Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 1 (15) Introdution Polynom p(x) = n a x är vissa avseenden den enlaste funtionerna vad gäller analys. Vi vet att de an deriveras termvis p (x) = n n 1 a x 1 = ( + 1)a +1 x, vilet är ett nytt polynom, och integreras termvis: p(x)dx = n a x +1 + 1 + C, vilet ocså är ett nytt polynom. Efter att ha deriverat n + 1 gånger har vi ingenting var. Ett polynom av grad n svarar mot en svit a, a 1,..., a n av n + 1 reella tal. Om vi istället har en oändlig svit a, a 1,... så an vi bilda potensserien a x. Men här är det inte självlart att serien definierar en funtion; för att vi sa unna beräna f(x) måste serien onvergera. I det här apitlet sa vi disutera när en potensserie onvergerar, och alltså definierar en funtion, och se att den då går att derivera så många gånger vi vill. Omvänt sa vi fråga oss: om vi har en funtion, an den då srivas som en potensserie? Vi sa se att så inte alltid är fallet, och de funtioner som an srivas som en potensserie utgör en speciell typ av funtioner. Men en vitig lass av funtioner. En egensap hos polynom som visar sig unna överföras diret till potensserier är att de går att definiera för omplexa tal. Här igenom får man funtioner som är definierade i någon cirelsiva av C, möjligen hela planet, och som tar sina värden i C. Sådana funtioner allas analytisa och vi sa titta lite på hur våra elementära funtioner an definieras för omplexa tal på detta sätt. Potensserier I uttrycet nedan allar vi högerledet en formell potensserie, f(x) = a x. (1) Det innebär endast att vi har en oändligt svit tal {a i } detta uttryc sa definiera en funtion rävs det mer. och bildar detta uttryc. För att
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 2 (15) Exempel 1 Om vi tar a = 1 för alla får vi den geometrisa serien, om vilen vi vet att x = 1 1 x under förutsättning att x < 1. Partialsummorna är polynom som är definierade överallt, men potensserien definierar en funtion endast för x sådana att x < 1! Första frågan är nu när potensserien f(x) överhuvudtaget onvergerar, så att vi får en funtion. Exemplet visar att det inte behöver gälla för alla x. Att den alltid onvergerar för x = med värdet f() = a är doc självlart. Däremot behöver serien inte onvergera för något x, men om det onvergerar i någon punt x, så ommer den att onvergera för alla x sådana att x < x. Detta är innebörden av nästa lemma. Hjälpsats 1 Om potensserien (1) onvergerar för x = x gäller att den onvergerar då x < x och den onvergerar liformig i varje intervall x ρ < x. Bevis. Om f(x ) onvergerar gäller att termerna a x då. Det finns därför ett tal A sådant att a x A för alla och då gäller att a x = a x x x A( ρ x ). Men den geometrisa serien (ρ/ x ) är onvergent eftersom voten är mindre än ett. Att a x är liformigt onvergent på intervallet x ρ följer då ur Weierstrass majorantsats. Om å andra sidan potensserien divergerar för en punt x 1 så måste den divergera i varje punt x sådan att x > x 1. Slutsatsen från detta är därför att serien onvergerar i något symmetrist intervall x < R och att den divergerar då x > R. Vad som händer då x = R är doc en annan historia (vi återommer till det längre fram). Talet R allas potensseriens onvergensradie. Det an mycet väl hända att R =, dvs att potensserien onvergerar för alla x, eller att R =, vilet betyder att potensserien onvergerar endast då x =. För att unna fortsätta en disussion behöver vi en metod att bestämma onvergensradien för en potensserie. Nästa sats adresserar det problemet
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 3 (15) Sats 1 För onvergensradien R till f(x) = a x gäller att 1 R = lim sup a = exp(lim sup ln a ). Detta tolas som att om högerledet är så är R = och om högerledet är så är R =. Ett alternativt uttryc är att 1 R = lim a +1 a om gränsvärdet existerar. Bevis. Det första påståendet i satsen följer ur det fatum att om lim sup a < 1 så är a onvergent, medan om gränsvärdet är > 1 så är summan divergent [1]. Nu är termerna inte a utan a x och och gränsen för x som ligger mellan onvergens och divergens ges av x lim sup a = 1. Motsvarande gäller votriteriet. Detta visar satsen. Från detta och disussionen ovan följer nu följande vitiga sats. Sats 2 f(x) = a x har onvergensradien R, så gäller att den är deriverbar i x < R och att dess derivata ges av f (x) = a x 1. Bevis. Vi börjar med att införa potensserien g(x) = a x 1. För att visa satsen sa vi då visa först att denna har samma onvergensradie som f(x) och sedan att partialsummorna f n (x) gäller att de onvergerar liformigt på ompata delmängder mot g(x) då n. Resultatet följer då ur Sats 5 i apitlet Om onvergens av funtionsföljder. Så vi börjar med att använda rotriteriet för att bestämma onvergensradien R 1 för den deriverade potensserien: R 1 = exp( lim sup ln a + ln ) = exp( lim sup ln a ) = R.
