Lösningsförslag, version.0, 3 september 06 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 06-08-7 kl 8.30-3.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 7 poäng från uppgifterna 0, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8 0. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 06 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång, markera i så fall med B. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 0 minst 50% ( poäng) från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Med ett analytiskt uttryck menar vi ett uttryck som använder de fyra räknesätten, potenser, kvadratrötter, exponentialfunktioner, logaritmer, trigonometriska funktioner, t.ex. x e x3 + ln cos x x (men inte exv integraluttryck). Numeriska värden kan anges som förenklade analytiska uttryck där faktorer som π och e kan ingå utöver rena siffror, t.ex. 7 + 5e3 sin (π/7). Del I. Uppgift 0 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8 0. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.. Låt f(x) = ln ( π arcsin x) (a) Vilken är (den största möjliga) definitionsmängden D f för f? (Vi kräver reella tal som värden.) (b) f är strängt växande i sin definitionsmängd och därför inverterbar. Bestäm f (x) (som ett analytiskt uttryck). (c) Vad är definitionsmängden D f för f? Lösningsförslag: (a) Notera att ln u bara är definierat för u > 0, och att arcsin x är definierat precis om x. För x < 0 är arcsin x < 0, medan arcsin x > 0 för x > 0 och arcsin 0 = 0. Av detta följer att f(x) = ln ( π arcsin x) är definierat precis om 0 < x. Definitionsmängden till f är alltså intervallet D f = (0, ]. (b) För y i definitionsmängden till den inverterbara funktionen f och x i värdemängden
gäller att y = f (x) f(y) = x. Vi har i vårt fall y = f (x) f(y) = x ( ) ln π arcsin y = x arcsin y = ex π arcsin y = π ex ( π y = sin ex) Alltså ges inversa funktionen f till f av f (x) = sin ( π ex). (c) Inversen f till f är definierad på värdemängden till f. Funktionen f är kontinuerlig och strängt växande på sin definitionsmängd, som är det halvöppna intervallet (0, ], och har därför som värdemängd intervallet (f(0 + ), f() ], där f(0 + ) symboliserar högergränsvärdet lim x 0 + f(x). Vi beräknar intervallets ändpunkter: ( ) ( ) f() = ln π arcsin π = ln = ln = 0 π och ( ) f(0 + ) = lim f(x) = lim ln x 0 + x 0 + π arcsin x ( ) = lim ln u =, u 0 + då ( ) u = π arcsin x 0+ då x 0 +. Definitionsmängden för f är alltså D f = (, 0 ].. Låt sin (πx) f(x) = x ( x ). Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. (Tips: Se formelbladet för gränsvärdet av sin x x då x 0.) (a) lim f(x) x (/) + (b) lim f(x) x 0 (c) lim f(x) x + Lösningsförslag: (a) Vi har att lim sin(πx) = sin(π/) = x (/) + medan x(x /) 0 + då x (/) +, 3
dvs x(x /) > 0 för x > / nära x och lim x(x /) = 0. Alltså är x (/) + lim f(x) = +. x (/) + (b) Vi vet att vilket generellt ger att sin t lim =, t 0 t sin ax [t=ax] sin t lim = lim x 0 x t 0 t/a = a lim sin t = a = a. t 0 t så lim x 0 sin (πx) x(x /) = lim x 0 sin (πx) = lim x / x x 0 x / lim sin (πx) = π. x 0 x (c) Eftersom sin (πx) för alla x så har vi att och då har vi också att f(x) 0 då x +, x(x /) lim f(x) = 0. x + 4
