17.1 Kontinuerliga fördelningar

Relevanta dokument
SF1901: Sannolikhetslära och statistik

19.1 Funktioner av stokastiska variabler

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

f (a) sin

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Demonstration av laboration 2, SF1901

TMS136. Föreläsning 4

Föreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Antal ögon Vinst (kr) Detta leder till följande uttryck E(x) = x x p X(x) x f X(x)dx

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.

SF1911: Statistik för bioteknik

Grundläggande matematisk statistik

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

FÖRELÄSNING 4:

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

Grundläggande matematisk statistik

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x

4 Diskret stokastisk variabel

13.1 Matematisk statistik

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar

Den räta linjens ekvation

Grundläggande matematisk statistik

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Planering för Matematik kurs D

Den räta linjens ekvation

Matematiska uppgifter

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Gamla tentemensuppgifter

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler

Moment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Mer om slumpvariabler

Tentamen. Matematik 2 Kurskod HF1003. Skrivtid 8:15-12:15. Fredagen 13 mars Tentamen består av 3 sidor. Maple samt allt tryckt material

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

DATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

Funktioner. Räta linjen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Kontrollskrivning KS1T

10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim

Grundläggande matematisk statistik

de uppgifter i) Under m-filerna iv) Efter samlade i en mapp. Uppgift clear clc Sida 1 av 6

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Tentamen i Envariabelanalys 2

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

6 Derivata och grafer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Repetitionsuppgifter

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

SF1625 Envariabelanalys

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0

Transformer i sannolikhetsteori

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Transkript:

7. Kontinuerliga fördelningar En SV X är kontinuerlig om F X (x) är kontinuerlig för alla x F X (x) är deriverbar med kontinuerlig derivata för alla x utom eventuellt för ändligt många värden Som vi tidigare sagt kan fördelningsfunktionen för en SV åskådlig göras med en graf som växer kontinuerligt från till då x. Här är ett exempel.8.6-4 -2 2 4 Figur 7.: En fördelningsfunktion Exempel. lim F X(x) = x lim F X(x) = x x < f X (x) = sinx x π 2 x > π 2 Funktionen f X (x) fungerar som en sannolikhetsfördelning därför att F X (x) får vi genom sinxdx = π 2 x sin x dx = [ cosx] π 2 = ( ) = sin(t)dt = [ cost] x = cosx Håkan Strömberg KTH Syd

7.. KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR.8.6.6.8.2.4 Figur 7.2: En fördelningsfunktion Eftersom F X () = och F X ( π 2 ) = är motsvarande fördelningsfunktion F X(x) = cosx som har utseendet: Just den här SV har troligtvis inget självständigt liv, även om den uppfyller villkoren för en SV. Derivatan till fördelningsfunktionen F X (x) med avseende på x betecknas f X (x) och benäms frekvensfunktionen för den stokastiska variabeln X Dessa tre egenskaper gäller alltså och och x f X (t)dt f X (t)dt = P(a < X b) = F x (b) F x (a) = b a f X (t)dt Uttrycket P(X = x) är befängt för kontinuerliga fördelningar. Hur stor är sannolikheten att an spik har längden.453676 mm? Helt enkelt är P(X = x) =. Detta betyder förstås att det inte är någon skillnad mellan skrivsätten P(a < X b) och P(a < X < b) 5 5.5-4 -3-2 - 2 3 4 Figur 7.3: För att bestämma sannolikheten i samband med kontinuerliga SV handlar det alltid om ett intervall och den area som ligger mellan grafen och x-axeln inom detta intervall. I figur Håkan Strömberg 2 KTH Syd

