Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2006-05-3 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9.40. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax och följande tabeller: Svärdström: Appendix till Signaler och system, Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook Betygsskala: 25-35 poäng betyg 3 36-46 poäng betyg 4 47-60 poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast 5/6
Ledning: Jag hoppas att det inte är om tid på tentan, men jag är inte säker. Räkna därför de uppgifter ni känner er säkra på först! Lycka till! 2
Kontinuerlig faltning (9p) Bestäm faltningen y(t) = x(λ)h(t λ)dλ = h(λ)x(t λ)dλ då x(t) och h(t) ges av x(t) =e 4t u(t) h(t) =e 4t u( t) =e 4( )t u(( )t) Genomför beräkningen a) dels genom faltning i signaldomänen. (6p) b) dels i Fourierdomänen. (3p) 2 Fourierserie (7p) a) Bestäm fourierserieutvecklingen för sågkantvågen nedan, dvs x(t) =A 0 + A n cos (nω 0 t)+ B n sin (nω 0 t). (5p) n= n= x(t) To t Ledning: A 0 = T0 /2 x(t) dt T 0 T 0 /2 A n = 2 T0 /2 x(t)cos(nω 0 t) dt T 0 T 0 /2 B n = 2 T0 /2 x(t)sin(nω 0 t) dt T 0 ω 0 =2π/T 0 T 0 /2 3
b) Se figuren nedan. Signalen x(t) passerar ett lågpass-filter h(t) vars utseende i fourierdomänen syns till höger i figuren. Bestäm utsignalen y(t)! (2p) H( ω) x(t) h(t) y(t) ωο 2ωο 3ωο ω 3 Faltning och Korrelation (9p) Se filterkärnorna f(x, y) och g(x, y) i figuren nedan. Origo är markerad med en lite tjockare ram. 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 f(x,y) g(x,y) a) Bestäm faltningsresultatet f g(x, y). (2p) b) Bestäm korrelationsresultaten f g(x, y) och g f(x, y). (2p) c) Visa (en-dimensionellt) att faltning är kommutativ, dvs f g(x) = f(λ)g(x λ)dλ =... = g f(x). (2p) d) Visa (en-dimensionellt) att för korrelation gäller att f g(x) = f(λ)g(x + λ)dλ =... = g f( x). (2p) e) Kontrollera att dina korrelationsresultat i uppgift b) uppfyller Beskriv hur du gör! (p) f g(x, y) =g f( x, y) 4
4 Rotation och interpolation (8p) Bilden f(x, y) ska roteras medurs 45. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y Inbild f(x,y)? Utbild g(x,y) a) Beräkna värdet på pixeln markerad med frågetecken (?) i utbilden g(x, y). Värdet ska erhållas med närmsta granne interpolation och beräkningarna måste kunna följas. (3p) b) Antag att värdet i stället beräknas med en cubic spline interpolation. Interpolationskärnan är då h(x) h(y) där { 2 x h(x) = 3 3 x 2 +, för x, 0, för övrigt. Bestäm endast vilka pixlar som blir involverade i beräkningen. (2p) c) Antag att värdet i stället beräknas med high cubic spline interpolation. Interpolationskärnan är då g(x) g(y) där x 3 2 x 2 +, för 0 x, g(x) = x 3 +5 x 2 8 x +4, för x 2, 0, för övrigt. Bestäm vilka pixlar som blir involverade i beräkningen. Bestäm också vilka av dessa pixlar som viktas in positivt respektive negativt. (3p) 5 Binär Bildbehandling (8p) Beskriv hur nedanstående fyra operationer går till. Beskriv vilka pixlar som 0- ställs och -ställs under operationen. Välj vilka matchningskärnor som ingår, A), B), C) eller D). Tala om hur många gånger matchningskärnorna ska appliceras. a) 4-konnektiv krympning till punkt. (2p) 5
b) 8-konnektiv krympning till skelett. (2p) c) Detektering av åsslut. (2p) d) Detektering av åsförgrening. (2p) A) 0 B) 0 0 0 - - C) 0 - - 0 - - 0-0 - D) 0 0 0 0 0 6 Sampling och rekonstruktion (0p) Se nedanstående schema. x(t) sampling xs(t) rekon struktion y(t) Signalen x(t) = 3 4 sinc2 (3t/4) samplas med impulståget (shah-funktionen) med samplingsavståndet T =(vilket är ekvivalent med samplingsfrekvensen f s =) till x s (t). Därefter sker rekonstruktion genom att x s (t) faltas med h(t) = sinc(t) (vilket är ekvivalent med att X s (f) multipliceras med H(f) =Π(f)) och utsignalen y(t) erhålles. Din uppgift är nu att tala om vad y(t) blir. Eftersom samplingsteoremet inte är uppfyllt är detta inte självklart. Nedan följer ett antal deluppgifter för att hjälpa dej fram till målet. Bestäm X(f) och skissa den. Skissa X s (f). Skissa Y (f) =X s (f) H(f). 6
Klart! Y (f) kan ses som en summa av två välkända funktioner, dvs Y (f) = A(f)+B(f). Bestäm A(f) och B(f)! Beräkna nu y(t) genom inversfouriertransform av Y (f) =A(f)+B(f). Ledning: F [ sinc 2 (t) ] =Λ(f) 7 Tidsdiskret system (9p) Se figurer nedan. Den kontinuerliga EKG-signalen x k (t) är störd av nätbrum, en sinus-signal med frekvensen 50Hz. Den samplas med samplingsfrekvensen f s = 200Hz till x(n). x (t) k x(n) h(n) y(n) rekon struktion y k(t) x k (t) X Ω (Ω) 3 20 2 5 0 0 5 0 0.5 t [s] 3 x(n) 0 0 2 3 Ω 2 0 0 50 00 50 200 n 7
Det digitala filtret h(n) är designat för att filtrera bort nätbrummet. Du ser designen av H(z) med pol-nollställe diagram i z-planet nedan. Im z Re z z plane a) Skriv upp ekvationen för H(z) utgående från pol-nollställe diagrammet. (p) b) Beräkna differensekvationen (ett uttryck bestående av x( )och y( )). (2p) c) Utgående från differensekvationen, skissa filtret h(n) med små fördröjningsboxar markerade med D, multiplikationssymboler markerade med X och summeringar markerade med Σ. (2p) d) Skriv upp ett uttryck för frekvensgången H Ω (Ω) i normerad vinkelfrekvens Ω. Det gäller att z = e jω. (p) e) EKG-apparaten ska exporteras till USA där nätfrekvensen är 60Hz istället för 50Hz. Man kan alltså förvänta sig ett nätbrum på 60Hz. Designa ett nytt pol-nollställediagram och skriv upp den nya ekvationen för H(z). Ledning: Sambandet mellan verklig frekvens f, normerad frekvens Ω och samplingsfrekvens f s är 2πf =Ωf s. (3p) 8