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 4 (15) Vi har allså att R 1 = R. På ompata delintervall x ρ < R gäller vidare att f n(x) g(x) = a x 1 liformigt då n. Det följer att f är deriverbar och att f = g. Anmärning Vänder vi på detta ser vi att F (x) = a + 1 x+1 är en primitiv funtion till f(x) med samma onvergensradie R. Exempel 2 Om vi integrerar den geometrisa serien ( 1) x = 1, x < 1, 1 + x får vi att ln(1 + x) = ( 1) x+1 + 1 = 1 x ( 1) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +... Här har vi använt att ln 1 = för att bestämma integrationsonstanten. Denna serie onvergerar då x < 1. Den onvergerar inte för x = 1, ty summan är då den harmonisa serien 1 som divergerar. Däremot är potensserien onvergent den för x = 1, eftersom den alternerande harmonisa serien onvergerar: ( 1) 1 = ln 2. Ett annat vitigt exempel bygger på att ( 1) x 2 = 1, x < 1, 1 + x2
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 5 (15) som vid integration (ty arctan = ) ger att arctan x = ( 1) 2 + 1 x2+1 = x x3 3 + x5 5 x7 +..., x < 1. 7 Eftersom derivatan av en potensserie är en potensserie med samma onvergensradie, an vi derivera även den och få en andraderivata som en potensserie med samma onvergensradie. Och så vidare. En potensserie f(x) = a x med onvergensradie R är alltså oändligt deriverbar i x < R. Exempel 3 Betrata potensserien f(x) = x!. Dess onvergensradie ges av R = lim 1/! 1/( + 1)! = lim ( + 1) =. Potensserien onvergerar alltså för alla x. Deriverar vi termvis får vi att f (x) = x 1! = x! = f(x), och eftersom f() = 1 ser vi att potensserien inte är något annat än exponentialfuntionen: e x x =!. Vi har alltså onstruerat exponentialfuntionen genom att hitta ett uttryc för den i form av en potensserie. Den fundamentala räneregeln e x+y = e x e y för exponentialfuntionen visar sig nu vara evivalent med binomialteoremet om vi definierar funtionen genom sin potensserie istället. Vi har nämligen att e x e y = ( j= x j j! )( y! ) = c, där c = j= x j j! y j ( j)! = j= ( ) n x j y n j j n! = (x + y)n n!
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 6 (15) Vi ser därför att e x e y = (x + y) n = e x+y. n! n= Vi upprepar: om vi definierar e x genom potensserien istället, så följer att e x e y = e x+y ur binomialteoremet. Komplexa potensserier Ett polynom an lia gärna beränas för omplexa tal som för reella tal, vilet betyder att n p(z) = a z, där vi an låta a C, definierar en funtion C C. Den an ocså uppfattas som en funtion R 2 R 2. Exempel 4 Funtionen f(z) = z 2 an, eftersom z 2 = x 2 y 2 + i2xy då vi sriver z = x + iy, ocså uppfattas som funtionen (x, y) (x 2 y 2, 2xy). På samma sätt an vi uppfatta en potensserie f(z) = a z, a C, som en funtion C C förutsatt att den onvergerar. Men onvergensfrågan är enel. Vi har att f(z) n a z = =n+1 så om a R är onvergent, så gäller att f(z) n a z =n+1 a z =n+1 a z, a R då n. Det betyder att potensserien f(z) onvergerar liformigt då z R. Slutsatsen är då dels att varje potensserie med reella oefficienter som onvergerar i ett öppet intervall ( R, R) och divergerar då x > R, definierar en omplex potensserie som onvergerar för z < R men divergerar då z > R, men ocså att om vi istället definierar en potensserie med omplexa oefficienter, så gäller att den ocså får en onvergensradie som definieras av den reella potensserien a z.
