Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. el A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli 2 poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. e tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del, som främst är till för de högre betygen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B E Fx Total poäng 27 24 2 8 6 5 varav från del 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. et innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!
SF626 Flervariabelanalys Tentamen 26--2 EL A. Betrakta funktionen f(x, y) = + ( x) 2 + y. 2 (a) Beräkna gradienten till f i origo. ( p) (b) Vilken information om utseendet på grafen till f i en omgivning till origo ges av riktningen respektive längden av gradienten till f i origo? (2 p) (c) Har funktionen f ett minimum över hela xy-planet? ( p) 2. (a) Formulera Greens formel inklusive alla förutsättningar. (2 p) (b) Använd Greens formel för att beräkna kurvintegralen (x 2x 2 y) dx + (2xy 2 y) dy T där T är randen till parallelltrapetsen med hörn i punkterna (, ), (2, ), (2, 4) och (, 5) genomlöpt moturs. (2 p) 3. en plana kurva som ges av ekvationen 27y 2 = x(x 9) 2 kan parametriseras genom r(t) = (3t 2, 3t t 3 ) där t genomlöper hela den reella tallinjen. (a) Kontrollera att parameterkurvan är en del av kurvan, det vill säga att punkterna på den uppfyller ekvationen för. ( p) (b) Beräkna hastigheten r (t) för den parametriserade kurvan. ( p) (c) Ställ upp den integral i parametern t som beräknar längden av den ögla som ges av intervallet 3 t 3. Förenkla integranden så långt som möjligt. (2 p) Green s Theorem in the plane. 2
SF626 Flervariabelanalys Tentamen 26--2 EL B 4. Beräkna dubbelintegralen xy dx dy där är området som i polära koordinater ges av olikheterna { r sin 2θ, θ π/2. (4 p) 5. (a) Låt f(x, y) vara en funktion av två variabler. Förklara vad som menas med att en punkt (x, y ) är en stationär punkt, en lokal maxpunkt, respektive en lokal minpunkt. (2 p) (b) Funktionen f(x, y) = e x x3 /3 y 2 har stationära punkter i (, ) och (, ). Avgör om dessa är lokala maxpunkter, lokala minpunkter, eller ingetdera. (2 p) 6. Kurvan är en sammanhängande del av hyperbeln xy = från punkten (, ) till punkten P. Bestäm P då (2x + y) dx + (x 8y) dy = 3. (4 p) 3 Var god vänd!
SF626 Flervariabelanalys Tentamen 26--2 EL 7. Betrakta ekvationen F (x, y) = där F (x, y) = xe y + ye x. (a) Visa att det finns en funktion g med g() = sådan att F (x, g(x)) = för x nära. ( p) (b) Beräkna Taylorpolynomet av grad två för g vid x =. (3 p) 8. Funktionen f ges av f(t) = ( ) tx exp dxdy där t > och området definieras av att t x 2t och t y 2t. Visa att y 2 f(t) = t 2 för någon konstant. (4 p) 9. Låt g(r) vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion med g (4) =. Beräkna integralen ( f xx + f yy) dxdy, där f(x, y) = g (x 2 + y 2 ) och är en cirkelskiva med radie 2 kring origo. (4 p) 4
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 EL A. Betrakta funktionen f(x, y) = + ( x) 2 + y. 2 (a) Beräkna gradienten till f i origo. ( p) (b) Vilken information om utseendet på grafen till f i en omgivning till origo ges av riktningen respektive längden av gradienten till f i origo? (2 p) (c) Har funktionen f ett minimum över hela xy-planet? ( p) Lösningsförslag. (a) Vi får de partiella derivatorna f x = 2(x ) f och ( + ( x) 2 + y 2 ) 2 y = 2y ( + ( x) 2 + y 2 ) 2 ) 2 vilket ger gradienten ( ) 2(x ) grad f(x, y) = ( + ( x) 2 + y 2 ), 2y. 2 ( + ( x) 2 + y 2 ) 2 När vi sätter in (x, y) = (, ) får vi ( ) 2( ) grad f(, ) = ( + ( ) 2 + 2 ), 2 = 2 ( + ( ) 2 + 2 ) 2 ( ) ( ) 2 4, = 2,. (b) Eftersom funktionen är differentierbar ger gradientens riktning information om i vilken riktning grafen lutar brantast uppåt. I det här fallet är det i positiv x-led. Beloppet av gradienten ger den maximala riktningsderivatan, som i det här fallet är /2. et betyder att grafen till f har ett tangentplan som lutar med en maximal riktningskoefficient /2 och detta är i positiv x-led. (c) Funktionen är positiv över hela planet, men kan komma godtyckligt nära. Alltså finns inget minimum över hela planet. Svar. (a) grad f(, ) = (/2, ). (c) Funktionen har inget globalt minimum över hela xy-planet.