3. Ekvationen y 4 + xy + 5 x + = 4 definierar en kurva i xy-planet som innehåller punkten (x, y) = (, ). Bestäm kurvans tangentlutning i denna punkt. Lösningsförslag: Med implicit derivering får vi att = d y 4 + xy + 5 x + = 4 ( y 4 + xy + 5 ) x + = d 4 = 4y 3 + y + x 5 d (x + ) (x + ) = 0 = ( 4y 3 + x ) + y 0x (x + ) = 0 = = 0x (x +) y 4y 3 + x. I punkten (x, y) = (, ) gäller då att 0x y (x = +) 4y 3 = + x (x,y)=(,) (x,y)=(,) 0 5 4 + = 30. Tangenten till kurvan i punkten (x, y) = (, ) har alltså lutningen = /30. 4. Bestäm det största och minsta värde funktionen f(x) = (x + )e x antar på intervallet 0 x. (Inkludera en studie av derivatans tecken.) Lösningsförslag: Funktionen f(x) = (x + )e x har derivata ( ) d f (x) = (x + ) e x + ( x + ) d e x = xe x + ( x + ) ( e x) = ( x x ) e x = (x ) e x. Vi ser här att f () = 0 och att f (x) < 0 för x. På intervallet [0, ] är alltså funktionen f(x) avtagande, med en terasspunkt i x =. Det största värdet på intervallet är därför f(0) = och det minsta är f() = 5e. 5. Utveckla den bestämda integralen (som ett analytiskt uttryck i a). a x 3 ln x 5
Lösningsförslag: Integralen utvecklas bäst genom partiell integration, x 3 = [x 4 /4]. a a ( d x 3 x 4 ) ln x = ln x 4 [ ] x 4 a a = 4 ln x x 4 4 [ ] x 4 a a = 4 ln x x 4 4 [ ] x 4 a a = 4 ln x x 3 4 [ ] x 4 a [ ] x 4 a = 4 ln x 6 = a4 4 ln a a4 6 + 6 d ln x x 6. Bestäm g(x) (som ett analytiskt uttryck i x) om g (x) = f(x) = x e x3 och g(0) = 0. Lösningsförslag: Vi har, genom variabel substitutionen u = x 3, fracdu = 3x att g(x) = f(x) = x e x3 = 3 eu du = 3 eu + C = 3 e x3 + C för något värde på C. Villkoret g(0) = 0 ger då 3 + C = 0 dvs Vi har alltså att C = 3. g(x) = 3 3 e x3. 7. Utveckla integralen sin x cos 4 x. Lösningsförslag: Vi gör lämpligen variabelsubstitutionen u = cos x. Då är du = sin x, så sin x = du. Vi har då att sin x cos 4 x = u 4 ( du) = u 4 du = [ 5 ] [ u5 = ] 5 cos5 x = 5 cos5 x + C, där C är en allmän konstant. 8. Bestäm y = f(x) som löser differentialekvationen och uppfyller villkoret f(0) = 0. = (x + )e y 6
Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel. = (x + )e y e y = (x + ) e y = x + x + C ( ) y = ln x + x + C Vi bestämmer C så att villkoret f(0) = 0 gäller genom att sätta x = 0 och y = 0 i den näst sista ekvation, vilket ger oss så C = e 0 =. e 0 = 0 + C, Den sökta lösningen är alltså ( ) y = ln x + x +. 9. Bestäm den allmänna lösningen (för x > 0) till differentialekvationen Lösningsförslag: Differentialekvationen + y x + y x = 3. = 3 + x y = 3 är linjär. Vi kan lösa den genom integration genom att multiplicera med en integrerande faktor e I där (för x > 0) I = = ln x + C. x Vi väljer för enkelhetens skull C = 0, och får då en integrerande faktor e ln x = ( e ln x) = x. Alltså har vi + y x = 3 ( x + ) x y = 3x x + xy = 3x d ( x y ) = 3x x y = 3x x y = x 3 + C y = x + C x Den allmänna lösningen till differentialekvationen, för x > 0, är alltså y = x + C x, 7
där C är en allmän konstant. 0. (a) [p] Bestäm den allmänna lösningen y = y(x) till differentialekvationen y + 4y + 3y = 0. (b) [p] Bestäm lösningen y = y(x) till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 3y = e 5x, y(0) = y (0) = 0. Lösningsförslag: Differentialekvationen har karakteristiskt polynom r + 4r + 3 = (r + ) med nollställen r = ±, så den allmänna lösningen till den homogena ekvationen y + 4y + 3y = 0 (*) är y = C e 3x + C e x, (a) där C och C är allmänna konstanter. För att bestämma lösningen till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 3y = e 5x, y(0) = y (0) = 0. (**) bestämmer vi först den allmänna lösningen till den inhomogena ekvationen y + 4y + 3y = e 5x, (***) som vi får genom att addera en partikulärlösning till den allmänna lösningen till den homogena ekvationen (*). Vi ansätter och har då y = y p = ae 5x y p + 4y p + 3y p = ( 5) ae 5x + 4( 5)ae 5x + 3ae 5x = 8ae 5x. Vi har då att y = y p är en partikulärlösning till (***) om a = /8, och den allmänna lösningen är då y = 8 e 5x + C e 3x + C e x. Nu är det dags att bestämma C och C så att begynnelsevillkoren i (**) blir uppfyllda. Om y = 8 e 5x + C e 3x + C e x så är y = 5 8 e 5x 3C e 3x C e x och y(0) = y 8 (0) = 0 + C + C = 0 C + C = 8 C = 4 5 8 3C C = 0 3C + C = 5 8 C = 8. Lösningen till begynnelsevärdesproblemet (**) är alltså y = 8 e 5x 4 e 3x + 8 e x. (b) 8
