TMV206-VT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra

Relevanta dokument
MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Föreläsn. anteckn. HT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Linjär algebra på 2 45 minuter

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Mer om analytisk geometri

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Vektorgeometri för gymnasister

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

LINJÄRA AVBILDNINGAR

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =

Geometriska vektorer

Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9

Subtraktion. Räkneregler

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

16. Linjära avbildningar

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

Vektorgeometri för gymnasister

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

16. Linjära avbildningar

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Linjär algebra på några minuter

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

LYCKA TILL! kl 8 13

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Preliminärt lösningsförslag

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Linjär Algebra F14 Determinanter

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

Transkript:

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 TMV206-VT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för linjära avbildningar, speciellt kommer vi att gå genom teorin med material från olika kapitel av boken Jag skriver ner därför den här (icke finslippade) texten om bland annat, matrisalgebra, linjäravbildning, volymer och determinant 1 Linjär avbildning och matrisalgebra (Kap 2, Kap 31-33, SL LinAlg) Matematiskt är matrisalgebra och linjära avbildingar samma sak Huvudmålet av kursen linjär algebra är att lösa ekvationsystem samt att lära dess tillämpning Att studera matrisalgebra genom linjära avbildningar, dvs betrakta algebra som geometriska operationer, är ett av centrala tema i matematik; kort sagt, vill man omformulera diversa matematiska eller praktiska problem som ett geometriska problem Vi får därifrån intuition och hittar rätta verktyg! Några konkreta exempel har vi minsta-kvadrat-läsning (se Överbestämda system, Kap 56) och diagonalisering av symmetriska matris (se Kap 8) 11 Matrisalgebra (Kap 2) Betrakta ekvsys { x 1 + 2x 2 = 5 3x 1 + 4x 2 = 6 För att kunna jämföra med en ekv ax = b så introducerar vi koefficientmatrisen 1 2 A = 3 4 x1 En lösning (x 1, x 2 ) skall idenifieras som en vektor x = x 1 e 1 + x 2 e 2 =, och ekv systemet skall skrivas som Ax = b, b = Vi känner oss manade att lösa ekv:n med 5 = 5e 6 1 + 6e 2 x = A 1 b Men vi behöver först se över reglerna innan vi börjar invertera matriser 1 Vi påminner oss att addition/multiplication av tal uppfyller följande regler 1 Det sägs att några anställda i ett högteknologiskt företag ville invertera en gigantiskt stor matris med elementärvis invertering och fick nästan hela datorerna att krascha x 2

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 2 1 a + 0 = a, a0 = 0, a1 = a 2 a(cx) = c(ax) (Konstanten c är fritt fram) 3 (a + b)x = ax + bx, a(x + y) = ax + ay (Distributiviteten) Matrismultiplikation Vi behandlar 2 2-matriser - allmänna matriser är egentligen samma x1 Skriv A som två kolonnvektorer A = a 1 a 2 Låt x = Ax = a 1 a 2 x1 x 2 x 2 = x 1 a 1 + x 2 a 2 (1) som är linjär kombination av a 1, a 2 Alternativt kan vi betrakta A som två rader av radvektorer Först definierar vi multiplication av en radvektor med en kolonnvektor Låt och vi definierar Skriv A som två radvektorer rx = p q Matrisprodukten (1) är det samma som Ax = Ex 1 2 7 3 4 8 eller 1 2 7 3 4 8 r = p q x1 x 2 A = r1 = 7 = r 2 = x 1 p + x 2 q (2) r1 r 2 x = 1 + 8 3 r1 x r 2 x 2 = 4 7 1 + 8 2 = 7 3 + 8 4 23 53 23 53 Den sista är på något sätt snabbare att beräkna, medan den första är begreppsmässigt bättre Matriser som motsvarande 0, 1 blir noll-matriser 0, och identitetmatrisen 1 0 I 2 = I = 0 1 Räkneregler för matriser är exakt samma som tal, så längre man behåller ordningen under multiplikationen - bortsett från skalärmultiplikation som är fritt fram (3)

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 3 Transponant Låt r vara en radvektor r = c d Transponentet r t är kolonnvektorn r t = c d (Omvänt blir transponentet k t av en kolonnvektor k en radvektor) OBS! Matrismultiplikation av radvektor och kolonnvektor vs Inreprodukt (2 ) kan omskrivas rx = r t x Detta kommer att användas av i minst-kvadrat-lösning Transponentet A t av en m n-matrix A är denna n m-matrix vars j:te kolonnen är den j : te raden i A transponerad, dvs A t = r t 1r t 2 r t m, om A är skriven som m rader (av rad-n-vektorer) r 1 A = r 2 r m (Alternativt: A t är n stycken rad-m-vektorer om A är n stycken kolonn-m-vektorer) Vi gör några små beräkningar av matriser Ex 12 4 = 14, 5 4 4 8 12 = 5 5 10 (Se du någon samband mellan resultaten?) 4 4 4 4 1 1 1 = 5 5 5 5 (förlängning) 4 5 1/4 5/12 = I 0 3 0 1/3 2 (invertering) 12 Linjära avbildningar (Kap 31-33 SL:LinAlg Påminnas att begreppet y = f(x) är en funktion i x eller f är en avbildning från x till y använder vi för att uttrycka värdet av y är bestämt av variablen x Den enklaste klassen av funktioner är linjära fkt i en variabel x, dvs, f(x) = ax Linjära funktioner av två variabler är av form z = f(x, y) = a 1 x + a 2 y Denna kan vi betrakta som en avbildning från planet R 2 av vektorer xe 1 + ye 2 till reella linjen R Det är bra att skilja definitionsmängden R 2 av (x, y) ifrån

