8.3 Variabeltransformationer Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över systemet. Om G 12 och G 21 är små jämfört med G 11 och G 22 kan vi använda vanlig decentraliserad reglering, där y 1 regleras med u 1 och y 2 regleras med u 2. Regulatorerna kan förmodligen designas utan att beakta korskopplingselementen G 12 och G 21. Om G 12 och G 21 inte är små, har vi en betydande korskoppling i systemet, som borde beaktas vid regulatordesignen. En sådan metod är frånkoppling (även kallad frikoppling, eng. decoupling). 8. Val och design av reglerstruktur 8 26
s y() s = G()() s u s (8.3.2) Betrakta nu ett allmänt system med överföringsmatrisen G () så att där y är en vektor av utsignaler och u är en vektor av insignaler. Om vi ursprungligen känner systemet skrivet på tillståndsform ( ABC,, ) fås G som bekant enligt Vi söker en variabeltransformation som ger 1 G() s = C( si A) B (8.3.3) u() s = D() s m () s (8.3.4) y() s = G() s D() s m() s = H() s m () s, H() s = G() s D () s (8.3.5) så att överföringsmatrisen H () s får trevliga egenskaper för design av en regulator med m () s som styrsignal. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 27
Vi kan i princip välja H () s såsom vi önskar och beräkna D () s enligt 1 D() s = G () s H () s (8.3.6) Det bör dock observeras att alla element i D () s bör vara stabila och praktiskt realiserbara. Detta medför ofta begränsningar i valet av H () s. Speciellt kan följande noteras: Om G () s innehåller en eller flera dödtider, kan (8.3.6) ge negativa dödtider i D () s, som inte kan realiseras. Kan åtgärdas genom att inkludera lämpliga dödtider i H () s. Om G () s innehåller något nollställe i högra halvplanet, kan D () s bli instabil. Kan åtgärdas genom att låta H () s ha motsvarande nollställen i högra halvplanet. Ofta nöjer man sig med frånkoppling i stationärtillstånd, dvs frånkopplingsmatrisen är en statisk matris (0) D beräknad enligt (8.3.6) med s = 0. Nästa steg är att utgående från H () s designa en regulator, vars utsignal ( ) blir insignal till frånkopplingsblocket () (normalt en diagonalmatris) och y r är y:s ledvärde. m() s = C() s yr () s y () s (8.3.7) D s. Här är C () s regulatorns överföringsmatris 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 28
Fullständig frånkoppling Om vi väljer H () s som en diagonalmatris av önskade överföringsfunktioner fås fullständig frånkoppling. Detta gör den efterföljande regulatordesignen speciellt enkel. För 2x2-system talar man även om tvåvägsfrånkoppling, som kommer av att man då frånkopplar två reglerkretsar. I praktiken kan man kombinera valet av H () s och realiserbarheten av D () s genom att skriva (8.3.6) som funktion av elementen i H () s och D () s. H () s 0 = 0 H22( s) Med H () 11 (8.3.8) fås () s = s G22() s H11() s G12() s H22() s G21() s H11() s G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.9) 11 22 12 21 Utgående från (8.3.9) kan man se hurudana val av H 11 () s och H 22 () s som gör elementen i D () s realiserbara och som samtidigt är tillräckligt enkla för bekväm regulatordesign. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 29
4Exempel 8.3.1 våvägsfrånkoppling av ett enkelt system Vi skall bestämma en tvåvägsfrånkoppling för ett system som beskrivs av en tillståndsmodell ( ABC,, ) med 2 3 1 0 1 2 A = 0 1, B = 0 1, C = 3 1. Enligt (8.3.3) fås s+ 1 2s+ 7 1 1 2s 7 1 2 s 2 3 1 0 3s 3 s 11 + + + + s+ 2 ( s+ 2)( s+ 1) G = = =. 3 1 0 s 1 0 1 ( s 2)( s 1) 3 s+ 11 + + + s+ 2 ( s+ 2)( s+ 1) Insättning i (8.3.9) ger 1 ( s+ 11) H11 (2s+ 7) H22 D = 5 3( s+ 1) H11 ( s+ 1) H. 22 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 30
