TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 9 jan 07 Tid -8 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Fredrik Bergholm, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) 5+ arctan( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 6 e d) (p) Derivera funktionen f ( ) e + cos Uppgift (p) a) Bestäm tangenten L till kurvan + y + y 9 i punkten A(,) b) Bestäm arean av triangeln OBC där O(0,0) medan B och C är skärningspunkter mellan tangenten och - respektive y-aeln + + Uppgift (p) Låt f ( ) + a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Var god vänd
Uppgift (p) i) Beräkna följande integraler 6 a) (sin + sin ) cos d b) d c) d ii) Bestäm volymen av kroppen som uppstår då området som definieras av 0, 0 y e roterar kring -aeln Uppgift 5 (p) y a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + b) Ange lösningen på eplicitform Uppgift 6 (p) Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y ( ) + y ( ) + y( ) + Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 60 ohm, kapacitansen C farad och 800 spänningen U 0 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Uppgift 8 ( p) Använd substitution z ( ) )) för att lösa följande differentialekvation y ( ) + arctan( y( )) ( + y ( )) 9 ( + y ( )) Lycka till
Lösningar: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) 5+ arctan( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 6 e d) (p) Derivera funktionen f ( ) e + cos a) D(f): 0 ( ) 0 ) ger 0 Teckentabell (eller grafen till funktionen y y 5 + arctan( ) 5 + arctan( ) y y 5 b) y 5 arctan( ) arctan( ) y 5 y 5 y 5 tan tan + tan 5 Alltså ( ) tan y 5 f y + eller ( ) tan f + 0 L' H c) lim lim 6 0 6 8 d) f ( ) e e e + cos e cos 6 cos ( sin ) e Svar: a) 0 5 b) ( ) tan f + c) /8 e cos + e sin d) f ( ) e e + cos Rättningsmall: poäng för varje del e e + cos + e cos sin Uppgift (p) a) Bestäm tangenten L till kurvan + y + y 9 i punkten A(,) b) Bestäm arean av triangeln OBC där O(0,0) medan B och C är skärningspunkter mellan tangenten och - respektive y-aeln Implicit derivering: + y + y + y y 0 Förkorta med : + y + y + y + y y 0 Härav
+ y y + y a) Tangenten: y ( ) eller y + b) Skärningar mellan tangenten och alarna: y0 ger Alltså B(,0) 0 ger y C(0,) 9 Arean av ABC Svar: a) Tangenten: y + b) Arean 9/ ae Rättningsmall: a) poäng för korrekt implicitderivering b) poäng för korrekta kärningspunkter + + Uppgift (p) Låt f ( ) + a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf a) Funktionen är definierad om 0 ( + )( + ) ( + + ) + + + + f ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + f ( ) 0 0 ( + ) 0 ( + ) Detta gör två stationära punkter och 0 Tecken av första derivatan (eller andraderivatans tes visar att punkten är mapunkt, med maimivärdet f ( ) medan 0 är en minpunkt med minimivärdet f ( 0) b) Vertikalasymptot är eftersom nämnaren är 0 medan täljaren är 0 för Polynomdivision ger f ( ) + + + Härav följer att y + är en snedasymptot c) Grafen till y + : Rättningsmall: a) totalt p: poäng för två korrekta punkter + poäng för korrekta typer ( poäng om en punkt och punktens typ är korrek b) rätt eller fel c) rätt eller fel
Uppgift (p) i) Beräkna följande integraler 6 a) (sin + sin ) cos d b) d c) d ii) Bestäm volymen av kroppen som uppstår då området som definieras av 0, 0 y e roterar kring -aeln i) 6 a) (sin + sin ) cos d subs: 7 6 t t ( t + t ) dt + + C sin t 7 cos d dt 7 sin sin + + C 7 ( ) b) Faktorisering (eller polynomdivision) ger Därför d d + C c) Ett sätt att beräkna integralen är substitutionen: sin t ( t arcsin ) d costdt + cost d sin t costdt cost costdt cos tdt dt sin t sin t cost t + + C t + + C arcsin + + C e e ii) V π e d π π 0 0 Svar: a) 7 sin sin + + C 7 b) + C c ) arcsin + + C d) π e Rättningsmall: a) poäng b) p c)p ii) p Uppgift 5 (p) y a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + b) Ange lösningen på eplicitform a) Vi separerar variabler och sedan integrerar:
y y dy + d ( y dy + ) y + d dy y + y (formelblad) arctan( ) + C (den allmänna lösningen på implicit form) y y y b) Från arctan( ) + C arctan( ) ( + C) tan( ( + C)) y tan( ( + C)) y Svar: a) arctan( ) + C b) y tan( ( + C)) Rättningsmall: a)p, rätt eller fel b) p, rätt eller fel Uppgift 6 (p) Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y ( ) + y ( ) + y( ) + i) Homogena delen: Den karakt ekv r + r + 0 ger r, r och därmed YH ce + ce ii) Ansatsen y p A + B, y p A, y 0 substitueras i y ( ) + y ( ) + y( ) + Vi får 0 + A + ( A + B) + A + A + B + Detta ger systemet A A /, B / A + B Därmed + y A B p Slutligen y yh + y p ce + ce + Svar: y ce + ce + Rättningsmall: p för homogena delen, p för korrekt y p p d Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 60 ohm, kapacitansen C farad och 800 spänningen U 0 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(
Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( q( Från kretsen får vi ekvationen L i ( + Ri( + U ( som vi deriverar och får C (notera att q ( i( ) i( L i ( + Ri ( + U ( och därmed (använd U ( 0 för U konstan C i ( + 60i ( + 800i( 0 Den karakteristiska ekv r + 60r + 800 0 ger r 0, r 0 och därmed i( c e 0t + c e 0t 0t 0t Svar: i( c e + c e (ampere) Rättningsmall: p om man kommer till ekv i ( + 60i ( + 800i( 0 p om allt är korrekt Uppgift 8 ( p) Använd substitution z ( ) )) för att lösa följande differentialekvation y ( ) + arctan( y( )) ( + y ( )) 9 ( + y ( )) Substitutionen z ( ) )) ger z ( ) y ( ) + y ( ) eller ( + y ( )) z ( ) y ( ) som vi substituerar i DE: Vi får ( + y ( )) z ( ) + z( ) ( + y ( )) 9 ( + y ( )) Ovanstående ekv förkortas med ( + y ( )) Vi får en enkel linjärt DE z ( ) + z( ) 9 Härav z Ce + Från substitutionen z ( ) )) har vi y tan(z) och därmed y tan( Ce + ) Svar: y tan( Ce + ) Rättningsmall: p om man kommer till ekv z + z 9 p om allt är korrekt