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 4 värdemängden R av z Även om det är en funktion f : R 2 R 2 med samma R 2 är det bra att skilja det ena R 2 från det andra R 2 (Mer viktigt är det i praktiken) Funktionerna ax eller a 1 x + a 2 y är ex på linjära skalära funktioner Vi tittar nu vektorella funktioner av flera variabler, dvs funktioner som har vektorer som värden Ex f : (x, y) (w, z), w = x + 2y, z = 3x + 4y Denna funktion kan vi skrivas mha matrismultiplikationen 1 2 u = f(v) = Av, A = 3 4 där v = xe 1 + ye 2, u = ze 1 + we 2 OBS! Allmänt, A = AI 2 = Ae 1 Ae 2 enligt definitionen för matrixmultiplikation Räknelagarna för matrisprodukt Av kan man omformuleras som egenskaper för f: f(cv) = cf(v), f(u + v) = f(u) + f(v) Sammanfattning: Varje 2 2- matris A definierar en linjär avbildning f A : R 2 R 2 Omvänt har vi följande Sats Varje linjär avbildning f : R 2 R 2 är av formen f A, f = f A, för någon 2 2-matris A som bestäms av A = f(e 1 ) f(e 2 ) Def A kallas matrisen för f Se senare ex för att se hur man bestämmer matriser för lin avb 13 Determinant Area Volym Vi kan grovt beskriva samband mellan algebraiska beräkningar som inreprodukt och korsprodukt så här Inreprodukt u v Projektionen av u på v Korsprodukt u v Area av parallellogram spant av u och v samt medurs-moturs-orienteringen av paret (u, v) (i förhållande till en fix orientering i planet) Vi kommer att introducera determinanten det(a) för en 3x3-matris som beräknar volymen på en parallellopiped och som omfattar båda inreprodukt och korsprodukt Påminn om korsprodukten: u v definieras som vektorn sådan att

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 5 (i) u v är ortogonal mot u och v, (ii) den minsta vridning (dvs mellan 0, π) med högra handen från u till v ger tummen siktad åt u v, (iii) Längden av u v är arean av parallellogramen med sidorna u och v Ex Betrakta två vektorer u 1 u = u 1 e 1 + u 2 e 2 = u 1 e 1 + u 2 e 2 + 0e 3 = u 2, v = v 1 e 1 + v 2 e 2 = v 1 e 1 + v 2 e 2 + 0e 3 = v 2 0 0 i xy-planet i xyz-rummet Korsprodukten u v är då parallell med e 3 Mer precist u v = 0 0 = (u 1 v 2 u 2 v 1 )e 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Enligt definitionen är u 1 v 2 u 2 v 1, bortsett från tecknet, arean för parallellogramen spant av u, v; den är positiv om (u, v) är moturs och negativ medurs Dvs, talet u 1 v 2 u 2 v 1 beräknar då arean med orientering relativ den given orientering på xy-planet Vi har sett en teknik i matematik där vi kan betrakta ett två-dimensionellt problem i tre-dimensioner 2 Ett fågelperspektiv Låt nu a b A = c d vara en 2 matris Def Determinanten det(a) av A definieras som det(a) = ad bc Betrakta A = u, v som två ordnade vektorer Enligt beräkningen ovan på korsprodukten (av ũ = u + 0e 3, ṽ = v + 0e 3, dvs u, v lyftades till tre i tre-dim) får följande Sats det(a) är arean Area(P ) av parallellogramen P som spänns upp av u, v, om paret (u, v) är moturs, det(a) = Area(P ); den är negativ av Area(P ) om paret är medurs, det(a) = Area(P ) Volym Vi söker nu lösningen till följande fråga Låt u, v, w vara tre vektorer Hur beräknar vi volymen av parallellopepiden P som de spänner upp? Hur avgör orienteringen av de (höger eller vänster hand, dvs ser ut som (e 1, e 2, e 3 ) eller (e 1, e 2, e 3 ))? 2 Ni vet säkert lite grann om Einsteins relativitetsteori som säger att vi lever i 4-dim iställt för 3? v 1