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 7 (15) Definition 1 En onvergent omplex potensserie f(z) = a z, a C, som har onvergensradie R definierar en analytis funtion i z < R. Men nu an vi föra över vad vi lärt oss om reella potensserier till analytisa funtioner. T.ex. har vi att derivatan f (z) = a z 1. har samma onvergensradie som f(z). Anmärning Vi an antingen se det som att vi definierar derivatan av f som denna potensserie, eller så an vi införa en derivation m.a.p. omplexa variabler på samma sätt som vi införde den för reella: att det sa finnas en funtion A(z, h) som är ontinuerlig i origo och är sådan att f(z + h) f(z) = A(z, h)h. Det senare ger ett alternativt sätt att införa analytisa funtioner som disuteras i urser om just analytisa funtioner. Exempel 5 Vi an definiera den omplexa exponentialfuntionen exp(z) = z! som vi av disussionen ovan vet blir definierad för alla z C. Vi ser att diret att exp (z) = exp(z), och vi har sätt att binomialteoremet är evivalent med påståendet att e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. Speciellt får vi ur denna att för alla reella x och y är e x+iy = e x e iy
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 8 (15) där e iy (iy) n = = n! ( 1) n y2n (2n)! + i ( 1) n y 2n+1 (2n + 1)!. Serierna i högerledet änner vi igen som serieutveclingarna av cos y och sin y, cos y = ( 1) n y2n (2n)!, sin y = ( 1) n y 2n+1 (2n + 1)! (2) och vi har alltså för reella x och y att Observera ocså att (3) an srivas i formen e x+iy = e x (cos y + i sin y). (3) e z = e Re z, arg z = Im z. (4) Detta visar genast att exponentialfuntionen avbildar varje band {z; a Im z < a + 2π} parallellt med reella axeln och med bredden 2π en-entydigt på C \ {}. Det i sin tur förlarar varför en presumtiv invers till exponentialfuntionen blir flervärd (ett värde i varje band). Maclaurinutveclingar I föregående avsnitt utgic vi ifrån en potensserie och såg efter för vila x den definierade en funtion. Nu sa vi vända på problemet och utgå ifrån en funtion och se efter om den an srivas som en potensserie för några x. Från analysens huvudsats vet vi att det för varje differentierbar funtion f med en ontinuerlig derivata gäller att f(x) f() = x f (u) du. = x f (xt)dt. Första liheten är analysens huvudsats, för den andra har vi gjort variablebytet u = xt. Men här an vi sriva integranden som 1 f (xt) och partialintegrera med t 1 som primitiv funtion till funtionen som är 1 överallt: f (xt)dt = [(t 1)f (xt)] 1 Detta leder oss till resultatet (t 1)f (xt)xdt = f () + x f(x) = f() + xf () + x 2 (1 t)f (xt)dt. (1 t)f (xt)dt.
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 9 (15) Men om vi an derivera f en gång till an vi upprepa detta förfarande en gång till: ] 1 f(x) = f() + xf (1 1 t)2 () + [ f (1 t)2 (xt) f (xt)xdt 2 2 f() + xf () + f () x2 2 + x3 (1 t) 2 f (xt)dt. 2 Men inte heller här är det slut. Om f har en ontinuerlig n + 1-derivata får vi att n f(x) = f () () x! + xn+1 (1 t) n f (n+1) (xt)dt. n! Polynomet p n (x) = n allas Maclaurinpolynomet av ordning n, medan allas resttermen. Vi har alltså Resttermen här har formen R n+1 (x) = xn+1 n! f () () x! (1 t) n f (n+1) (xt)dt f(x) = p n (x) + R n+1 (x). R n+1 (x) = x n+1 B(x) där B(x) är en funtion som är begränsad i en omgivning av x = om f (n+1) är ontinuerlig. Genom att studera resttermen an vi avgöra om en Maclaurinutvecling an leda till en potensserieutvecling för en given funtion. Exempel 6 Betrata funtionen f(x) = (1 + x) α. För den gäller att f () (x)! = α(α 1)... (α + 1) (1 + x) α =! ( ) α (1 + x) α, där sista liheten är en definition av binomialoefficienten då α inte är ett heltal. För resttermen har vi x ( ) n x t R n (x) = r n (1 + t) α 1 α(α 1)... (α n) dt, r n =. 1 + t n! För t mellan och x gäller att x t 1 + t x
