6. Samband mellan derivata och monotonitet

34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för tangenten i punkten ( 0,f( 0 )) till kurva = f(). Derivatan f ( 0 ) är därför ett mått på hur mcket funktionen förändras nära 0. Följande sats gäller: Sats 6.1. Låt funktionen f vara deriverbar på ]a,b[. Då gäller att (a) f () = 0 för alla ]a,b[ f konstant på ]a,b[. (b) f () 0 för alla ]a,b[ f väande på ]a,b[. (c) f () > 0 för alla ]a,b[ f strängt väande på ]a,b[. (d) f () 0 för alla ]a,b[ f avtagande på ]a,b[. (e) f () < 0 för alla ]a,b[ f strängt avtagande på ]a,b[. Eempel 6.2. Undersök funktionen f() = 3 12 + 2 med avseende på monotonitet. Lösning: Vi undersöker var funktionen f har positiv resp. negativ derivata. Det följer att f () = 3 2 12 = 3( 2 4) = 3( + 2)( 2). För att studera var f är väande respektive avtagande tittar vi på en teckentabell: 2 2 3 + + + + 2 0 + + + 2 0 + f () + 0 0 + f() ր f( 2) = 18 ց f(2) = 14 ր Funktionen väer strängt på ], 2[ och ]2, [ och avtar på [ 2,2]. Figur 6.3. 18 = 3 12 +2 2 2 14

6.1 Lokala etrempunkter 35 6.1. Lokala etrempunkter Definition 6.4. Låt f vara en funktionen definierad på ]a,b[. Vi säger att f har ett lokalt maimum i 0 ]a,b[ om f() f( 0 ) för alla i närheten av 0. Vi kallar då 0 en lokal maimipunkt för f och funktionsvärdet f( 0 ) för ett lokalt maimivärde. Observera: På motsvarande sätt definieras en lokal minimipunkt och ett lokalt minimivärde. Lokala maimipunkter och lokala minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för lokala etrempunkter. Vi säger också att f har ett lokalt etremvärde i dessa punkter. Definition 6.5. Antag att funktionen f är deriverbar i punkten 0. Vi säger att punkten 0 är en stationärpunkt till f om f ( 0 ) = 0. Eempel 6.6. Om f() = 3 12 + 2, så är f () = 3 2 12 = 3( 2 4) = 3( + 2)( 2) = 0 = ±2. Funktionen f har alltså dem stationära punkterna = ±2. Satsen nedan ger oss ett effektivit sätt att söka efter lokala etrempunkter. Sats 6.7. Om f har en lokal etrempunkt i 0 ]a,b[ och om f är deriverbar i 0 så är f ( 0 ) = 0, dvs etrempunkten 0 är också en stationär punkt. Bevis:

36 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET Eempel 6.8. Omvändningen till Sats 6.7 är inte sann, t betrakta funktionen f() = 3. Eftersom f () = 3 2 = 0 för = 0 så är punkten = 0 en stationär punkt. Vidare gäller att f () = 3 2 > 0 för 0, dvs f är strängt väande. Detta betder att den stationärapunkten = 0 inte kan vara en etrempunkt. Eempel 6.9. Bestäm alla lokala etrempunkter till f() = ( 2). Lösning: Vi har att f() = { ( 2), 0 ( 2), < 0 som är kontinuerlig för alla. Fallet 0: Då är f() = 2 2 och f () = 2 2 = 0 om = 1. Fallet < 0: Då är f() = 2 + 2 och f () = 2 + 2 = 0 som saknar nollställen för < 0. Dessutom ges höger derivatan i = 0 av f +(0) = lim 2) = 2 och vänster derivatan 0 +(2 är f (0) = lim + 2) = 2. 0 ( 2 Alltså eisterar ej f (0) och funktionen är inte deriverbar i = 0. Teckentabell visar 0 1 f () + 0 + f() ր f(0) = 0 ց f(1) = 1 ր Funktionen f har alltså en lokal mapunkt i = 0 och en lokal minpunkt i = 1. Figur 6.10. = ( 2) 1 2