Här finns inga problem med dödtider eller instabilitet i D-matrisen. Vi kan t.ex. välja 1 0 H () s = s+ 11 0 1 som ger s+ 1 D () s 2 7 1 1 s+ s+ 1 = 3( s+ 1) 5 1 s+ 11 Här har icke-diagonalelementen i D-matrisen formen av PD-regulatorer med filtrering. Om vi vill att alla element i D skall vara strikt propra, kan vi t.ex. välja () s 1 0 ( s+ 1)( s+ 11) = 0 1 ( s+ 1)(2s+ 7) H som ger D () = 1 1 1 s s+ 1 s+ 1 5 3 1 s+ 11 2s+ 1 Här är alla element i D-matrisen enkla först ordningens system, som är enkla att realisera. Märk att vi inte behöver realisera H () s, den används endast för regulatordesign. 3 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 31
Partiell frånkoppling rots att det finns frihetsgrader i valet av en diagonal H-matris så att D-matrisen blir realiserbar och inte alltför komplicerad, finns det situationer när det inte är lätt att bestämma en lämplig H-matris. Om överföringsmatrisen () s (8.3.6) dessutom att bli känslig för modellfel pga av inversen av överföringsmatrisen. G har höga RGA-värden, kommer beräkningen av D enligt I sådana fall hjälper det ofta att använda partiell frånkoppling, som karakteriseras av att H-matrisen är triangulär. Detta innebär att det finns 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom ovannämnda krets 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom kretsarna ovan etc. Hur man väljer vilka kretsar som skall frånkopplas andra kretsar är det svårt att ge ett allmänt svar på. Rimligt förefaller t.ex. att helt frånkoppla den viktigaste kretsen. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 32
Partiell frånkoppling för ett 2x2-system kallas vanligtvis envägsfrånkoppling. För envägsfrånkoppling har vi följande två möjligheter att välja en triangulär H-matris (frånsett permutationer av insignalerna): H11() s H12() s () s = 0 H22( s) H som ger () s = H11() s 0 () s = H21() s H22() s H som ger G22() s H11() s G22() s H12() s G12() s H22() s G12() s H11() s G12() s H12() s + G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.10) 11 22 12 21 G22() s H11() s G12() s H21() s G12() s H22() s G12() s H11() s + G11() s H21() s G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.11) () s = 11 22 12 21 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 33
Frånkoppling genom direkt kombination av variabler Ibland kan det vara enklare att konstruera en frånkoppling genom direkt kombination av variabler. Vi skall illustrera principen med det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Då bestämdes modellen ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔA = C 1 2 + m B 2/3 1/3 Δ Δ Δ B Vi ser att m C bäst regleras med summan av insignal i stället för m blir modellen då A m A och m B. Om vi väljer ma mb ΔmC 1 0 Δ ( ma + mb) 0 0 ΔA = C 1 3 + m B 2/3 1/3 Δ Δ Δ B + till Märk att (8.3.13) ger precis samma samband mellan de verkliga variablerna som (8.3.12). (8.3.12) (8.3.13) 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 34
Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.13) blivit triangulär, motsvarar detta en envägsfrånkoppling, såsom blockschemat nedan illustrerar. På motsvarande sätt kan man ur (8.3.13) se att C bäst skulle regleras med en variabel lika med 1( ma + mb) 3 mb dvs ma 2mB. Denna insignal ger modellen ΔmC 1 0 Δ ( ma + mb) 0 0 ΔA = C 0 1 + ( ma 2 mb) 2/3 1/3 Δ Δ Δ B (8.3.14) 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 35
Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.14) är diagonal, motsvarar detta tvåvägsfrånkoppling, såsom illustreras i blockschemat nedan. Märk att vi hade erhållit samma tvåvägsfrånkoppling genom invertering av förstärkningsmatrisen i (8.3.12) och beräkning av en frånkopplingsmatris enligt (8.3.9). 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 36