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 1 (15) från vilet vi ser att Notera nu att r n+1 r n R n (x) r n x n x (1 + t) α 1 dt. = α n + 1 n + 1 1 då n, vilet medför att för varje tal ρ > 1 finns ett N sådant att r n+1 /r n ρ då n N, och från det följer att r n r N ρ n N. Givet x ( 1, 1) an vi nu välja ρ > 1 sådant att ρ x < 1. Då gäller att r n x n C(ρ x ) n då n. Det följer att R n (x) då n och alltså att (1 + x) α = ( ) α x, x < 1. Om α > an vi säga mer. Då gäller nämligen att integralen 1 (1 + t)α 1 dt är onvergent och eftersom r n då n så har vi att R n (x) r n 1 (1 + t) α 1 dt då n. Det följer att summan onvergerar liformigt på hela intervallet [ 1, 1], så liheten gäller i hela det slutna intervallet. Men inte alla funtioner an utveclas i en potensserie. Doc an alla elementära funtioner göra det, så för att onstruera en funtion som inte an srivas som en potensserie måste vi vara lite uppfinningsria. Exempel 7 Betrata funtionen f(x) = {, x e 1/x x > Om vi deriverar funtionen i högerledet flera gånger så ser vi att derivatan är på formen q(1/x)e 1/x där q är ett polynom. Vi har då att lim x + g(1/x)e 1/x = lim y q(y) e y =,
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 11 (15) så såväl höger- som vänsterderivator när noll i origo, vilet betyder att f an deriveras hur många gånger vi vill. Med derivatan i origo alltid noll. Alla Maclaurinpolynom är därför noll, så vi an inte sriva f som en potensserie. Entydighet av Maclaurinutvecling Vi såg i föregående avsnitt att vi an sriva en tillräcligt deriverar funtion f(x) = p n (x) + x n+1 B(x). Här är p n är Maclaurinpolynomet av ordning n till f och B är en begränsad funtion i en omgivning av x =. Men Maclaurinpolynomet är det enda polynom som an srivas med en restterm av denna form. För att se varför, antag att f(x) = p n (x) + x n+1 B(x) = q n (x) + x n+1 K(x) där q n är ett annat polynom av ordning n och K är, lisom B, en funtion som är begränsad i en omgivning av x =. Då gäller att r n (x) = p n (x) q n (x) är ett n:tegradspolynom sådant att Men om r n (x) = n a x gäller att x n r n (x) = x 1 (K(x) B(x)) dåx. x n r n (x) = a x n + a 1 x 1 n +... + a n 1 x 1 + a n, och enda möjligheten för detta att gå mot noll då x är att alla oefficienter a är noll. Denna observation an användas till att bestämma en Maclaurinutvecling utan att genomföra alla derivationer. Exempel 8 Vi sa bestämma Maclaurinpolynomet av f(x) = e x2 av ordning 6. Vi an då använda att e t = 1 + t + t2 2 + t3 6 + t4 B(t) med B begränsad i en omgivning av t =. Om vi sriver t = x 2 får vi att e x2 = 1 x 2 + x4 2 x6 6 + x8 B( x 2 ). Men B( x 2 ) är en funtion som är begränsad i en omgivning av x =, vilet betyder enligt entydigheten vi just disuterat att polynomet p(x) = 1 x 2 + x 4 /2 x 6 /6 är Maclaurinpolynomet av ordning 6 av funtionen f.