2 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 2. (a) Formulera Greens formel inklusive alla förutsättningar. (2 p) (b) Använd Greens formel för att beräkna kurvintegralen (x 2x 2 y) dx + (2xy 2 y) dy T där T är randen till parallelltrapetsen med hörn i punkterna (, ), (2, ), (2, 4) och (, 5) genomlöpt moturs. (2 p) Lösningsförslag. (a) Om F = (P, Q) är ett kontinuerligt deriverbart vektorfält i planet och är ett begränsat område med en styckvis kontinuerligt deriverbar rand så gäller ( Q P dx + Q dy = x P ) dxdy y där är positivt orienterad med avseende på. (b) Enligt Greens formel kan kurvintegralen beräknas med hjälp av dubbelintegralen x (2xy2 y) y (x 2x2 y) dxdy = 2y 2 + 2x 2 dxdy där är den givna parallelltrapetsen. Vi kan beskriva med olikheterna x 2 och y 5 x/2, vilket gör att vi kan beräkna dubbelintegralen med upprepad integration. 2 5 x/2 2 ] 5 x/2 2y 2 + 2x 2 dxdy = 2 x 2 + y 2 dy dx = 2 [x 2 y + y3 dx 3 = 2 2 (5 x/2)x 2 (5 x/2)3 + 3 = 2 [ 5x 3 dx = 2 ( 4 3 2 44 6 + 54 6 3 x4 8 ) = (5 x/2)4 6 ] 2 8 2 256 + 625 3 = 437 3. Svar. (b) Kurvintegralens värde är 437/3. Green s Theorem in the plane.
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 3 3. en plana kurva som ges av ekvationen 27y 2 = x(x 9) 2 kan parametriseras genom r(t) = (3t 2, 3t t 3 ) där t genomlöper hela den reella tallinjen. (a) Kontrollera att parameterkurvan är en del av kurvan, det vill säga att punkterna på den uppfyller ekvationen för. ( p) (b) Beräkna hastigheten r (t) för den parametriserade kurvan. ( p) (c) Ställ upp den integral i parametern t som beräknar längden av den ögla som ges av intervallet 3 t 3. Förenkla integranden så långt som möjligt. (2 p) Lösningsförslag. (a) Vi sätter in r(t) i ekvationen och får vänsterledet och högerledet 27(3t t 3 ) 2 = 27(9t 2 6t 4 + t 6 ) 3t 2 (3t 2 9) 2 = 3t 2 (9t 4 54t 2 + 8) = 27(t 6 6t 4 + 9t 2 ). Eftersom höger- och vänsterled är lika uppfyller parametriseringen ekvationen och parameterkurvan är en del av. (b) Hastigheten av parametriseringen ges av derivatan med avseende på t. Vi får r (t) = (6t, 3 3t 2 ). (c) För att beräkna längden av kurvan integrerar vi beloppet av r (t). Vi får beloppet som 3 3 r (t) = 3 (2t) 2 + ( t 2 ) 2 = 3 4t 2 + 2t 2 + t 4 = 3 + 2t 2 + t 4 = 3 ( + t 2 ) 2 = 3( + t 2 ). Längden av öglan blir r (t) dt = 3 3 3( + t 2 ) dt = 3 3 3( + t 2 ) dt = [ 3t + t 3] 3 3 = 3 3 + 3 3 ( 3 3) ( 3 3) = 2 3. Svar. (b) r (t) = (6t, 3 3t 2 ). (c) Öglans längd är 2 3 längdenheter.
