MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Cultur and Communication Dpartmnt of Applid Mathmatics Examinr: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA53 Linar Algbra Dat: 206-06-08 Writ tim: 5 hours Aid: Writing matrials, rulr This xamination consists of ight randomly ordrd problms ach of which is worth at maximum 5 points. Th maximum sum of points is thus 40. Th pass-marks 3, 4 and 5 rquir a minimum of 8, 26 and 34 points rspctivly. Th minimum points for th ECTS-marks E, D, C, B and A ar 8, 20, 26, 33 and 38 rspctivly. Solutions ar supposd to includ rigorous justifications and clar answrs. All shts with solutions must b sortd in th ordr th problms ar givn in. Espcially, avoid to writ on back pags of solution shts.. Th linar oprator F : R 3 R 3 has rlativ to th standard basis th matrix β β 3 0 0 whr β R. Find th numbrs β for which th oprator är diagonalizabl, and stat a basis of ignvctors for ach of ths β. 2. Find a basis for th linar span of th vctors (, 3, 2,, 5), (,, 0,, ), (, 5, 2, 3, 7), (, 2,,, 3) of R 5. Thn find, with rspct to th chosn basis, th coordinats of th vctor (, 2, 3, a, ) for thos a for which th vctor blongs to th linar span. 2 5 4 3 3. Can th matrics 3 2 and 2 3 by a suitabl choic of bass 2 3 5 2 4 b th matrics of th sam linar oprator F : R 3 R 3? 4. Lt th linar spac P 2, which is spannd by th ral-valud polynomial functions p 0, p and p 2 whr p k (x) = x k in th intrval [, ], b quippd with th innr product p q = p(x)q(x) dx. Find an ON-basis for th orthogonal complmnt of th subspac spannd by th functions p 0 and p. 5. Th linar transformation F : E 4 E 3 is in th standard bass dfind by F (u) = (2x + 6x 2 2x 3 + 4x 4, 3x + 2x 2 + 4x 3 x 4, x + 2x 2 4x 3 + 3x 4 ) whr u = (x, x 2, x 3, x 4 ). Find an orthonormal basis for th krnl of F. 6. Classify th two quadric surfacs { S : (x 2y + z) 2 + (y + z) 2 + (x y + 2z) 2 =, S 2 : 2xy + 2yz + 6xz + z 2 =, i.. find th gomtric maning of ach quation. Motivat! 7. Lt H dnot th vctor spac spannd by th functions h 0, h and h 2 dfinid according to h n (x) = x n x. Dfin th linar diffrntial oprator D : H H by D(h) = h. Find th matrix of D in th basis h 0, h, h 2. Also, prov that D is invrtibl and xplain th maning of D (h). 2 x 2 + x 3 = x x 2 8. Prov that th rlationships x 2 = 2x + x 3 dfins a chang-of-basis x 2 x 3 = x 2 + x 3 btwn two ordrd bass, 2, 3 and ẽ, ẽ 2, ẽ 3, whr x, x 2, x 3 and x, x 2, x 3 ar th coordinats of a vctor u with rspct to rspctivly of th bass. Also, find th coordinats of th vctor 5ẽ ẽ 2 +5ẽ 3 with rspct to th basis, 2, 3. Om du fördrar uppgiftrna formulrad på svnska, var god vänd på bladt.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA53 Linjär algbra Datum: 206-06-08 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmdl: Skrivdon, linjal Dnna tntamn bstår av åtta styckn om varannat slumpmässigt ordnad uppgiftr som vardra kan g maximalt 5 poäng. Dn maximalt möjliga poängsumman är sålds 40. För godkänd-btygn 3, 4 och 5 krävs minst 8, 26 rspktiv 34 poäng. För ECTS-btygn E, D, C, B och A krävs 8, 20, 26, 33 rspktiv 38 poäng. Lösningar förutsätts innfatta ordntliga motivringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sortrad i dn ordning som uppgiftrna är givna i. Undvik spcillt att skriva på baksidor av lösningsblad.. Dn linjära opratorn F : R 3 R 3 har i standardbasn matrisn β β 3 0 0 där β R. Bstäm d tal β för vilka opratorn är diagonalisrbar, och ang n bas av gnvktorr till F för var och n av dssa β. 2. Bstäm n bas för dt linjära höljt av vktorrna (, 3, 2,, 5), (,, 0,, ), (, 5, 2, 3, 7), (, 2,,, 3) i R 5. Bstäm sdan, md avsnd på dn valda basn, koordinatrna för vktorn (, 2, 3, a, ) för d a för vilka vktorn tillhör dt linjära höljt. 2 5 4 3 3. Kan matrisrna 3 2 och 2 3 gnom tt lämpligt val av basr 2 3 5 2 4 vara matrisrna till n och samma linjära oprator F : R 3 R 3? 