?? ser vi den area, som motsvarar sannolikheten för att vi ska få ett observationsvärde x i intervallet [,2]. 5 5.5-4 -2 2 4 Figur 7.4: Den här arean är eller hur? Ja, nästan i alla fall eftersom vi troligtvis inte har ritat hela grafen. Om man bestämmer ett x så att arean till höger om x blir lika med ett givet tal α, α får man den så kallade α-kvartilen för fördelningen. Detta är samma sak som lösningen till x = x α till ekvationen F x (X) = α Detta är ett begrepp som vi kommer att används i senare i statistikteorin. 5 5.5-4 -3-2 - 2 3 4 5 5.5-4 -2 2 4 Till vänster har vi x -kvartilen och till höger x.75 -kvartilen. Rektangelfördelningen Om frekvensfunktionen är konstant i ett intervall [a,b] och för övrigt, sägs X ha en rektangelfördelning (uniform distribution). Eftersom arean under frekvensfunktionen ska vara får vi f X (x) = b a annars om a < x < b Synonymer är frekvensfunktion är sannolikhetsfunktion eller täthetsfunktion (engelska frequency function eller probability density). Håkan Strömberg 3 KTH Syd

7.. KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR om x < a x a b a x > b om a x b.5.3-2 3 4 5 6 Figur 7.5: Ett exempel Den här funktionen kommer man nära genom C-satsen s=(double) rand()/32768.; rand levererar i många system heltal i intervallet... 32768. Dividerar vi det med 32768 får vi ett tal i intervallet [,). Hur stor är sannolikheten att vi på detta sätt kommer att få ett slumptal i intervallet [3,8]? 7.. Exponentialfördelningen Frekvensfunktionen har följande utseende f X (x) = a e x a om a < x < b x < Hur ser fördelningsfunktionen ut? Vi vet nu hur vi ska få tag i den x som gäller då x. Då x < är. Eftersom arean under kurvan ska vara måste a e t a dt = e x a a e x a = Hur visar man det? Vi har ju redan F X (x) och då lim F X(x) = lim x x e x a = Håkan Strömberg 4 KTH Syd

.5.3 2 4 6 8 Figur 7.6: Kan man med hjälp av grafen fastställa a? Maple a:=statevalf[cdf,exponential[/,]](5);.393469343 b:=statevalf[cdf,exponential[/,]](7);.53446962 b-a; 99453559 Exempel 2. The exponential[alpha, a] distribution (exponential distribution) has the probability density function equal to alpha*exp(-alpha*(x-a)) if x>=a and equal to zero if x<a. Constraint: alpha is a non-negative real number. Default: a=. 7..2 Normalfördelningen Om en SV har frekvensfunktionen f X (x) = s (x m) 2 2π e 2s 2 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

7.. KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR som gäller för < x < och där s > och m är givna storheter. Detta är den kanske vanligast förekommande av alla SV och betecknas N(m,s). Här några varianter..3.3.25.2.5..5-4 -2 2 4 5 6 7 8 9 2 2 22.3.25.2.5..5.8.6.4.2 5 6 7 8 9 2 2 22 65 7 75 8 85 9 95 2 I tur och ordning är visas frekvensfunktionerna. N(, ),N(8, 5), N(8, 5), N(8, 5). Kan man ha en aning om vad s och m står för? Hur är det då med fördelningsfunktionen? Den som kan skrivas x s (t m) 2 2π e 2s 2 dt Tyvärr kan inte denna F X (x) uttryckas som en funktion med hjälp av elementära funktioner. Det går med lite högre matematik, än vi bryr oss om här, att visa att arean under kurvan är. Maple a:=statevalf[cdf,normald[8,5]](65); 586552539 b:=statevalf[cdf,normald[8,5]](95);.84344746 b-a;.6826894922 Det är N(8,5) som gäller a är P(X < 65) och b är P(X < 95). b a ger då sannolikheten P(65 < X < 95) För att bestämma b a f X (x)dx behöver de flesta en tabell. Men vi som kan integrera numeriskt klarar biffen med hjälp av Simpsons formel och ett litet C-program. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