4 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 EL B 4. Beräkna dubbelintegralen xy dx dy där är området som i polära koordinater ges av olikheterna { r sin 2θ, θ π/2. (4 p) Lösningsförslag. När vi byter till polära koordinater får vi dxdy = r drdθ. Integranden blir xy = r 2 cos θ sin θ och gränserna ges av de givna olikheterna. Vi kan nu beräkna integralen med upprepad integration med början i r-led, π/2 sin 2θ π/2 [ ] r xy dx dy = r 3 4 r=sin 2θ sin θ cos θ drdθ = sin θ cos θ dθ 4 8 π/2 π/2 (sin 2θ) 4 sin 2θ = dθ = (sin 2θ) 5 dθ = ( cos 2 2θ) 2 sin 2θ dθ. 4 2 8 8 Vi kan göra variabelbytet t = cos 2θ och får dt = 2 sin 2θ dθ, vilket ger π/2 π/2 ( cos 2 2θ) 2 sin 2θ dθ = ( t 2 ) 2 dt = 2t 2 + t 4 dt 6 6 = ] [t 2t3 6 3 + t5 = 2 ( 2 5 6 3 + ) = 2 ( ) 5 + 3 = 5 6 5 5. r= Svar. xy dxdy = 5
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 5 5. (a) Låt f(x, y) vara en funktion av två variabler. Förklara vad som menas med att en punkt (x, y ) är en stationär punkt, en lokal maxpunkt, respektive en lokal minpunkt. (2 p) (b) Funktionen f(x, y) = e x x3 /3 y 2 har stationära punkter i (, ) och (, ). Avgör om dessa är lokala maxpunkter, lokala minpunkter, eller ingetdera. (2 p) Lösningsförslag. (a) En stationär punkt är en punkt där gradienten är noll. En lokal maxpunkt är en punkt där funktionen antar ett värde som är maximalt i någon cirkelskiva med centrum i punkten. En lokal minpunkt är en punkt där funktionen antar ett värde som är minimalt i någon cirkelskiva med centrum i punkten. (b) För att avgöra om de är lokala max- eller minpunkter ser vi på andraderivatorna. Eftersom exponentialfunktionen är monotont växande kan vi lika gärna betrakta funktionen g(x, y) = x x 3 /3 y 2. en kvadratiska formen i Taylorpolynomet av grad två för g ges av matrisen 2 g x 2 2 g y x 2 g [ ] x y 2x 2 g = 2 y 2 I punkten (, ) får vi matrisen [ 2 ] 2 som är negativt definit, vilket visar att funktionen g har ett lokalt maximum i (, ). För punkten (, ) får vi matrisen [ ] 2 2 som är indefinit och punkten (, ) är en sadelpunkt för g och därmed varken lokal maxpunkt eller lokal minpunkt. Vi kan också arbeta direkt på funktionen f och får f x = ( x2 x x3 /3 y2 )e, f y /3 y2 = 2yex x3, 2 f x y = 2y( 2 f x2 x x3 /3 y2 )e, y = ( 2 + 2 ( 2y)2 )e och när vi sätter in (, ) och (, ) får vi [ ] [ ] 2 2 e 2 2/3, respektive e 2 2/3 och samma analys som tidigare leder till samma slutsats. 2 f x = ( 2x + ( 2 x2 ) 2 x x3 /3 y2 )e x x3 /3 y2
6 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 Svar. (b) (, ) är en lokal maxpunkt och (, ) är varken en lokal maxpunkt eller en lokal minpunkt.
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 7 6. Kurvan är en sammanhängande del av hyperbeln xy = från punkten (, ) till punkten P. Bestäm P då (2x + y) dx + (x 8y) dy = 3. (4 p) Lösningsförslag. Låt den sökta punkten vara (a, /a). Vi kan parametrisera kurvan som r(t) = (t, /t) och får dr = (, /t 2 ) dt. ärmed ges integralen av a (2x + y) dx + (x 8y) dy = (2t + t ) dt + (t 8 t )( /t2 ) dt = a Villkoret leder till ekvationen 2t + 8t 3 dt = [ t 2 4t 2] a = a2 4a 2 + 4 = 3 + a 2 4a 2. a 2 4a 2 = som kan skrivas om som a 4 4 = i och med att a inte kan vara noll. enna ekvation har fyra lösningar a = ± 2 och a = ±i 2. Vi söker en positiv reell lösning och får därmed a = 2. et betyder att den sökta punkten är P = ( 2, / 2). Ett alternativt sätt att lösa uppgiften är att se att fältet F(x, y) = (2x + y, x 8y) är konservativt och att vi kan hitta en potential genom att först integrera i x-led och får Φ(x, y) = x 2 + xy + g(y). erivering med avseende på y ger då x + g (y) = x 8y, och vi kan välja g(y) = 4y 2. Integralens värde kan nu beräknas som skillnaden i potential, dvs (2x + y) dx + (x 8y) dy = Φ(P ) Φ(, ). Eftersom Φ(, ) = 2 + 4 = 2 söker vi P = (a, /a) med Φ(a, /a) =. etta villkor ger nu samma ekvation som tidigare för a. Svar. Punkten är P = ( 2, / 2).