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.. En funktion f definieras som f(x) = π 0 cos t cos(x t) dt. Bestäm det minsta värdet av f(x) på intervallet 0 x π. Lösningsförslag: Vi utvecklar först integralen, genom att använda likheten (se formelblad) cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)). f(x) = π 0 = cos t cos(x t) dt = [ π 0 ( )] π sin(t x) + t cos(x) = 0 (cos(t x) + cos(x)) dt [ 4 sin(t x) + t cos(x) ] π 0 = 4 sin(π x) + π cos(x) + 4 sin( x) = 4 sin( x) + π cos(x) + 4 sin( x) = π cos(x). Nu ser vi kanske direkt utifrån vår bekantskap med cosinusfunktionen att minimum av f(x) på intervallet är f(π) = π, annars kan vi teckenstudera derivatan. på intervallet [0, π]. f (x) = π sin x x = 0 0 < x < π x = π π < x < π x = π sin x 0 + 0 0 f (x) 0 0 + 0 Från teckentabellen ser vi, eftersom f är kontinuerlig och deriverbar överallt, att den enda kandidaten för minsta värde är f(π) = π cos(π) = π ( ) = π. Det minsta värdet som f(x) tar i intervallet [0, π] är alltså f(π) = π/.. Beräkna e I, där I = x + x(x 9) Lösningsförslag: För att bestämma integralen behöver vi göra en partialbråksuppdelning av integranden. Vi gör ansatsen x + x(x 9) = x + x(x 3)(x + 3) = A x + B x 3 + C x + 3. Nu kan vi bestämma A, B och C på valfritt sätt, t ex via handpåläggning. 9
(a) Multiplicera med x: Med x = 0 får vi A + Bx x 3 + Cx x + 3 = x + x 9 A = 9 = 9. (b) Multiplicera med x 3: A(x 3) x + B + C(x 3) x + 3 = x + x(x + 3) Med x = 3 får vi då B = 0 8 = 5 9. (c) Multiplicera med x + 3: Med x = 3 får vi slutligen Vi har alltså att och I = ( 9 x + 5 A(x + 3) x + C(x + 3) x 3 C = 0 8 = 5 9. + C = x + x(x 3) x + x(x 9) = ( 9 x + 5 x 3 + 5 ) x + 3 x 3 + 5 ) x + 3 = [ ( ln x + 5 ln x 3 + 5 ln x + 3 ) 9 = 9 ( ln + 5 ln + 5 ln 5) ( ln + 5 ln + 5 ln 4) 9 = 9 ( 6 ln 5 ln 4 + 5 ln 5) = ln ( 6/9 4 5/9 5 5/9). ] Alltså är e I = 6/9 4 5/9 5 5/9 [4= ] = 6/9 5 5/9. (Värdet kan skrivas på flera olika sätt.) 3. Kurvorna 4x + y = och x = y avgränsar ett område i xy-planet. Skissa området och bestäm dess area (uttryckt i koordinatsystemets areaenheter). Lösningsförslag: 0
Vi beräknar var kurvorna skär varann 4x + y = 4x + x = x = y x = y x = ± 4 x = y x + 4x = 0 x = y (x, y) = ( 6, 6) eller (x, y) = (, ). Vi kan nu bestämma arean antingen genom att integrera höjden i y-led över x i intervallet [ 6, ], eller bredden i x-led över y i intervallet [ 6, ]. Gör vi det på det senare sättet blir integralen elegantast. Om vi låter x-koordinaten i högerkant betecknas med h(y) och i vänsterkant betecknas med v(y), så har vi v(y) = y och 4h(y)+y =, dvs h(y) = 3 4 y. Arean ges då av integralen 6 (h(y) v(y)) = 6 ( 3 ) 4 y y = [3y y3 ] y= y y= 6 = 3 8 4 3 ( 6) ( 6)3 + ( 6) = 6 3 + 8 + 8 8 = + 3 Arean är alltså + 3 areaenheter. Om vi istället integrerar i x-led får vi arean som ( ) 3 x 4x + 4x 6 4. Bestäm den allmänna lösningen (för x > 0) till differentialekvationen Lösningsförslag: ekvivalenta ekvationen x y = x3 e x. Differentialekvationen är linjär, om vi dividerar med x får vi den yx = xe x.
