Matematisk kommunikation (FMA085 4,5hp) Läsperiod 2, HT 2014 Kurschef: Niels Chr. Overgaard (NCO), tel. 046-222 85 32, epost nco@maths.lth.se, rum MH:551B. Föreläsningar: NCO On 8 10 E:1406 läsvecka 1, 2, 3. Övningar: Kerstin Johnsson och NCO må 2/12 15 17 E:3315-3316 och tis 3/12 13 15 E:3315-3316 läsvecka 5. (Obligatoriskt kursmoment!) Kurshemsida: http://www.maths.lth.se/course/matkom/2014/ eller via Matematikcentrums hemsida. Kurskrav: Kursen som helhet innehåller tre obligatoriska moment; två inlämningsuppgifter och en populärvetenskaplig uppsats. Kompisgranskning (se nedan) och presentation av lösningar samt uppsatsseminarium och opposition på annan grupps projektarbete ingår som obligatoriska moment. Inlämningsuppgifter: Andra inlämningsuppgiften delas ut på föreläsning 1 den 7 november. Uppgiften löses i grupper om tre personer enligt utdelat schema. En första version av lösningen ska vara klar tis den 25 november och skickas till NCO som pdf-fil. Denna version presenteras muntligt på övningen antingen måndag 1 december eller tisdag 2 december enligt schema (kompisgranskningen). Varje arbetsgrupp ska opponera på en annan grupps lösning och presentation. Jag skickar pdf med aktuell uppgiftslösning till opponentgrupperna c:a en vecka i förväg. Opposition ingår som ett obligatoriskt element i kursen. Den slutgiltiga versionen lämnas in senast måndag den 8 december inlämningsfacket på femte våningen i Mattehuset. Projekt: Arbetet med projektet sker i grupper om fyra personer under LP4 våren 2015 och ska mynna ut i en populärvetenskaplig rapport om ett matematiskt ämne. Projektförslag och handledning tillhandahållas av lektorer och doktorander vid Matematikcentrum. Rapporten presenteras under ett heldagsseminarium. Dessutom ska grupperna opponera på varandras rapporter. Projektförslagen presenteras vid en föreläsning i LP3. Workshop: Redovisningen av projekten är fredagen 22 maj 2015, 8-16. Plan för föreläsningar, övningar (preliminärt): 7/11 F 1...................... Inl. 2 delas ut. Lite om analysens grunder 14/11 F 2............... Matematikens historia. Matematiska tidsskrifter 21/11 F 3...... Information om kompisgranskning och om vårens projekt 25/11..... Död linje för version 1 av lösning. Mejla som pdf till NCO 1 2/12 Ö 1............ Kompisgranskning: muntlig presentation av lösning 8/12.............................. Död linje för inlämningsuppgift 2
Gruppindelning - Inlämningsuppgift 2 Grupp Person 1 Person 2 Person 3 Problem 1 HALLABRO MARCUS HALLEFJORD HELENA LUNDIN MATILDA 2A 2 OLOFSSON CAJSA SJÖGREN FRIDA ALVIN OLLE 2A 3 SJÖGREN EMMA WAGNSTRÖM IDA WILHELMSSON PER 2A 4 JARLSKOG ESKIL SVENSSON LOVISA HOMSSI REBECA 2B 5 CEDERQUIST FILIP HOLLMANN LUDWIG JARLVIK ERIK 2B 6 RUUSKANEN JOHAN MOYA AQUEVEQUE JEAN-PAUL RIDDARSTRÖM MALIN 2B 7 JANSSON ANDREAS HOLMÉN GASTON CARLBERG MARTIN 2C 8 LÖNNQVIST BJÖRN TIGERSCHIÖLD HERMINE DUHS NELLIE 2C 9 HÖGLUND ELIN EKWALL JACOB WIDMARK OSKAR 2C 10 LEE ANTONY PALDAN HENRIK FORS JOKI MAX 2D 11 FETAHOVIC ERMIN WEMMENBORN ANTON ZHOEVSKA PETYA 2D 12 CARLSSON FILIP ANDERBERG LUDVIG HENRIKSSON THÉRÈSE 2D Grupperna med udda nummer redovisar måndagen 1 december 15-17 Grupperna med jämnt nummer redovisar tisdagen 2 december 8-10 Opponentgrupper anvisas senare Niels Chr Overgaard, 4 november 2014 2