6.1 Lokala etrempunkter 37 Eempel 6.11. Bestäm alla lokala etrempunkter till f() = { ln, > 0 0, = 0 Lösning: För > 0 gäller att f () = 1 + ln = 0 om = 1. Vidare gäller också att e funktionen f är kontinuerlig för 0. Speciellt gäller att lim ln = 0 = f(0), dvs f är 0 + kontinuerlig i = 0. Däremot saknar f höger derivata, t Teckentabell ger f(0 + h) f(0) hln h lim = lim h 0 + h h 0 + h = lim ln h ej eisterar. h 0 + 0 1/e f () 0 + f() ց f(1/e) = e ր Funktionen f har alltså en lokal mapunkt i = 0 och en lokal minpunkt i = 1/e. Figur 6.12. = ln 1/e 1/e Anmärkning: Eempel 6.8 visar att en stationär punkt inte behöver vara en etrempunkt. Eempel 6.9 visar att en punkt där funktionen inte är deriverbar kan vara en etrempunkt. Eempel 6.11 visar att en ändpunkt kan vara en etrempunkt.

38 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET Eempel 6.13. Bestäm eventuella lokala etrempunkter till funktionen f() = 4 + 1. Lösning:

39 7. Tillämpningar på derivata Som tillämpning på derivata kommer vi i det här avsnittet att studera största och minsta värde hos en given funktion, grafritning, olikheter, ekvationer och medelvärdessatsen. 7.1. Medelvärdessatsen Sats 7.1. Om f är kontinuerlig på [a,b] och deriverbar på ]a,b[, så finns minst ett c ]a,b[ så att f f(b) f(a) (c) =. b a Geometrisk tolkning: Figur 7.2. = f() a c 1 c 2 b f(b) f(a) Kvoten är riktningskoefficienten för sekanten genom (a, f(a)) och (b, f(b)). b a Medelvärdessatsen säger att det finns minst en punkt (c, f(c)) med en tangent parallell med sekanten.

40 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA ( π Eempel 7.3. Beräkna f om f() = cos. 5) ( π 3 Lösning: Vi uttnttjar att vi vet att f = 6) 2 ( π ( f() f = f 6) (c). Medelvärdessatsen ger att π 6 där c ligger mellan och π 6. Sätter vi in = π i uttrcket ovan får vi 5 ( π ) ( π ( f = f + f 5 6) (c) π ), 6 dvs ( π ( π ( π cos = cos + 5) 6) 5 π 3 sin c = 6) 2 + π 30 sinc, där c ligger mellan π 6 och π 5. Antar vi nu att c π, så får vi att 6 ( π 3 cos 5) 2 + π ( π ) 3 30 sin 6 2 + π 1 30 2 0,813. ),

7.1 Medelvärdessatsen 41 Eempel 7.4. Lös = cos 3. Lösning: Låt oss kalla roten till ekvationen för α, dvs α = cos α 3. Eftersom cos 3 är kontinuerlig och avtar mellan 1 och 0 för 0 3π 2 så kommer kurvan = cos 3 och den räta linjen = α att skära varandra för något α som uppfller 0 α 3π 2. Låt 0 vara en godtcklig punkt sådan att 0 0 3π 2. Betrakta följande iterationsshema: n+1 = cos n 3, n = 0,1,2,.... Vi visar att iteraten n+1 går mot roten α, dvs n+1 α, då n. Enligt Medelvärdessatsen finns ett c n mellan n och α så att n+1 α = cos n 3 cos α 3 = 1 3 sin c n n α 1 3 n α 1 1 3 3 n 1 α = 1 3 2 n 1 α 1 3 n+1 0 α 0, då n. Detta ger att α 0.95.

42 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA 7.2. Största och minsta värde Låt oss börja med att definiera vad vi menar med största och minsta värde hos en funktion. Definition 7.5. Låt f vara en funktion. En punkt 0 D f kallas en global maimipunkt för f om f( 0 ) f() för alla D f. Talet f( 0 ) kallas i så fall f:s största värde. Om istället f( 0 ) f() för alla D f, kallas 0 D f en global minimipunkt för f och f( 0 ) f:s minsta värde. Satsen nedan hjälper oss att söka efter punkter som ger största och minsta värde. Sats 7.6. Om f är kontinuerlig på [a,b] så antar f sitt största respektive minsta värde i någon av följande punkter: 1. i en inre punkt ]a,b[ där f () = 0, 2. i en inre punkt ]a,b[ där f () ej eisterar, 3. i en randpunkt, dvs i = a eller i = b. Följande sats kan vara användbar om det visar sig vara svårt att med hjälp av en teckentabell avgöra karaktären hos en etrempunkt. Sats 7.7. Antag att funktionen f är definierad nära punkten 0 och att f ( 0 ) eisterar. Antag vidare att 0 är en stationär punkt för f, dvs f () = 0. Om f ( 0 ) > 0, så är 0 en lokal minimipunkt för f Om f ( 0 ) < 0, så är 0 en lokal maimipunkt för f