Vi kan lösa den genom integration efter multiplikation med en integrerande faktor e I, där di = x, till exempel I = x vilket ger en integrerande faktor e x. Vi har då att yx = xe x d ) (e x y = e x y = = x + C y = (x + C)e x. Den allmänna lösningen till differentialekvationen x y = x3 e x. för x > 0 är alltså y = (x + C)e x, där C är en allmän konstant. 3 september 06/SK
The exam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 7 points are required from problems 0 (Part I), among these at least 3 points from problems 8 0. Each of these 0 problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write the letter D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free (mark with a B). For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 50% ( points) in part II (problems 4). For grade 5 at least 75% (8 points) in part II are required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. An analytic expression is understood as an expression which uses the four arithmetic operations, powers, square roots, exponentials, logarithms and trigonometric functions, for example x e x3 + ln cos x x (but not integrals, for example). Numerical values kan be stated as simplified analytic expressions where factors as π and e can be included as well as numbers in figures, e.g. 7 + 5e3 sin (π/7). Part I. Problems 0 is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course (grade 3 5) at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8 0. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in tutorials during the course.. Let f(x) = ln ( π arcsin x) (a) Which is the (largest possible) domain D f of f? (We require real numbers as values.) (b) f is strictly increasing in its domain and therefore invertible. Find f (x) (as an analytic expression). (c) Which is the domain D f of f?. Let sin (πx) f(x) = x ( x ). Find the following limits, if they exist. The limit may be a number, + or. If a limit does not exist, state this and motivate why. (Hint: See cheat sheet for the limit of sin x x x 0.) (a) lim f(x) x (/) + (b) lim f(x) x 0 (c) lim f(x) x + as 3
3. The equation y 4 + xy + 5 x + = 4 defines a curve in the xy plane which includes the point (x, y) = (, ). Find the tangent slope of the curve at this point. 4. Find the greatest and the least value of the function f(x) = (x + )e x in the interval 0 x. (Include a sign stu of the derivative.) 5. Evaluate the definite integral a x 3 ln x (as an analytic expression in a). 6. Find g(x) (as an analytic expression in x) if g (x) = f(x) = x e x3 and g(0) = 0. 7. Evaluate the integral sin x cos 4 x. 8. Find a function y = f(x) which solves the differential equation and satisfies the condition f(0) = 0. = (x + )e y 9. Find the general solution (for x > 0 of the differential equation + y x = 3. 0. (a) [p] Find the general solution y = y(x) of the differential equation y + 4y + 3y = 0. (b) [p] Find the solution y = y(x) of the initial value problem y + 4y + 3y = e 5x, y(0) = y (0) = 0. 4
Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. A function f is defined as f(x) = π 0 cos t cos(x t) dt. Find the least value of f(x) in the interval 0 x π.. Find the value of e I, where I = x + x(x 9) 3. The curves 4x + y = and x = y encloses a bounded region in the xy-plane. Sketch the region and find its area (as measured in the area coordinates of the coordinate system). 4. Find the general solution (for x > 0) of the differential equation x y = x3 e x. Good luck! /SK 5