4Exempel 8.3.2 Frånkoppling av en råoljedestillationskolonn Enligt McAvoy ( Interaction Analysis, 1983) kan råoljedestillationskolonnen i figuren i stationärtillsånd beskrivas med modellen 1 a11 0 0 0 m 1 2 a 22 a22 0 0 m 2 = a 3 33 a33 a33 0 m 3 a44 a44 a44 a44 m 4 4 där a ii är statiska förstärkningar. Märk att alla förstärkningar olika noll på en rad är lika stora, vilket beror på att flödena m i, som påverkar de interna flödena i kolonnen, antas ha en summerande effekt på kvalitetsvariabeln j, j i. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 37
Eftersom förstärkningsmatrisen är triangulär, är systemet redan partiellt frånkopplat. Vi skall här visa hur man kan bestämma en fullständig frånkoppling genom kombination av insignaler utan att behöva invertera förstärkningsmatrisen. Vi definierar följande nya insignaler: μ 1 = m1, μ 2 = m1+ m2, μ 3 = m1+ m2 + m3, μ 4 = m1+ m2 + m3+ m4 På grund av förstärkningsmatrisens speciella form blir modellen med de nya insignalerna 1 a11 0 0 0 μ 1 2 0 a22 0 0 μ 2 = 0 0 a 3 33 0 μ 3 0 0 0 a 44 μ 4 4 som visar att systemet nu är frånkopplat. För reglering av systemet kan man då använda 4 regulatorer som var för sig reglerar en kvalitetsvariabel i med μ i. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 38
För att realisera regulatorernas reglersignaler μ i, måste m i beräknas. Utgående från definitionerna på μ i fås m1 = μ1 m2 = μ2 μ1 m = μ μ m = μ μ 3 3 2 4 4 3 såsom illustreras i figuren. Av sambanden ovan följer att detta är ekvivalent med att använda en frånkopplingsmatris D 1 0 0 0 1 1 0 0 = 0 1 1 0 0 0 1 1 3 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 39
8.3 Variabeltransformationer 8.3.2 Linjärisering och framkoppling Vi har sett att vi kan frånkoppla ett linjärt system med linjära variabeltransformationer. Vi skall här visa att vi med hjälp av lämpliga variabeltransformationer även kan linjärisera olinjära system globalt utan att göra någon approximation av systemet (dvs det olinjära systemet blir linjärt när det uttrycks med de nya variablerna). eliminera mätbara störningar perfekt genom framkoppling (denna framkoppling och störningseliminering blir en automatisk följd av variabeltransformationerna). Vi skall illustrera metoden med hjälp av det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Den olinjära modellen bestående av ekv. (8.2.1) och (8.2.3) kan skrivas C mc = ma + mb (8.3.15) maa + mb = B m + m (8.3.16) A B 8. Val och design av reglerstruktur 8 40
8.3.2 Linjärisering och framkoppling Antag att vi definierar nya insignaler u u = m + m (8.3.17) m m = m A A A A B + m + m B B B (8.3.18) Uttryckt med dessa insignaler kan modellen skrivas mc 1 0 um = C 0 1 u dvs ett linjärt, fullständigt frånkopplat och helt störningsokänsligt system! (8.3.19) I detta fall är härledningen av de linjäriserande, frånkopplande och störningseliminerande variabeltransformationerna enkelt eftersom systemets dynamik försummats. För olinjära dynamikmodeller kan det vara besvärlig, eller kanske t.o.m. omöjligt, att hitta dylika variabeltransformationer, men ofta är det fullt möjligt. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 41
8.3.2 Linjärisering och framkoppling Fast regulatorerna producerar värden för u m och u som utsignaler, är det förstås m A och m B som i verkligheten måste användas för reglering av systemet. Dessa kan dock beräknas utgående från (8.3.17) och (8.3.18) enligt u m B A = u m A B u m A B = u m B A (8.3.20) (8.3.21) Om A och B kan mätas, får man automatisk störningseliminering genom (olinjär) framkoppling. Om A och B inte mäts, kan de ersättas med sina nominella ( typiska ) värden i (8.3.20) och (8.3.21). Man får då ingen framkopplingseffekt, men i praktiken linjäriserar och frånkopplar (8.3.20) och (8.3.21) ändå systemet. Man kan också tänka sig att estimera A och B. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 42