HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper. Skriv läsligt oc ögst en uppgift per sida. För att erålla full poäng på ett problem krävs en kortfattad men fullständig motivering samt ett tydligt oc exakt angivet svar på enklaste form. Betygsgränserna är 5 p för oc godkänd, 0 p för oc 5 p för 5.. a Beräkna gränsvärdet p lim x 0 arctan x sin x cos x + xe x. b Beräkna integralen p x / + x dx.. Bestäm eventuella lokala extrempunkter oc terasspunkter till fx = x x + x x x + samt eventuella asymptoter till kurvan y = fx. Rita också kurvan i grova drag. 5p. Lös begynnelsevärdesproblemet 5p { y y + y = e x, y0 = y 0 =.. a Härled derivatan av e x. p b Bestäm den lösning yx till differentialekvationen y = x + y, för vilken lim x 0 yx x =. p 5. a För vilka värden på talet α är den generaliserade integralen x α dx konvergent? b Beräkna volymen av den kropp som uppkommer då kurvan p y = + x ln + x, x, roterar kring x-axeln. p 6. a Härled formeln för derivatan av produkten av två deriverbara funktioner. p b På samma raka gata i en känd studentstad finns de två nattklubbarna Good-bar oc Bad-bar. Good-bar är emellertid populärare än Bad-bar oc därför fyra gånger stökigare. Var på gatan mellan nattklubbarna ska man bo om man vill a det så tyst som möjligt då nattklubbarna är öppna? Ljudnivån från en nattklubb är proportionell mot stökigeten oc omvänt proportionell mot avståndet till nattklubben. p Lycka till!
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Lösningsförslag. a Vi börjar med Maclaurinutveckling av nämnaren. Pga entydigeten os Maclaurinutvecklingen får vi x 0 då x 0: cos x + xe x x = x! + Ox + x x + x + x + Ox!! = x + Ox. Eftersom den första icke-försvinnande termen i nämnaren är av ordning så utvecklar vi täljaren t.o.m. ordning : arctan x sin x = x x + Ox5 x x! + Ox5 = x 6 + Ox5. Vi får till slut arctan x sin x cos x + xe x = x 6 + Ox5 x + Ox = 6 + Ox + Ox då x 0. b Substitutionen t = x x = t, t 0, ger dx = tdt oc vi får x / + x dx = = x x + dx = t t + t t + tdt = dt = [ ln t ln + t ] = ln.. Vi bestämmer först eventuella stationära punkter till fx: fx = x x + x x tt + dt = + t t tt + dt f x = x x + x x x + x x x = x x x = 0 x = 0 eller x =. Sedan undersöker vi derivatans tecken oc förutom de stationära punkterna tar vi även med punkten x = där f oc f inte är definierade: x 0 f x + 0 + 0 + fx f0 f Till sist bestämmer vi eventuella asymptoter till kurvan y = fx. Eftersom fx är en rationell funktion där nämnaren är noll medan täljaren är skild från noll för x = ar fx den lodräta asymptoten x =. P.g.a. att fx är rationell ger en enkel polynomdivision direkt eventuell sned asymptot: fx = x x + x x = x + Sned asymptot + x x. Sammanfattning: Funktionen fx ar en lokal terasspunkt i x = 0 med värdet f0 = oc en lokal minimipunkt i x = med värdet f =. Kurvan y = fx ar den lodräta asymptoten x = samt den sneda asymptoten y = x + då x ±.
0 5 - - 6-5 Figur : Kurvan fx = x x + x x. x +. Den allmänna lösningen ges av y = y + y p där y är den allmänna lösningen till motsvarande omogena ekvation oc y p en partikulärlösning till Ly = y y + y = 0 Ly = e x. Lösning till omogena ekvationen: Det karaktäristiska polynomet pr = r r + ar nollställena r = oc r = oc den allmänna lösningen till Ly = 0 är därför y = C e x + C e x. Partikulärlösning: Eftersom ögerledet är en exponentialfunktion inför vi jälpfunktionen z oc gör ansatsen: Insättning i ger nu y p = ze x y p = z + ze x y p = z + z + ze x. y y + y = z + z + z z + z + ze x = z z e x = e x z z = Om man inte ser direkt att z = x är en lösning till ittar man enkelt den genom standardansatsen z p = ax z p = a z p = 0. Insättning i ger z z = 0 a = a =. oc vi får y p = xe x. Den allmänna lösningen till är därför Från begynnelsvillkoren får vi Den sökta lösningen är alltså y = y + y p = C e x + C e x xe x. y0 = C + C = C = C y x = C e x + C e x e x xe x y 0 = C + C 0 = C + C = C =. yx = e x xe x.. a Derivatan av en deriverbar funktion fx i en godtycklig punkt x ges av Med fx = e x får vi differenskvoten f fx + fx x = lim. 0 dvs De x = e x. fx + fx = ex+ e x = ex e e x = e x e e x = e x då x 0 }{{ }
b Detta är en linjär oc separabel differentialekvation. Löser vi den som en separabel observerar vi först att y = är en lösning. För y får vi y = x + y + y y = x + y dy = xdx ln + y = x + A + y = e x +A = e x e A = Be x, B > 0 + y = ±Be x. Den allmänna lösningen ges alltså av yx = Ce x. där C är en godtycklig konstant oc C = 0 motsvarar fallet y = ovan. Betraktar vi istället ekvationen som en linjär differentialekvation får vi y = x + y y xy = x oc multiplikation med den integrerande faktorn e Gx = e x ger: y e x + ye x x = D ye x = xe x ye x = xe x dx = e x + C yx = Ce x dvs samma lösning som tidigare. Vi får nu yx x = Cex x då x 0 C = standardgränsvärde Den sökta lösningen är alltså yx = e x. 5. a Vi beräknar den generaliserade integralen för olika värden på α: R α = : [ln x] R = ln R ln = ln R då R x α dx = { [ ] R α : α x α = R α α + α α då R om α >. då R om α <. Resultatet visar att b Volymen ges av den generaliserade integralen π dx är konvergent omm α >. xα dx. + x ln + x Vi får: R R dx = ln + x + x ln + x + x dx = [ ln + x ] R = ln + R + ln + 0 + ln = då ln dvs volymen är π ln v.e. R 6. a Om fx oc gx är två deriverbara funktioner så söker vi derivatan av fxgx oc vi får differenskvoten fx + gx + fxgx dvs Dfg = f g + fg. fx + gx + fxgx + + fxgx + fxgx = fx + fx gx + gx = gx + + fx f xgx + fxg x då 0
b Låt ljudnivån på avståndet x från Bad-bar vara lx. Om s är stökigeten på Bad-bar, d avståndet mellan barerna oc k > 0 proportionalitetskonstanten söker vi enligt uppgiften det värde på x för vilket funktionen s lx = k x Bad-Bar + s, 0 < x < d, d x Good-bar antar sitt minsta värde. Derivering ger: l x = ks x + d x = ks d x + x x dx + d x d x = ks x x d = 0 x = d eller x = d där det andra nollstället inte är aktuellt i det är fallet eftersom 0 < x < d. Studerar vi nu derivatans tecken d x 0 d l x * 0 + * lx * l d * ser vi att lx verkligen antar sitt minsta värde för x = d. 5