Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2015-03-17 Sal (1) Egypten, Asgård, Olympen (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 14:00 18:00 Kurskod TSRT09 Provkod DAT1 Kursnamn/benämning Reglerteori Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Torkel Glad (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden 013-281308, 0703-478664 Besöker salen cirka kl. 15:00 och 17:00 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen
TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI SAL: Egypten, Asgård, Olympen TID: 2015-03-17 kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Torkel Glad, tel. 013-281308, 0703-478664 BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 2015-04-01, kl. 12.30 13.00 i Reglertekniks bibliotek, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2
1. (a) Beräkna RGA i s = 0 för G(s) = [ 2 s+1 1 s+5 ] 1 s+1 9 s+3 Hur bör man med ledning av resultatet para ihop styr- och utsignaler? (b) Betrakta G(s) = [ 3 1 (s+1) 2 s+1 1 1 ] s+1 s+2 Hur många poler har G i 1? Motivera genom att använda polpolynomets definition. Vilka nollställen har G? (c) Nämn några principiella prestandagränser och några praktiska begränsningar vid reglering av ett system som har en pol i höger halvplan (d) Systemet återkopplas med G(s) = F y = [ 1 s+1 [ ] 2 3 ] 1 s+2 Vad blir det återkopplade systemets känslighetsfunktion? (e) Är systemet ẋ = [ ] 1 0 x + 0 1 [ ] 1 2 u 1 1 styrbart? Motivera. 3
2. Temperaturreglering åstadkoms ofta genom att man slår till eller från en uppvärmningskälla. Det är vanligt att detta görs med en hysteresfunktion för att undvika alltför täta till- och frånslag. I princip ser reglersystemet ut som nedan. Olinjäriteten är alltså relä med hysteres. 0 + + H u -D G(s) D -H y -1 (Variablernas nollpunkter är definierade så att svängningarna blir symmetriska kring origo.) För den beskrivande funktionen gäller Re( 1 ) = πc 1 D Y f 4H 2 /C 2 Im( 1 ) = πd Y f 4H Obs! Det är alltså 1/Y f som anges. Anta att och att H = D = 1. G(s) = 2 (s + 1) 2 (a) Ange amplitud och frekvens för den självsvängning som uppstår. (8p) (b) Är självsvängningen amplitudstabil? Motivera 4
3. Betrakta ett flygplan som flyger på konstant höjd med horisontalhastigheten x 1, motordragkraften x 2 och gaspådraget u. Om luftmotståndet beror kvadratiskt på hastigheten och variablerna är skalade lämpligt får man följande modell. Vi betraktar bara x 1 > 0, x 2 > 0. ẋ 1 = x 2 1 + x 2 ẋ 2 = x 2 + u (a) Låt styrsignalen vara konstant u = u 0 > 0. Ange systemets jämviktspunkt(er), linjäriseringar kring jämviktspunkterna och linjäriseringarnas egenvärden, alla som funktion av u 0. Vilken/vilka typer av jämviktspunkter fås? (7p) (b) Låt u 0 = 1. Skissa hur dx 2 /dx 1 ser ut för positiva x 1 och x 2. Utnyttja detta tillsammans med resultatet från (a) till att skissera fasplanet för x 1 > 0, x 2 > 0. (3p) 5
4. Man vill konstruera en farthållare för ett flygplan som beskrivs av i princip samma modell som i föregående uppgift. Variablerna är emellertid nu avvikelser från önskade värden och parametrarna är något annorlunda. Vidare inför man ett extra tillstånd x 3 som är integralen av x 1. En linjär modell blir då: ẋ = 5 1 0 0 0 2 0 x + 1 u 1 0 0 0 (a) Man förutsätter att alla tillståndsvariabler mäts. Ange Q 1 - och Q 2 -matriserna för en LQ-regulator som uppfyller följande krav för [ T starttillståndet x(0) = 1 0 0]. u(t) 2 alla t. Alla tillstånd ska ha beloppet < 0.02 när t > 5. Verifiera kraven genom simulering. Ange också tillståndsåterkopplingen och det slutna systemets egenvärden. (8p) (b) Man mäter endast y = x 1. Visa att den i (a) framräknade regulatorn kan skrivas som en PID-regulator (med referenssignalen = 0) 6
5. Ett mekaniskt system påverkas av en kraft som driver systemet bort från jämviktsläget. Systemet beskrivs av tillståndsvariablerna x 1 (läge) och x 2 (hastighet). Kraften är proportionell mot avvikelsen i kubik, vilket ger följande modell. ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 1 x 2 + u (a) Ange en tillståndsåterkoppling baserad på exakt linjärisering plus linjär återkoppling så att det återkopplade systemet blir linjärt med båda polerna i 1. (referenssignalen är 0.) (3p) (b) Det styrda systemet beskrivs i själva verket av ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = (1 + ɛ)x 3 1 x 2 + u med ɛ > 0. Anta att återkopplingen enligt (a) fortfarande används. Visa att det återkopplade systemet nu kommer att ha två ytterligare jämviktspunkter förutom origo. (Origo är alltså inte längre globalt asymptotiskt stabilt.) (c) Betrakta fortfarande fallet att systemet beskrivs av ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = (1 + ɛ)x 3 1 x 2 + u Välj styrlagen u = 2x 3 1. Använd en Lyapunovfunktion av formen V = αx 4 1 + x 2 2 där α väljs lämpligt. Visa att denna styrlag gör origo globalt asymptotiskt stabilt, förutsatt att ɛ ligger i ett visst intervall. Vilket är detta? (5p) 7