Reglerteori. Föreläsning 12 Torkel Glad
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 2 Innehåll Styrning av instabila system, forts. Konsekvenser av begränsad insignal Hur bra kan S bli? Problem med nollställen i HHP
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 3 Sammanfattning av Föreläsning 11 Exakt linärisering. Byt variabler så att man får formen i ż 1 = z 2 ż 2 = z 3. ż n 1 = z n f i ż n = L n f h + L g L n 1 f = L f, x i i g i u = L g x i Välj u så att olinjäriteterna kompenseras bort.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 4 Styrning av instabila system Kräver mycket tillförlitliga regulatorer Konsekvensen av misslyckande måste beaktas (Tjernobyl) Begränsad styrsignal medför att stabilisering normalt bara är möjlig i en del av tillståndsrummet (Gripen)
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 5 En mer subtil konsekvens av pol i HHP G styrt system, F y återkoppling (regulator) Komplementära känslighetsfunktionen T = för enkelhets skull) GFy 1+GF y p 1 pol till kretsförstärkningen GF y T (p 1 ) = 1 Om p i ligger i HHP (höger halvplan) medför detta sup W T (iω)t (iω) 1 W T (p i ) 1 (skalär
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 6 Konsekvenser för T av pol i p 1 > T o........................ 1.. ω. o. ω Om T skall ligga under denna begränsning, så måste gälla: p 1 ω o 1 1/T o
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 7 Komplementär känslighetsfunktion. Exempel G(s) = s + 1 s(s 1) återkopplas med ett F y så att slutna systemets poler ligger i a( 1 ± i) (dubbelpoler). a =.1,.2,.5, 1, 2 1 3 Komplementär känslighetsfunktion 1 2 1 1 1.1.2.5 T 1 1 1 1 2 2 1 3 1 4 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 w
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 8 Ytterligare exempel på instabilt system Överföringsfunktion för vanlig cykel (styrvinkel till lutningsvinkel) konst V s + V/a s 2 g/h V : hastighet, h: tyngdpunktshöjd, a: avstånd tyngdpunkt till bakhjul Pol i höger halvplan
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 9 Begränsad insignal. Exempel Den 24 november 24 grundstötte roro-passagerarfärjan Casino Express utanför Holmsund i hårt väder. Haverikommissionen: Vindkraften på överbyggnaden var minst 6 kn (2 m/s vindhast). Ingen kombination av styrsignaler (propellrar roder) kunde kompensera detta. Inte ens bogserbåtsassistans (max 26 kn) räckte.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 1 Utformning av styrsystem Roderverkan var dålig vid låg fart eftersom rodret inte låg i propellerströmmen. Bogpropellern fungerade inte, men gav i vilket fall för liten tvärskraft.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 11 När kan styrsignalen kompensera störningar? Styrsignal u, störning d: z = G(s)u + G d (s)d för några G, G d (skalära för enkelhets skull) Antag att max-amplituden för d är d. Antag att max-amplituden för u är u. Då måste det gälla att u G d(iω) G(iω) d, alla ω om ett godtyckligt d skall kunna elimineras helt Är inte detta uppfyllt kan ingen regulator, linjär eller olinjär, ge perfekt störningsundertryckning.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 12 Hur bra kan S och T bli? Grundbegränsning: S + T = I
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 13 Hur bra kan S bli? Antag: (1) S skalär (S = 1/(1 + GF y )) (2) Återkopplade systemet stabilt ( S saknar poler i HHP) (3) GF y saknar poler i HHP ( S saknar nollställen i HHP) (4) GF y avtar som s 2 för stora s. Då gäller log S(iω) dω = Omöjligt undertrycka störningar på alla frekvenser!
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 14 Begränsningar på S, Bodes integral Antag att kretsförstärkningen GF y har M poler i höger halvplan: p i ; i = 1,..., M. Då gäller skalärt M log S(iω) dω = π Re(p i ) i=1 Flervariabelt: M log det S(iω) dω = π Re(p i ) i=1 Konsekvens för största singulära värdet: log σ(s(iω))dω π M Re(p i ) m i=1
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 15 Konsekvenser av Bodes integral Invariansegenskap hos S! Stabila system: Känsligheten kan inte vara < 1 vid alla frekvenser. Poler till GF y i höger halvplan försämrar känsligheten. Återbetalning av log S(iω) måste ske inom tillgänglig bandbredd! Obs! Vi förutsätter att GF y avtar minst som s 2 för stora s. Ren LQ-återkoppling åstadkommer S < 1 vid alla frekvenser men där avtar GF y bara som s 1. (Man antar ideal mätning)
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 16 Nollställen i höger halvplan Betrakta G c = (I + GF y ) 1 GF r, T = (I + GF y ) 1 GF y För kvadratiska överföringsfunktioner gäller det G c = det(...) 1 det G det F r, det T = det(...) 1 det G det F y Om det G = så det G c = och det T = Nollställen till G blir nollställen till G c och T Dessa nollställen kan förkortas bort, dvs göras icke-styrbara och/eller icke-observerbara. Nollställen i höger halvplan kan inte förkortas bort eftersom en instabil pol introduceras.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 17 Nollställen i höger halvplan. Exempel 1 Step Response.8 Stegsvar till 4s + 2 (s + 1)(s + 2) Amplitude.6.4.2.2.4.6.8 1 2 3 4 5 6 7 Time (sec)