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 6 Först antar vi för tillfället att (u, v, w) är höger-hand-orienterad, dvs positiv orienterad Påminn Volym av en parallellopipeden V ol(p) = Basarean Höjden (4) Beteckna parallellogramen som spänns upp av u, v som B Betrakta B som basen, som sitter på ett plan B V ol(p) = Area(B) Höjden (5) Låt Enligt (i)-(iii) ovan är längden av n är arean och n är en normalvektor till B w n := u v (6) Area(B) = n (7) v u Höjden är då längden av orthgonalprojektionen, säg h, av w på normallinjen Av Kap 13, Sats 120 i textboken, vet vi h = n w n w n, Höjden = h = n 2 n (8) Bas med normal höjden Nu samlar vi upp dessa, (5)-(8) och kockar ihop, n w V ol(p) = Area(B) Höjden = n n Enligt vårt antangandet av orienteringen blir n w postiv, dvs V ol(p) = (u v) w = n w = (u v) w

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 7 Så får vi Sats Volymen av parallellopepiden P som spänns upp av u, v, w är om de är positivt orienterade, annans blir V ol(p) = (u v) w V ol(p) = (u v) w Enligt formeln för korsprodukten i koordinater får vi u 2 v 3 u 3 v 2 u v = u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 och (u v) w = (u 2 v 3 u 3 v 2 )w 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )w 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )w 3 = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Detta definierar vi som determinant för matrisen A = u v w och kan beräknas med s k Sarrus regl Def det(a) = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Satsen ovan kan omformuleras som V ol(p) = detu v w om de är positivt orienterade Anmärkning Om A är en övertriangulär matris a 11 a 12 a 13 A = 0 a 22 a 23 0 0 a 33 då är produkten av diagonalelementen det(a) = a 22 a 22 a 33

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 8 14 Små beräkningar av det(a) mha radreducering Radreducering, eller Gauss elliminering, är en metod att lös ekvsys Den kan också använda för att beräkna determinant Det är samma princip för alla kvadratiska matriser, så beskriver jag här bara för 3 3-matriser För allmänna större matriser, säg 5 5, tar det mycket tid med handberäkningen om de inte har andra specialla egenskaper Man kan använda dator förstås Observera att determianten det(a) för n n-matris A (n = 2, 3) har följande egenskaper: (1) det(a) = det(a t ) Detta medförs av definitionen Man kan då betrakta A som en kolonn av radvektorer (iställt som kolonnvektorer) om man vill (2) den byter tecken efter omkastning av två rader (eller kolonn), ty att orientering av motsvarance parallellogramen (n = 2) och parallellopepiden (n = 3) ändras, (3) om två rader är det samma så blir den noll, ty det blir en degenererad parallellogramen (dvs ett segment n = 2) med noll area och degenerad parallellopepiden (en kallapad sådan, n = 3) med noll volym (4) den är linjär i varje rad (medan andra rader är fasta) Låt n = 3 Vi fixerar den 1:a och 2:a raderna och låt 3:te raden variera Med fixerade basen är arean linjärt beroende på höjden, vilken är en orthogonalprojektione av den 3:raden på normallinjen, men denna projektionen är linjär i raden (3) och (4) tillsammans medför att radoperationen c (i:te raden) + (j:te raden) blir den nya (j:te raden) förändrar ej det(a) Så kan vi genom några radoperationer överföra A till en övertriangulär matris vars determiant är produkt av diagonalen Ex Vi utför radreducering på 1 2 3 1 2 3 A = 4 5 6 ( 4)rad1+rad2,( 7)rad1+rad3, 0 3 6 7 8 10 0 6 11 1 2 3 0 3 6 0 0 1 så får vi det(a) = 3 Fråga/Övn Kan du argumentera utan beräkning att 1 2 3 det 4 5 6 = 0? 7 8 9 15 Uppgifter med lösning ( sudoku- beräkn Ex (a) Låt f vara speglingen map linjen L: y = 2x i planet Beräkna matrisen för f (b) I rummet representerar y = 2x + 3z ett plan P Beräkna matrisen för speglingen map P i rummet

Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 9 Lsn: Linjen L: y = 2x kan skrivas som 2x + y = 0 En normal till linjen är n = v1 Speglingen för en godtycklig vektor v = är (se bilden ner) v 2 2 1 dvi Så att Svar: Matrisen är f(v) = v backad två steg längs normalen f(v) = v 2 v n n n n = f(e 1 ) = 1 15 v1 v 2 2 2v 1 + v 2 5 3, f(e 4 2 ) = 1 15 1 15 3 4 4 3 4 3 2 1 2 (b) I rummet har planet y = 2x + 3z, dvs 2x + y 3z = 0 en normal n = 1 Speglingen 3 blir det samma som i två dimension, dvs backad två steg längs normalen, f(v) = v 2 v n v 1 n n n = v 2 2 2v 2 1 + v 2 3v 3 1 14 v 3 3 Bilderna av enhetsvektorerna blir f(e 1 ) = 1 6 4, f(e 2 ) = 1 4 12, f(e 2 ) = 1 12 6 14 14 14 12 6 4 och matrisen för speglingen är 6 4 12 1/14 4 12 6 12 6 4 Fråga/Övning Kan du bevisa med geometrisk argument, utan beräkningar, att matriserna A ovan uppfyller A 2 = I, det(a) = 1 v n linjen speglingen av v map linjen