8 SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 EL 7. Betrakta ekvationen F (x, y) = där F (x, y) = xe y + ye x. (a) Visa att det finns en funktion g med g() = sådan att F (x, g(x)) = för x nära. ( p) (b) Beräkna Taylorpolynomet av grad två för g vid x =. (3 p) Lösningsförslag. (a) Vi kan använda implicita funktionssatsen för att visa detta. Villkoren för denna är uppfyllda eftersom de ingående funktionerna är kontinuerligt deriverbara. Vi behöver kontrollera att derivatan av F med avseende på y är nollskild för att vi ska kunna lösa ut y som en funktion av x. F y = xey + e x och därmed är F y (, ) = e + e = + =. Implicita funktionssatsen ger nu att vi kan lösa ut y som en funktion y = g(x) i närheten av origo. (b) För att beräkna Taylorpolynomet av grad två kan vi derivera identiteten F (x, g(x)) = med avseende på x. Vi får = d ( xe g(x) + g(x)e x) = e g(x) + xe g(x) g (x) + g (x)e x + g(x)e x dx och när vi sätter in x = får vi = + g () + vilket ger g () =. För att få andraderivatan deriverar vi en gång till och får = d ( e g(x) + xe g(x) g (x) + g (x)e x + g(x)e x) dx = e g(x) g (x) + e g(x) g (x) + xe g(x) (g (x)) 2 + xe g(x) g (x) När vi sätter in x = får vi + g (x)e x + g (x)e x + g (x)e x + g(x)e x. = g () + g () + + + g () + g () + g () + vilket ger g () = 4g () = 4. Taylorpolynomet av grad två blir därmed p(x) = x + 4x 2 /2 = x + 2x 2. Svar. (b) Taylorpolynomet av grad två vid x = är p(x) = x + 2x 2.
8. Funktionen f ges av SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 9 f(t) = ( ) tx exp dxdy där t > och området definieras av att t x 2t och t y 2t. Visa att y 2 f(t) = t 2 för någon konstant. (4 p) Lösningsförslag. Vi genomför variabelbytet u = x/t, v = y/t och får Jacobimatrisen [ ] (u, v) /t (x, y) = /t och därmed dudv = /t 2 dxdy. Alltså har vi 2 2 ( ) t 2 u 2 f(t) = exp t 2 dudv = t 2 t 2 v 2 2 Vi har därmed visat att f(t) = t 2 där konstanten ges av 2 2 ( u ) = exp dudv. v 2 ( u ) exp dudv. v 2
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26--2 2π 9. Låt g(r) vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion med g (4) =. Beräkna integralen ( f xx + f yy) dxdy, där f(x, y) = g (x 2 + y 2 ) och är en cirkelskiva med radie 2 kring origo. (4 p) Lösningsförslag. Eftersom förutsättningarna för divergenssatsen i planet är uppfyllda kan vi skriva om dubbelintegralen som en flödesintegral ( ) f xx + f yy dxdy = grad f dn. Vi får gradienten av f som grad f = ( 2xg ( x 2 + y 2), 2yg ( x 2 + y 2)). En normerad normalvektor till cirkeln ges av N(x, y) = (x, y) och därmed blir linjeintegralen 2 grad f dn = g (4)(2x, 2y) (/2x, /2y) ds = (x 2 +y 2 ) ds = 4 ds = 4 4π = 6π. Ett annat sätt att lösa uppgiften är att beräkna integranden f xx + f yy som f xx + f yy = 4g ( x 2 + y 2) + 4(x 2 + y 2 )g ( x 2 + y 2). Överång till polära koordinater ger ( ) 2π 2 f xx + f yy dxdy = 4g (r 2 ) + 4r 2 g (r 2 ) rdrdθ = 2π Variabelbytet t = r 2 ger sedan dt = 2r dr och 2 4g (r 2 ) + 4r 2 g (r 2 ) rdr = 4π 4 2 4g (r 2 ) + 4r 2 g (r 2 ) rdr. g (t) + tg (t) dt = 4π [tg (t)] 4 = 4π 4 4π = 6π. Svar. ( f xx + f yy) dxdy = 6π.