7.2 Största och minsta värde 43 Eempel 7.8. Bestäm största och minsta värde av funktionen f() = 3 + 12, där 3 2. Lösning: Funktionen f är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall [ 3,2]. Förutsättningarna för satsen om största och minsta värde, dvs Sats 2.16 är uppfllda. Detta betder att f antar ett största och minsta värde på [ 3, 2]. Enligt Sats 7.6 hittar vi dessa värden i en stationär punkt, en punkt där f är ej deriverbar eller i intervallets ändpunkter. Vi börjar med att bestämma alla stationära punkter till f. Eftersom f() = 3 + 12 = { 3 12, 3 < 0 3 + 12, 0 < 2, så är f () = { 3 2 12, 3 < < 0 3 2 + 12, 0 < < 2 Eftersom f () = 3 2 +12 > 0 för alla saknar f stationära punkter i intervallet 0 < < 2. På intervallet 3 < < 0 är f () = 3 2 12 = 0 endast för = 2. Vi har att f( 2) = 16. Vidare gäller att punkten = 0 är den enda punkt som funktionen f saknar derivata i. Vi har f(0) = 0. Slutligen undersöker vi ändpunkterna; det gäller att f( 3) = 9 och f(2) = 32. Alltså är största värde 32 för = 2 och minsta värde är 0 för = 0. Figur 7.9. = 3 + 12 32 16 9 3 2 1 1 2

44 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel 7.10. Bestäm värdemängden till funktionen f() = e, 0. Hur många gånger antas varje värde? Lösning:

7.3 Grafritning 45 7.3. Grafritning Antag att vi behöver rita grafen till en deriverbar funktion f. Vi skulle i så fall behöva bestämma följande: 1. Etrempunkterna som återfinns bland de stationära punkterna. 2. Vågräta asmptoter som är räta linjer på formen = A. Dessa finns om f har ett gränsvärde, i så fall A, då går mot ±, dvs om det finns ett A sådant att lim f() = A. ± 3. Lodräta asmptoter som är räta linjer på formen = a. Dessa finns om f har det oegentliga gränsvärdet eller då går mot punkten a, dvs lim f() = ±. a 4. Sneda asmptoter som är räta linjer på formen = k + m. Dessa linjer finns om det finns tal k och m sådana att f() k = lim ± och m = lim (f() k). ± Geometriskt betder det att kurvan = f() och linjen = k+m går närmare och närmare varandra då ±, dvs lim (f() k m) = 0. ±

46 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel 7.11. Rita grafen till funktionen = 2 + 1 2, så att alla väsentliga drag framgår. 4 Lösning: = 2 + 1 2 4 = 10 ( 2 4) 2. Varken eller är definierade för = ±2 och dessutom har vi att ± då ±2, d.v.s. vi har lodräta asmptoter i = ±2. Vidare ser vi att = 0 = 0. Teckentabellen blir då 2 0 +2 10 + + + 0 ( 2 4) 2 + 0 + + 0 + + + 0 ր ր (0) ց ց Vi har alltså ett lokalt maimum i = 0 med (0) = 1, och lokalt minimum saknas. 4 För att undersöka vågräta asmptoter studerar vi lim = lim 2 + 1 ± ± 2 4 = lim 1 + 1 2 ± 1 4 = 1. 2 En sned asmptot = k + m finns inte då eftersom k = lim ± = lim 2 + 1 ± ( 2 4) = 0. Dessutom kan vi notera att + då 2 och +2 +, samt då 2 + och +2. Svar: Lokalt ma i (0, 1/4), lokalt min saknas. Lodräta asmptoter för = ±2. Vågrät asmptot = 1 då ±. Figur 7.12. = ( 2 +3) / ( 2 4)

