Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för att undvika poängavdrag. Uppgifterna poängsätts med fyra poäng vardera. Uppgifterna -3 svarar mot kontinuerliga examinationen i kursen: godkänd lösning på S-uppgift n ger automatiskt 4 poäng på tal n här, för n =, 2; godkänd hemuppgift ger 4 poäng på uppgift 3. För högre betyg krävs att man samlar poäng på uppgifter 7-, så kallade VG- poäng. Betygsgränser. A: 3 poäng varav minst VG-poäng, B: 26 poäng varav minst 7 VG-poäng, C: 2 poäng varav minst 3 VG-poäng, : 8 poäng, E: 6 poäng, FX 4 poäng. Lycka till!. Funktioner f(x, y) och g(x, y) definieras i den första kvadranten Q = {(x, y) : x, y > } med formler f(x, y) = xy 2 ; g(x, y) = y x. I vilka punkter i Q är nivåkurvor till f och g vinkelräta mot varandra? 2. roppen begränsas av ytor z = 4 x 2 y 2 och z = x 2 + y 2 4. Bestäm medelvärdet av funktionen f(x, y, z) = x 2 + y 2 definierad i kroppen. 3. En rymdkurva ges av parametriska ekvationer x = 2t; y = t 2 ; z = ln t där t 2. Bestäm kurvintegralen (Håll ögonen öppna för jämna kvadrat!) x ds. 4. En yta i rymden ges av ekvation 3xyz = x 3 y + y 3 z + z 3 x. Visa att den del av ytan som ligger i en liten omgivning av punkten (,, ) ges som graf av en funktion x = x(y, z). Bestäm partiella derivator x y och x z för denna funktion i punkten (y, z) = (, ). I vilken riktning växer funktionen x(y, z) snabbast i den punkten? 5. Ett vektorfält i R 3 ges av formeln F(x, y, z) = (F (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)). Vad innebär att vektorfältet är konservativt? Vad är potentialen då? Antar att funktionerna F, F 2, F 3 har kontinuerliga partiella derivator. Vad är då ett nödvändigt villkor för att F var konservativt? Ge något exempel av ett konservativt vektorfält samt icke-konservativt vektorfält (motivera dina exempel ordentligt!)
2 6. Räkna ut integralen z dx dy dz, där kroppen är den del av klotet x 2 + y 2 + z 2 som ligger ovan koniska ytan z = x 2 + y 2. 7. Ett akvarium har en form av en rätvinklig parallelepiped utan locket med längden l, bredden b och höjden h. et skall rymma 54 dm 3 vatten. Botten av akvariumet tillverkas av metallplåt som har ytdensitet 4 g/dm 2. Sidoytor tillverkas av glas med ytdensitet g/dm 2. Bestäm optimala dimensioner l, b och h så att egen massa av akvariumet är minsta möjliga. 8. Bestäm flödet av vektorfältet F = (x, y, ) uppåt genom den del av ytan z = x 2 y 2 för vilken z. 9. En partikel som påverkas av kraften F(x, y) = (x 2 sin(π/2 + y 3 ) ; x + y 2 x 3 cos(π/2 + y 3 )) rör sig moturs längs halvcirkeln x 2 + y 2 = 4, y från punkten (2, ) till punkten ( 2, ). Beräkna det arbetet som kraften urättar.. Området i första kvadranten begränsas av linjerna y = x; y = 2x samt 2y = x + ; 2y = x + 2. Bestäm integralen x dx dy. (Ledning: inför nya variabler u = y/x och v = 2y x).
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29. Lösningsförslag. Funktioner f(x, y) och g(x, y) definieras i den första kvadranten Q = {(x, y) : x, y > } med formler f(x, y) = xy 2 ; g(x, y) = y x. I vilka punkter i Q är nivåkurvor till f och g vinkelräta mot varandra? Lösning. Nivåkurvor är vinkelräta om och endast om deras normaler är vinkelräta. En normal till nivåkurvor av någon funktion ges av gradienten av funktionen. Vi har Villkor f g = ger oss f = (y 2, 2xy) och g = ( y/x 2, /x). y 3 /x 2 + 2y = varav 2x 2 = y 2 eller y = 2x. Alltså, nivåkurvor är vinkelräta i punkter på linjen y = 2x. 2. roppen begränsas av ytor z = 4 x 2 y 2 och z = x 2 + y 2 4. Bestäm medelvärdet av funktionen f(x, y, z) = x 2 + y 2 definierad i kroppen. Lösning. Medelvärdet ges som M = V () (x 2 + y 2 ) dx dy dz, där V () är volymen av kroppen. Volymen i sin tur ges som V () = dx dy dz. För att beräkna både integraler använder vi oss av cylindriska koordinater. Vi observerar att kroppen är en rotationskropp kring z-axeln och villkor att x 2 + y 2 4 z 4 x 2 y 2 ger oss r 2 4 z 4 r 2 och r 2. Volymen ges då av integralen 2π 2 4 r 2 2 V () = dφ dr dz r = 2π r(8 2r 2 ) dr = 6π. r 2 4 Vi har också (x 2 + y 2 ) dx dy = Medelvärdet blir M = 4/3. 2π dφ 2 4 r 2 dr dz r r 2 = 2π r 2 4 2 r 3 (8 2r 2 ) dr = 64π/3.
2 3. En rymdkurva ges av parametriska ekvationer x = 2t; y = t 2 ; z = ln t där t 2. Bestäm kurvintegralen (Håll ögonen öppna för jämna kvadrat!) Lösning. Vi har x ds. ds = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt = 4 + 4t 2 + /t 2 dt = (2t + /t) 2 dt = (2t + /t) dt. Integralen blir x ds = 2 2t(2t + /t) dt = 2 (4t 2 + 2) dt = 34 3. 4. En yta i rymden ges av ekvation 3xyz = x 3 y + y 3 z + z 3 x. Visa att den del av ytan som ligger i en liten omgivning av punkten (,, ) ges som graf av en funktion x = x(y, z). Bestäm partiella derivator x y och x z för denna funktion i punkten (y, z) = (, ). I vilken riktning växer funktionen x(y, z) snabbast i den punkten? Lösning. Enligt implicitfunktionssats ekvationen F (x, y, z) = 3xyz x 3 y y 3 z z 3 x = ger variabel x som en funktion av y och z lokalt nära punkten (,, ) om F x(,, ). Vi har F x(x, y, z) = 3yz 3x 2 y z 3 och F x(,, ) =. etta visar att den implicita funktionen x = x(y, z) finns. För att bestämma dess derivator, skriver vi en gång till ekvationen erivering m av på y ger varav F (x(y, z), y, z) =. F x x y + F y =, x y = F y. Vi har F y = 3xz x 3 3y 2 z och i punkten (,, ) får vi F y = vilket ger oss x y =. Analogt, och vi får x z =. F x x z = F z F x
Riktningen där funktionen x(y, z) växer snabbast är riktningen av dess gradient d v s vektor (x y, x z) = (, ). 5. Ett vektorfält i R 3 ges av formeln F(x, y, z) = (F (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)). Vad innebär att vektorfältet är konservativt? Vad är potentialen då? Antar att funktionerna F, F 2, F 3 har kontinuerliga partiella derivator. Vad är då ett nödvändigt villkor för att F var konservativt? Ge något exempel av ett konservativt vektorfält samt icke-konservativt vektorfält (motivera dina exempel ordentligt!) Lösning. et är en teoretisk uppgift. Se t ex Adams bok, avsnitt 5.2. 6. Räkna ut integralen z dx dy dz, där kroppen är den del av klotet x 2 + y 2 + z 2 som ligger ovan koniska ytan z = x 2 + y 2. Lösning. Vi använder oss av sfäriska koordinater. en koniska ytan z = x 2 + y 2 ges då av ekvation r cos ψ = r sin ψ varav ψ = π/4. Hela kroppen ges av olikheter φ 2π, r, ψ π/4 i sfäriska koordinater. Jakobianen av transformation är J = r 2 sin ψ. Integralen blir 2π π/4 ( ) π/4 ( ) I = dφ dψ dr r cos ψ r 2 sin ψ = 2π cosψ sin ψ dψ r 3 dr = π/8. 3 7. Ett akvarium har en form av en rätvinklig parallelepiped utan locket med längden l, bredden b och höjden h. et skall rymma 54 dm 3 vatten. Botten av akvariumet tillverkas av metallplåt som har ytdensitet 4 g/dm 2. Sidoytor tillverkas av glas med ytdensitet g/dm 2. Bestäm optimala dimensioner l, b och h så att egen massa av akvariumet är minsta möjliga. Lösning. Att akvarium rymmer 54 dm 3 innebär att lbh = 54, det är bivillkor i vårt optimerinsproblem: minimera funktionen F (l, b, h) = 4lb + 2lh + 2bh definierad på ytan lbh = 54 där l, b, h >. Vi observerar först att under villkor lbh = 54 det gäller att F (l, b, h) = 54 ( 4 (4lb + 2lh + 2bh) = 54 lbh h + 2 + 2 ). b l
4 etta visar att om någon av variabler är jättestor då någon annan variabel skall vara jätte liten (för att uppfylla lbh = 54) och då funktionen F (l, b, h) tar stora värdena. Alltså, minimumvärdet av funktionen F antas i någon kritisk punkt, eftersom nära oändligheten F växer mot. För att söka kritiska punkter använder vi oss av Lagranges metod. Lagrangesfunktionen är och Lagranges ekvationer är L(x, y, z) = 4lb + 2lh + 2bh λ(lbh 54) en första ekvation minus den andra ger oss 4b + 2h = λbh; 4l + 2h = λlh; 2l + 2b = λlb; lbh = 54. 4(b l) = λh(b l) varav två fall är mögliga: 4 = λh (fall ) eller b = l (fall 2). I fall sätter vi in λh = 4 till högerled av den första ekvation av systemet och vi får h = vilket är omöjligt. I fall två får vi ekvationer { 4l + 2h = λlh 4l = λl 2. Nu dividerar vi den första ekvation med den andra och vi får h = 2l. Till slut, insättning av b = l och h = 2l till villkor lbh = 54 ger oss 2l 3 = 54 varav l = 3. en enda kritiska punkten är l = 3, b = 3, h = 6. Svar: l = b = 3dm; h = 6dm. 8. Bestäm flödet av vektorfältet F = (x, y, ) uppåt genom den del av ytan z = x 2 y 2 för vilken z. Lösning. Vi parametriserar ytan som graf av funktion d v s x och y tas som parametrar och radiusvektor av punkter på ytan ges som r = (x, y, z(x, y)) = (x, y, x 2 y 2 ). Området där ligger x och y ges av villkor z vilket ger oss enhetsskivan i x, y-planet. Flödet blir då Φ = F (r x r y) dxdy. Vi räknar r x = (,, z x) = (,, 2x) och r y = (,, 2y). ryssprodukten blir r x r y = (2x, 2y, ). Flödet är Φ = (2x 2 + 2y 2 + ) dxdy.
5 Efter övergång till polära koordinater får vi Φ = 2π 9. En partikel som påverkas av kraften (2r 2 + )r dr = 2π. F(x, y) = (x 2 sin(π/2 + y 3 ) ; x + y 2 x 3 cos(π/2 + y 3 )) rör sig moturs längs halvcirkeln x 2 + y 2 = 4, y från punkten (2, ) till punkten ( 2, ). Beräkna det arbetet som kraften urättar. Lösning. Arbetet ges av kurvintegralen A = (P (x, y) dx + Q(x, y) dy), cirk där cirk är halvcirkeln x 2 + y 2 = 4, y i positiv led och funktioner P och Q är komponenter av vårt vektorfält d v s P (x, y) = x 2 sin(π/2 + y 3 ) och Q(x, y) = x + y 2 x 3 cos(π/2 + y 3 ). Vi kompletterar cirk med intervallet lin = [ 2, 2] längs x-axel så att vi får en sluten kurva (genomlupen i positiv riktning). Vi har då A = (P dx + Qdy) (P dx + Qdy). lin Integralen längs slutna kurvan räknas m h av Greens formeln: ( Q (P dx + Q dy) = x P ) dxdy = dxdy = Area(). y Här är halvcirkelskivan x 2 + y 2 4, y. ess arean är 2π. Nu räknar vi integralen längs intervallet [ 2, 2]. Vi har y = och dy = och integralen blir Svar: 2π 6/3. 2 2 P (x, ) dx = 2 2 x 2 dx = 6/3.. Området i första kvadranten begränsas av linjerna y = x; y = 2x samt 2y = x + ; 2y = x + 2. Bestäm integralen x dx dy. (Ledning: inför nya variabler u = y/x och v = 2y x). Lösning. Området i nya koordinater u och v ges av olikheter u 2 och v 2 d v s det är en rektangel. Nu uttrycker vi x och y genom u och v. Insättning av y = ux till formeln 2y x = v
6 ger oss 2ux x = v varav Jakobimatrisen är och Jakobianen är Integralen blir I = Svar: 4/27. 2 du 2 dv x = v och y = uv 2u 2u. ( (x, y) (u, v) = 2v (2u ) 2 fracv(2u ) 2 v 2u J = v (2u ) 2. 2u u 2u ) ( v 2 ) ( 2 (2u ) = v 2 dv 2 ) du = 4 (2u ) 3 27.