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 18 Nollställen i höger halvplan. Stegsvar Stegsvar i skalära fallet: Y (s) = (I + G(s)F y (s)) 1 G(s)F r (s) 1 s z reellt nollställe i HHP = Y (z ) = y(t)e z t dt (Integralen är konvergent eftersom z ligger i HHP) Slutsats: y antar både negativa och positiva värden.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 19 Undersläng och stegsvar Antag att T s är insvängningstiden till 1 % av slutvärdet och M det maximala negativa värdet. Enkla uppskattningar i integralen ger M.9 z T s e z T s Litet värde på z T s ger mycket stor undersläng.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 2 Hur bra kan T bli? Antag att kretsförstärkningen GF har M nollställen i höger halvplan: z i ; i = 1,..., M. Då gäller (skalärt T ) log T (iω) T () dω ω 2 = π 2 e M 1 T () + π Specialfall: GF y två integrationer i origo: log T (iω) dω ω 2 = π M i=1 Re 1 z i i=1 Re 1 z i
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 21 Konsekvenser av integralen för T Invariansegenskap hos T! Egenskaper vid låga frekvenser (T (), e 1 ) viktiga Nollställen till GF y i höger halvplan försämrar komplementära känsligheten mer ju närmre de ligger imaginära axeln.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 22 S och nollställen i HHP G(s) = s + 1 s(s + 1) återkopplas med ett F y så att slutna systemets poler ligger i a( 1 ± i) (dubbelpoler). a =.5, 1, 2, 5, 1 1 2 Känslighetsfunktion 1 1 5 1 1 1 2 S 1 1.5 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 w
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 23 Varför frekvensgräns för störningsundertryckning? z i nollställe till kretsförstärkningen S(z i ) = 1 Detta medför sup W S (iω)s(iω) 1 W S (z i ) 1 Flervariabel variant: sup σ (W S (iω)s(iω)) 1 W S (z i ) 1
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 24 Konsekvenser för S av nollställe i z > S o........ ω o. 1........................ ω Om S skall ligga under denna kurva krävs ω o (1 1/S o )z
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 25 Både pol och nollställe i HHP Exempel: bakhjulsstyrd cykel (ekvivalent med V < ) konst V s + V/a s 2 g/h Om polen ligger till höger om nollstället i HHP är det extremt svårstyrt.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 26 Flervariabelt nollställe Systemet G(s) = har ett nollställe i s = 1. [ 2 s+1 1 s+1 3 s+2 1 s+1 ]
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 27 Diagonal kretsförstärkning GF y = K 1 ( s+1) s(s+2) K 2 (s+.5)( s+1) s(s+1) 2 (s+2)
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 28 Diagonal kretsförstärkning, forts. 1.5 r1 steg, r2= 1.5 r2 steg, r1= 1 1 y1.5 y1.5.5 5 1 15.5 5 1 15 1.5 r1 steg, r2= 1.5 r2 steg, r1= 1 1 y2.5 y2.5.5 5 1 15.5 5 1 15
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 29 Prioritering av r 2 y 2 GF y = K 1 ( s+1) s(s+2) K 2 (5 s+7) (s+2)(s+1) 2 K 2 s+1
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 3 Prioritering av r 2 y 2, forts. 1.5 r1 steg, r2= 1.5 r2 steg, r1= 1 1 y1.5 y1.5.5 5 1 15.5 5 1 15 1.5 r1 steg, r2= 1.5 r2 steg, r1= 1 1 y2.5 y2.5.5 5 1 15.5 5 1 15
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 31 Prioritering av r 1 y 1 F y = F r = K 1 K 1 3K 2(s+.5) s(s+2) 2K 2 (s+.5) s(s+1)
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 32 Prioritering av r 1 y 1, forts. 1.5 r1 steg, r2= 1.5 r2 steg, r1= 1 1 y1.5 y1.5.5 5 1 15.5 5 1 15 1.5 r1 steg, r2= 1.5 r2 steg, r1= 1 1 y2.5 y2.5.5 5 1 15.5 5 1 15
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 33 Poler/nollställen i höger halvplan, sammanfattning Pol i höger halvplan gräns nedåt på bandbredd stora driftsäkerhetskrav svårare när polen yttas åt höger Nollställe i höger halvplan gräns uppåt på bandbredd svårare när nollstället yttas åt vänster ervariabelt: svårigheten kan yttas mellan insignal-utsignalsambanden Både pol och nollställe i höger halvplan. Nollställe till höger om polen: kan vara OK Nollställe till vänster om polen: extremt svårstyrt
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 34 Fler konsekvenser av nollställen i HHP Begränsar möjligheten att få ett lågt värde på kriteriet vid LQG. Generaliseringen till olinjära system är instabil nolldynamik. Begränsar användningen av exakt linjärisering. Begränsar möjligheten att exakt följa en referenssignal.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 35 Sammanfattning för Tentan Går i datorsal Hjälpmedel Tabeller räknare o.d. Lärobok plus grundkursboken Inget lab- eller övningsmaterial Flervariabla egenskaper hos linjära system. Att kunna föra in störningar i systemmodellerna Principerna för att para ihop styr- och mätsignaler
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 36 Att förstå betydelsen av S och T Bodes integralsats begränsningar i S och T Att kunna använda formlerna för LQG- och H 2 /H -regulatorer. Datorbaserad syntes. Använda cirkelkriteriet och beskrivande funktion Använda enkla lyapunovfunktioner Skissa och tolka fasplan Göra exakt linjärisering för enkla fall.
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 37 Sammanfattning av kursen. Allmänt Några av de största reglertekniska framgångarna: När man använt återkoppling där ingen tidigare tänkt tanken. Testa alltid de enkla regulatorerna först. Glöm inte grundkursens metoder, t ex framkoppling. Många av metoderna i denna kursen är tillämpbara långt utanför reglertekniken: Stabilitetsbegreppet Systemtänkande Analysmetoder som beskrivande funktion, fasplan, Lyapunovfunktioner
Föreläsning 12 Torkel Glad Mars 218 38 Tack Lycka till
Tack www.liu.se