double f(double m,double s,double x){ 2 return /(s sqrt(2 M PI)) exp( (x m) (x m)/(2 s s)); 3 } 4 5 int main(void){ 6 double x= 5.,x2=.; 7 double x,h,sum,i; 8 int nh=,s,k; 9 printf("\n"); for(x2=.;x2<=4.;x2=x2+){ sum=f(.,.,x); 2 h=(x2 x)/nh; 3 for(s=;s<nh;s++){ 4 if(s%2==) k=4; else k=2; 5 sum+=k f(.,.,x+s h); 6 } 7 sum+=f(.,.,x2); 8 sum=h sum/3; 9 printf("x=%6.3f -> %7.5f\n",x2,sum); 2 } 2 } Det här lilla programmet producerar stora delar av av det tabellverk, som många statistiker alltid måste bära med sig. Tabellen gäller för m = och s =. Vi har tidigare inte löst en generaliserad integral med hjälp av Simpson. Knepet som vi använder här, är att börja med tillräckligt stora negativa x, här 5 då f X (x) är mycket litet. Förhoppningsvis är alla tal korrekta med 4 decimaler. Problem. Använd programmet som grund för skriva en funktion i C som bestämmer sannolikheten för att ett mätvärde X ska ligga i intervallet [x,x 2 ] för givna m och s. Ett anrop p=norm(x,x2,m,s) Maple Problem 2. Den SV X har 2 + π arctanx Beräkna följande sannolikheter: P(X ), P( < X ) och P(X ). Problem 3. x < 2(x ) + x 2 3 3 x > 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

7.. KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR Låt X vara en SV med den ovan angivna funktionen som fördelningsfunktion. Beräkna P(X < 5/3),P(X > 3/2) och P(4/3 < X < 5/3). Problem 4. Den SV X har en sannolikhetsfunktion f X (x) som för x =,,2 3 antar värdena: P(X = ) = /2,P(X = ) = /4,P(X = 2) = /8,P(X = 3) = /8 a) Hur stor är sannolikheten att X antar värdet 3? b) Hur kan man inse att f X (x) = för alla x utom för de fyra ovan angivna x-värdena? c) Hur stor är P(X > ) Problem 5. En SV X kan bara anta värdena 3,4,7,8 och 9. Vidare vet man att P(X = 3) = /3,P(X = 4) = /4,P(X = 7) = /6,P(X = 8) = /6 a) Beräkna P(X = 9). b) Beräkna F X (5). c) Beräkna sannolikheten att X antar ett udda värde. d) Beräkna P(4 X 8) e) Beräkna P(X 8). Problem 6. I en ask ligger en tvåkrona och två femöringar. Man tar upp två på måfå valda av dessa mynt. Låt X beteckna sammanlagda värdet (enhet: öre) av de upptagna mynten. a) Vilka värden kan X anta? b) Ange sannolikhetsfunktionen för X. Problem 7. Ur en urna med 4 vita och 6 svarta kulor drar man upprepade gånger en kula med återläggning mellan varje dragning. Man håller på tills man för första gången får en vit kula. Låt X beteckna antalet dragningar som resulterar i svart kula (dvs antalet misslyckade dragningar) a) Ange sannolikhetsfunktionen för X b) Beräkna P(X 3) Problem 8. En urna innehåller 4 vita och 6 svarta kulor. Man drar 3 gånger en kula med återläggning mellan varje dragning. Låt X beteckna antalet vita kulor bland de dragna kulorna. a) Ange sannolikhetsfunktionen för X b) Beräkna sannolikheten att man får fler vita kulor än svarta. Problem 9. Förutsättningarna i förra uppgiften förändras så att dragningen sker utan återläggning. Utför samma beräkningar som förut. Problem. Den SV X är Poisson-fördelad och har egenskapen att P(X = ) = /2. Beräkna P(X 2) Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Problem. Ett visst försök ger ett utfall som kan beskrivas som en över intervallet [,] rektangelfördelad SV. Beräkna sannolikheten att man får ett försöksresultat sådant att den första siffran efter decimalkommat är udda. Problem 2. Ett svagt radioaktivt preparat sänder ut elementarpartiklar så att tidsavståndet (enhet: sekund) mellan två på varandra följande emissioner är exponentialfördelat med frekvensfunktionen f X (x) = e x Beräkna sannolikheten att ett sådant tidsavstånd är större än 2 minuter. Problem 3. Radiorör av en viss typ antages ha en livslängd X (enhet: timme) som har frekvensfunktionen f X (x) = e x Beräkna sannolikheten att ett sådant rör håller mer än 5 men ej mer än 5 timmar. Håkan Strömberg 9 KTH Syd