Inlämningsuppgift 2A Problem. Bestäm alla kontinuerliga funktioner f : R R som uppfyller funktionalekvationen f (x + y) = f (x) + f (y) för alla reella tal x och y. Använd resultatet till att dessutom bestämma de funktioner g : R R som är kontinuerliga, icke identiskt lika med noll, och som uppfyller g(x + y) = g(x)g(y) för alla x, y R. Ledning. Om man inledningsvis antar att f och g är kontinuerligt deriverbara funktioner, så kan man ställa upp differentialekvationer för dessa funktioner och härleda det önskade svaret under starkare förutsättningar. Det blir med andra ord ett svagare resultat än det som anges i problemet. Hur ska man bevisa resultatet under de svagare förutsättningarna i problemet? Man kan troligtvis få någon sorts inspiration till lösningen om man läser om potensfunktioner i Kapitel 2.2 i Månsson och Nordbeck (2011) Endimensionell analys. Definitionen av kontinuitet i Kapitel 9.3 behövs också. 3
Inlämningsuppgift 2B Problem. Antag att f : [1, ) R är en kontinuerlig funktion med f (1) = 1 som uppfyller f (x) = Vis att följande gränsvärde existerar, och att A 1 + π 4. 1 x 2 + f (x) 2. A = lim x f (x), Ledning. Kan f (x) skrivas som en integral? Går det att beräkna integralen eller går det att beräkna en relaterad, enklare integral? Om man inte kan göra en exakt beräkning av f (x), hur säkerställer man då att gränsvärdet överhuvut tagit existerar? Läs gärna Kapitel R: Mer om reella tal och kontinuitet i extramaterialet till Månsson och Nordbeck (2011) Endimensionell analys. Kapiteln 12 och 13.5 kan också vara till hjälp. 4
Inlämningsuppgift 2C Problem. Antag att funktionen f : R R är n gånger kontinuerligt deriverbar, där n är ett icke-negativt heltal. Visa att om f (n) (x) > 0, för alla x R, så har f högst n stycken nollställen. Ledning. Betrakt problemet ur flera synvinklar. Undersök om påståendet är rimligt genom att kolla de enkla fallen n = 1,2 och 3. Hur ger man ett stringent bevis i fallet n = 1? Kan metoden användas i det allmänna fallet? Vilken bevismetod eller bevismetoder bör användas? Fundera gärna över om påståendet ovan kastar nytt ljus över kända egenskaper hos reella polynom, dvs. funktioner av formen f (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 där koefficienterna a 0, a 1,..., a n R. Medelvärdessatsen (se Månsson och Nordbeck (2011) Endimensionell analys, s. 230) i specialfallet då f (a) = f (b) = 0 kan vara till stor hjälp. Detta specialfall är känt som Rolles sats. 5
Inlämningsuppgift 2D Problem. Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner f : R R som uppfyller f (x) 0 då x och villkoret ) f (x)f (y) = f ( x 2 + y 2, (1) för alla x, y R. Kommentarer och ledning. Identiteten i (1) kallas en funktionalekvation för funktionen f. Vi söker alltså samtliga lösningar till den givna funktionalekvationen. Börja t.ex. med att visa att om f löser (1) så är f en jämn funktion. Man kan även visa att f uppfyller en första ordningens differentialekvation. Förslagsvis kan man fiksera värdet på y och derivera båda sidorna i funktionalekvationen som funktioner av x och sen göra samma sak med x och y i ombytta roller, och se vad som händer. Kapitel 15 i Månsson och Nordbeck (2011) Endimensionell analys kan vara till hjälp, speciellt början av 15.1. Alternativt kan man föra ett smart variabelbyte och återföra problemet ovan på dom i Problem 2A. Går det att lösa problemet om man endast kräver att f är en kontinuerlig funktion? 6