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 12 (15) Mer om resttermen Resttermen i Maclaurinutveclingen an srivas på olia sätt. En användbar form allas Lagrange s form och ser ut som x n+1 R n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! där ξ ligger mellan och x. Det är här ofta bevämt att sriva ξ = θx där θ 1. Lagrange s form fås ur den ursprungliga resttermen genom att använda följande form av det som allas integralalylens medelvärdenas. Sats 3 Antag att f, φ är två ontinuerliga funtioner på ett ompat intervall [a, b] sådana att φ överallt. Då finns ett ξ ]a, b[ sådant att b a f(x)φ(x)dx = f(ξ) b a φ(x)dx. Bevis. Detta följer av att f min b a f(x)φ(x)dx b a φ(x)dx f max, där f min, f max är minsta respetive största värdet av f på det ompata intervallet [a, b]. Men enligt satsen om mellanliggande värden följer då att det finns ett ξ i intervallet sådant att voten ovan är lia med f(ξ). För att få Lagrange s form på resttermen ur detta sätter vi f(t) = f (n+1) (xt) och φ(t) = (1 t) n. Vi får då (θ är ξ:et i medelvärdessatsen) x n+1 n! (1 t) n f (n+1) (xt)dt = xn+1 n! f (n+1) (θx) x n+1 (1 t) n dt = f (n+1) (θx) (n + 1)!. Exempel 9 För sinusfuntionen gäller att sin (2n) (x) = ( 1) n sin x men sin (2n+1) (x) = ( 1) n cos x från vilet följer att Maclaurinutveclingen är sin x = n ( 1) x2+1! x 2n+2 + R 2n+2 (x), R 2n+2 (x) = ( 1) n cos(θx) (2n + 2)!. Eftersom cos(θx) 1 följer att R 2n+2 liformigt då x < R, och vi får att sin x = ( 1) x2+1!
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 13 (15) På motsvarande sätt får vi att cos x = ( 1) x2! Exempel 1 För funtionen f(x) = ln(1 x) gäller att f (n) (x) = (n 1)!(1 x) n, så vi ser att Lagrange s restterm får formen n 1 xn+1 R n+1 (x) = n!(1 θx) n + 1 Om vi sätter in x = 1 i den får vi att = (1 θx) n 1 xn+1 n + 1. n+1 2 n 1 R n+1 ( 1) = ( 1) n + 1 då n vilet betyder att den alternerande harmonisa serien onvergerar mot ln 2. ( 1) 1 En allmänt användbar form på resttermen gavs av Schlömilch: till varje p > finns ett ξ mellan och x R n+1 (x) = (x ξ)n+1 p x p f (n+1) (ξ) pn! Det följer av att använda integralalylens medelvärdessats på en lite annan uppdelning av funtionerna i integranden: R n+1 (x) = 1 n! x (x t) n f (n+1) (t)dt = 1 n! x (x t) p 1 g(t)dt, g(t) = (x t) n (p 1) f (n+1) (t). Väljer vi p = 1 får vi (om vi sriver ξ = θx) Cauchy s restterm R n+1 (x) = 1 n! xn+1 (1 θ) n f (n+1) (θx). Konvergens på randen Abels sats Om vi har en potensserie a x med onvergensradien 1 och det gäller att serien a är onvergent, så är potensserien enligt Weierstrass majorantsats liformigt onvergent
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 14 (15) då x 1 och alltså ontinuerlig där. Det följer att lim x 1 a x = a, (5) dvs vi har onvergens på randen. Men serien behöver inte vara absolutonvergent för att detta sa gälla Sats 4: Abel Om potensserien f(x) = a x har onvergensradien R där < R < och om serien onvergerar då x = R, så gäller att lim f(x) = f(r). x R Bevis. Vi an anta att R = 1. Låt s = a och låt s n vara dess partialsummor och sätt n f(x) = a x, f n (x) = a x. Med partiell summation [2] får vi då Vi får för fixt x att n 1 f n (x) = s (1 x)x + s n x n. f(x) = (1 x) s x, < x < 1 och använder vi formeln för den geometrisa serien får vi att f(x) s = (1 x) (s s)x, < x < 1. Till givet ɛ > an vi nu finna ett N sådant att s n s < ɛ/2 då n N. Men då följer att N 1 f(x) s (1 x){ s s x + =N N 1 s s x } < (1 x) s s + ɛ 2 < ɛ om x ligger tillräcligt nära 1. Detta bevisar satsen.
Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner 15 (15) Exempel 11 Ur Abels sats får vi dels att potensserieutveclingen ln(1 + x) = ( 1) +1 x, x < 1, ger för den alternerande harmonisa serien ( 1) +1 = lim ln(1 + x) = ln 2, x 1 lisom att potensserien arctan x = ( 1) x2+1, x < 1, ger att ( 1) 2 + 1 = lim x 1 arctan x = π 4. Exempel 12 Omvändningen av Abels sats är inte sann. T.ex. gäller ju att den geometrisa serien ( 1) x = 1 1 + x 1 2 då x 1, men serien 1 1 + 1 1 + 1... är divergent. Noteringar 1. Dessa resultat är en onsevens av rot- och votriteriet för onvergens av serier som disuteras i artieln Om onvergens av serier. 2. Se artieln Om onvergens av serier.