I punkten x = 1 fås speciellt. Taylorpolynomet blir. f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)

Relevanta dokument
TAYLORS FORMEL VECKA 4

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

Dagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom

Något om Taylors formel och Mathematica

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Envariabelanalys 2, Föreläsning 4

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Icke-linjära ekvationer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Lösningsförslag till TATA42-tentan

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Sammanfattning TATA42

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Lösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Sätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3

Funktioner: lösningar

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Lösningsskisser för TATA

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Lösningsskisser för TATA

Icke-linjära ekvationer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

eller uttryckt med funktionerna Lektion 5, Flervariabelanalys den 26 januari 2000 t + f t = f

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

SF1625 Envariabelanalys

För att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att

f (a) sin

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

5B1134 Matematik och modeller

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Tentamen i Envariabelanalys 1

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Konvergens för iterativa metoder

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TENTAMEN HF1006 och HF1008

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Ledtrådar till lektionsuppgifter

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

Till dagarna och finns ett appendix som innehåller ytterligare förklaringar, kommentarer och ett antal lösta exempel

LÄSANVISNINGAR. Adams Essex: Calculus, sjunde upplagan

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Analys av funktioner och dess derivata i Matlab.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

Transkript:

Dag 7. Taylors formel 4.8.7 Bestäm Taylorpolynomet av grad n till kring punkten =. + Rekommenderade uppgifter 4.8. Bestäm Taylorpolynomet till cos av grad 3 kring punkten = π/4. Taylors formel säger att P 3 ( = f(a + f (a( a +! f (a( a + f (a( a 3 där a = π/4. Vi behöver alltså beräkna f(π/4 = cos π 4 = f (π/4 = d d cos = sin π 4 = f (π/4 = d d sin = cos π 4 = f (π/4 = d d cos = sin π 4 =. För att bestämma Taylorpolynomet av grad n kring = behöver vi bestämma derivatorna f ( f (... f (n ( och f (n (. Med ett induktivt resonemang får vi att I punkten = fås speciellt Taylorpolynomet blir f (k ( = ( k k! ( + k+. f (k ( = ( k k! 3 k+. P n ( = f( + f (( + f (! ( + + f (n ( ( n n! = 3 3 ( + 3 3 ( + ( n 3 n+ ( n. Vi får att P 3 ( = ( ( 4 π ( 4 π + 6 ( 4 π3. y π 4 y = P 3 ( y = cos 4.8.0 Använd Taylorpolynomet av grad till f( = kring punkten = 64 för att approimera 6. Skatta felet och skriv upp det minsta intervall som säkert innehåller det sanna värdet. Taylors formel av grad kring = a lyder f( = f(a + f (a( a + f (a! där ξ ligger mellan a och. I vårt fall är f( = och a = 64. ( a + f (ξ ( a 3

så vi behöver först bestämma Alltså är f(64 = 64 = 8 f (64 = d = d = 6 f (64 = d d = 4 = 048 f (ξ = d d 4 3 = 8 = 3 8ξ. 5/ = 8 + 6 ( 64 4096 ( 64 + 6ξ ( 5/ 643. Om vi sätter = 6 och ignorerar resttermen så får vi approimationen 6 8 + 6 (6 64 4096 (6 64 78030. Istället för att göra en noggrann undersökning av resttermens tecken och dess storlek gör vi en ganska grov skattning. Vi vet att 6 < ξ < 64 och därför är R 3 (6 = 6 ξ 5/ ( 33 < 6 6 5/ 33 < 6 6 49 33 648 0 5. Vi kan därför säga att 6 (78030 648 0 5 ; 78030 + 648 0 5 (7803; 78037. Detta kan jämföras med det sanna värdet 6 = 7804967... Anm. Om termerna har alternerande tecken i Taylorserien kan man visa att felet alltid är mindre än beloppet av den först försummade termen (se sats 9.4.5 sid 549. 4.8. Använd Taylorpolynomet av grad till f( = arctan kring punkten = för att approimera arctan 097. Skatta felet och skriv upp det minsta intervall som säkert innehåller det sanna värdet. Taylors formel av grad kring = a lyder f( = f(a + f (a( a + f (a! ( a + f (ξ ( a 3 där ξ ligger mellan a och. I vårt fall med f( = arctan och a = är Alltså är f( = π/4 f ( = d d arctan = = + = / = f ( = d d + = = ( + = / = f (ξ = d d ( + = (3 = ( + 3 = (3ξ ( + ξ 3. arctan = π 4 + ( 4 ( + 3ξ 3 (ξ + 3 ( 3. Om vi sätter = 097 och ignorerar resttermen så får vi approimationen arctan 097 π 4 + (097 4 (097 07707. I feltermen vet vi att 097 < ξ < varför vi kan skatta feltermen till R 3 (097 = 3ξ 3 (ξ + 3 3 0033 < 3 (097 + 3 0033 47 0 6. Vi kan därför säga att arctan 097 (077073 47 0 6 ; 077073 + 47 0 6 (077070; 077076. Detta kan jämföras med det sanna värdet arctan 097 = 07707094