7.3 Grafritning 47 Eempel 7.13. Bestäm alla sneda asmptoter till kurvan f() = + arctan. Lösning: Linjen = k + m är en sned asmptot till kurvan = f() om det finns tal k och m sådana att f() k = lim ± och m = lim (f() k). ± Det följer att f() = + arctan Detta ger att k = 1. Vidare gäller att = 1 + arctan 1, då ±. { π/2, då + f() k = ( + arctan ) 1 = arctan π/2, då Alltså, har kurvan de sneda asmptoterna = + π 2 respektive = π 2. Figur 7.14. = + arctan

48 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel 7.15. Rita f() = + 1 + 2arctan. Ange lokala etrempunkter, största och 1 minsta värde samt lodräta och vågräta asmptoter. Lösning:

7.4 Olikheter 49 7.4. Olikheter Eempel 7.16. Visa att ln (ln ) 2 2 för 1. Lösning: Självklart ska man rita funktionerna och se att grafen till ln (ln ) 2 ligger ovanför grafen till 2. Men det räcker inte som bevis. Vad man ska göra är att bilda en funktion f som skillnaden mellan funktionerna, t.e. om vi bildar funktionen f() = ln (ln ) 2 + 2, så är vi klara om vi kan visa att f() 0 för 1. Låt oss studera funktionen f(). Vi deriverar funktionen f() för > 1 och får f () = ln + 1 2 1 ln 1 = ln 2ln = ( 2)ln = 0 för = 2. En teckentabell blir 1 2 f () 0 + f() ց ր Funktionen f har alltså ett minsta värde f(2) = 2ln 2 (ln 2) 2 = (2 ln 2)ln 2 > 0. Dessutom har vi att och lim f() = lim 1 + 1 +(ln (ln )2 + 2) = 1 > 0, f() = ln (ln ) 2 + 2, då. Alltså är f() 0 för 1 och därmed klara. Figur 7.17. f() = ln ( ln ) 2 + 2 2 ln 2 ( ln 2 ) 2 2

50 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel 7.18. Visa att arctan Lösning: + 1 för > 1.

7.5 Ekvationer 51 7.5. Ekvationer Eempel 7.19. Hur många rötter har ekvationen 2 ln = 1 i intervallet 0 < < 1. (Observera att vi bestämmer antalet och inte deras värden). Lösning: Vi bildar en funktion som är skillnaden mellan leden. Betrakta funktionen f() = 2 ln = 1 för 0 < < 1. Problemet att bestämma antalet rötter till ekvationen är detsamma som att bestämma antalet nollställen till f(). Produktregeln ger f () = 2 ln 1 = 1 ln > 0 för 0 < < 1, t ln < 0 för 0 < < 1. Alltså är f() strängt väande och kan ha högst ett nollställe, dvs ekvationen kan ha högst en rot. Vidare gäller att f() = lim ln 1) = 1, + +(2 och lim 0 lim 1 0 f() = lim ln 1) = 1. (2 1 Eftersom f är kontinuerlig så säger satsen om mellanliggande värden att till ett = 0 som ligger mellan = 1 och = 1 finns minst ett c där 0 < c < 1, så att f(c) = 0. Detta c är ett nollställe till f, dvs ekvationen högst en rot. Högst ett nollställe tidigare kombinerat med minst ett nollställe ger nu eakt ett nollställe. Ekvationen har alltså precis en rot i 0 < < 1. Figur 7.20. f() = 2 ln 1 c 1

52 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA Eempel 7.21. Hur många reella lösningar har ekvationen ln 4 + 162 5 = arctan 2? Lösning:

7.5 Ekvationer 53 Eempel 7.22. Bestäm för varje värde på konstanten a antalet skilda reella rötter till ekvationen 3 12 = a. Lösning: Vi studerar funktionen f() = 3 12 och jämför sedan med linjen = a. Det gäller att f () = 3 2 12 = 3( 2 4) = 3( + 2)( 2) = 0 = ±2. Teckentabell: 2 2 3 + + + + 2 0 + + 2 0 + f () + 0 0 + f() ր ց ր Dessutom gäller att och f() = 3 12, då f() = 3 12, då. Funktionen f:s största värde är f( 2) = 16 och minsta värde är f(2) = 16. Satsen om mellanliggande värden säger att ekvationen har: 1. en rot om a < 16 eller a > 16, 2. två rötter om a = ±16, 3. tre rötter om 16 < a < 16, = ( 3 12 ) En rot om a>16 Två rötter om a=16 Tre rötter om 16 < a < 16

54 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA