resultat än parallellklassens på både den del som vi kallade för G-uppgifter och på Vg - uppgifterna. Parallellklassen arbetade laborativt de två första veckorna men återgick sedan till traditionellt arbete med läroboken. Schemat och andra organisatoriska problem gjorde att den ordinarie läraren övertog undervisningen. Samma diagnoser och prov som vi genomförde gjordes ändå av den klassen. Vi kan inte med säkerhet säga att det är arbetssättet som påverkat elevernas resultat, men mycket tyder på detta. Parallellklassen, vars resultat var sämre, anses av lärarna på skolan över lag vara mer studiemotiverad än vår klass. Alla tre elever som vi följde med loggboksskrivandet visar med sina kommentarer, teckningar och matematikprovets G - del att de har goda grundläggande kunskaper om tal skrivna i bråkform. På Vg - delen som handlade om problemlösning med bråktal har elev A löst alla uppgifter korrekt, elev B har löst 4 av 5 uppgifter medan elev C inte löst någon uppgift alls. På Vg - delen har C skrivit så få motiveringar om sina lösningar att det är omöjligt att säga om det är förståelsen, språket eller båda delarna som är problemen. 23