4.8. Bestäm Taylorpolynomet P 8( till e kring punkten = 0. Taylorutvecklingen för e kring = 0 lyder e = + +! + 3 + 4! 4 + O( 5. Om vi ersätter med i formeln ovan får vi att e = + 4 6 6 + 4 8 + O( 0. P 8 ( = + 4 6 6 + 4 8. 4.8.33 Vilken är den bästa :a gradsapproimationen till f( = ( kring = 0? Hur stort är felet i denna approimation? Besvara samma frågor för g( = 3 + + 3 + 4. Kan konstanten 6 = i resttermen för andragradsapproimationen förbättras (göras mindre? Eftersom f kan skrivas som f( = + = + + O( 3 ger entydighetssatsen för Taylorpolynom att Taylorpolynomet P ( till f är Eftersom P ( = f( är felet 0. P ( = +. Funktionen g kan skrivas som g( = 4 + 3 + + O( 3. 4.8.4 Bestäm Taylorpolynomet P 5( till sin kring punkten = π. Vi skriver om funktionen med hjälp av trigonometriska formler sin = sin ( ( π + π = sin( π cos π + cos( π sin π = sin( π. Sätter vi s = π ska vi alltså Taylorutveckla sin s kring s = 0 sin = sin s = (s s3 + s5 5! + O(s7 = ( π + 6 ( π3 0 ( π5 + O( π 7. P 5 ( = ( π + 6 ( π3 0 ( π5. Taylorutvecklingens unikhet ger att Taylorpolynomet P ( till g är Resttermen i Taylorutvecklingen är Eftersom g ( 6 blir restermen P ( = 4 + 3 +. R 3 ( = g (ξ ( 0 3. R 3 ( = 3. Vi ska jämföra detta med det eakta felet g( R 3 ( = 3. Resttermen R 3 ( är alltså lika med det eakta felet och då finns inte rum för någon förbättring av feluppskattningen.

Etrauppgifter X. Bestäm Taylorpolynomet P 3( till e cos kring punkten punkten = 0. Antag att vi vet Taylorutvecklingen av e och cos i = 0 Då är e = + + + 6 3 + O( 4 cos = + O( 4. ( ( e cos = + + + 6 3 + O( 4 + O( 4 = { n O( m = O( m+n ; O( n O( m = O( m+n } = + 3 3 + O( 4. P 3 ( = + 3 3. i en punkterad omgivning av 0. Därmed har vi visat (. Anm. Alltså duger C = + ε som konstant men omgivningens storlek får vi inte fram med ovanstående resonemang. Vi vet iallafall att det finns en omgivning där ( är uppfylld och det räcker i denna uppgift. X.3 Visa att e = + + O( då 0. Om vi Taylorutvecklar e i punkten = 0 får vi e = + + eξ där ξ ligger mellan 0 och. Eftersom e är en väande funktion så är resttermen eξ ema{0} e för alla <. Alltså är resttermen O( och vi kan skriva e = + + O( då 0. Anm. Egentligen räcker det med att konstatera att eξ är begränsad för ξ nära 0. X. Visa att sin = O( då 0. Vi ska visa att det finns ett C > 0 så att sin C för alla i en punkterad omgivning av 0. ( Eftersom sin 0 = så vet vi från gränsvärdesdefinitionen att ε sin + ε för alla i en punkterad omgivning av 0 vilket ger speciellt att sin + ε sin ( + ε X.4 Är e = O( 0 då? Vi ska undersöka om det finns ett C > 0 och ett N > 0 så att Om detta vore sant skulle Men eftersom vi vet att e < C 0 för alla > N. ( e 0 C = C <. så kan inte ( vara uppfylld d.v.s. e = 0 e O( 0 då.

X.5 Visa att ( + + O( = e + O( då. I varje steg använder vi antingen räknereglerna för ordo Maclaurinutveckling eller en vanlig omskrivning så fundera noga över varje likhet. ( ( + + O( = ep log ( + + O( = ep ( log + log ( + + O( = ep ( log ( + + O( ( = ep ( + O( = ep ( + O( = ep( ep (O( = e ( + O( = e + O(.