4. Låt dt linjära rummt P 2, som spänns upp av d rllvärda polynomfunktionrna p 0, p och p 2 där p k (x) = x k i intrvallt [, ], vara utrustat md skalärproduktn p q = p(x)q(x) dx. Bstäm n ON-bas för dt ortogonala komplmntt till undrrummt som spänns upp av funktionrna p 0 och p. 5. Dn linjära avbildningn F : E 4 E 3 är i standardbasrna dfinirad nligt F (u) = (2x + 6x 2 2x 3 + 4x 4, 3x + 2x 2 + 4x 3 x 4, x + 2x 2 4x 3 + 3x 4 ) där u = (x, x 2, x 3, x 4 ). Bstäm n ortonormrad bas för F :s nollrum. 6. Klassificra d två andragradsytorna { S : (x 2y + z) 2 + (y + z) 2 + (x y + 2z) 2 =, S 2 : 2xy + 2yz + 6xz + z 2 =, dvs bstäm dn gomtriska innbördn av varj kvation. Motivra! 7. Låt H btckna dt linjära rum som spänns upp av funktionrna h 0, h och h 2 dfinirad nligt h n (x) = x n x. Dfinira dn linjära diffrntialopratorn D : H H gnom D(h) = h. Bstäm avbildningsmatrisn för D i basn h 0, h, h 2. Bvisa ävn att D har n invrs och förklara innbördn av D (h). 2 x 2 + x 3 = x x 2 8. Bvisa att sambandn x 2 = 2x + x 3 dfinirar tt basbyt mllan x 2 x 3 = x 2 + x 3 två ordnad basr, 2, 3 och ẽ, ẽ 2, ẽ 3, där x, x 2, x 3 och x, x 2, x 3 är koordinatrna för n vktor u md avsnd på rspktiv av basrna. Bstäm ävn koordinatrna för vktorn 5ẽ ẽ 2 + 5ẽ 3 md avsnd på basn, 2, 3. If you prfr th problms formulatd in English, plas turn th pag.
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Cultur and Communication Dpartmnt of Applid Mathmatics Examinr: Lars-Göran Larsson Examination 206-06-08. Th linar oprator is diagonalizabl iff β 0,3. A basis of ignvctors is thn 2.g. (,0, ), (,3,), ( β 3β, β,). 2. A basis for th span is.g. (,3, 2,,5), (,,0,,), (, 2,,,3). Th vctor (, 2,3, a, ) blong to th span iff a = 5. Th coordinats of th vctor in th chosn (ordrd) basis ar 6, 2, 9 3. Sinc th dtrminants of th matrics A and B ar qual, it may b th cas that th matrics rprsnts th sam linar oprator F, but it is not for sur. A final answr can only b found by solving SA = BS for S. 4. An ON-basis for th orthogonal complmnt of span{ p 0, p } is.g. 5 ( p0 3p 2 ) 2 2 5. An ON-basis for th krnl of F is.g. ( 2,,, 0), (0,,, 2 ). 6 6. S is an lliptic cylindr S is a two-shtd hyprboloid 2 6 EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA53 Linar algbra & MMA29 Linar algbra EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Acadmic yar: 205/6 Maximum points for subparts of th problms in th final xamination 3p: Corrctly found that th linar oprator is diagonalizabl iff β 0, 3 2p: Corrctly for β 0, 3 found a basis of ignvctors 2p: Corrctly found a basis for U p: Corrctly found that th fifth vctor blong to U iff a = 5 2p: Corrctly found th coordinats of th fifth vctor rlativ to th chosn basis p: Corrctly formulatd th ncssary condition for th two matrics to rprsnts th sam linar oprator but in diffrnt bass, i.. statd that A must b qual to S BS whr S is th chang-of-basis matrix from a basis whr F has th matrix B to a basis whr F has th matrix A 2p: Corrctly found that A = S BS imply that th dtrminants of A and B must b qual 2p: Corrctly concludd that th dtrminants ar qual, and thrfor that A and B may (but not for sur) b th matrics of th linar oprator F but rlativ diffrnt bass p: Corrctly formulatd th conditions for th polynomial functions to blong to th ortogonal complmnt of span{ p 0, p } 3p: Corrctly valuatd th conditions for th polynomial functions to blong to th ortogonal complmnt of span{ p 0, p } p: Corrctly normalizd p0 3p2 to bcom an ON-basis span p p for th orthogonal complmnt of { } 2p: Corrctly found a basis for th krnl of F 3p: Corrctly found an ON-basis for th krnl of F 3p: Corrctly classifid th first surfac 2p: Corrctly classifid th scond surfac 0, (2)
7. Th matrix of D in th basis of h 0, h, h2 p: Corrctly found how D maps th thr functions, i.. that 0 D ( h ) = h, 0 0 D ( h) = h0+ h, D ( h2) = 2h+ h2 is 0 2. D xists sinc th matrix 2p: Corrctly found th matrix of D in th basis h 0, h, h2 0 0 p: Corrctly found that D is invrtibl xists sinc th matrix of D is invrtibl is invrtibl. D ( h) mans th antidrivativ of h which has th valu 0 h for p: Corrctly xplaind that th maning of D ( ) h H is th antidrivativ of h without any addd at th point 0 constant, th lattr sinc D is linar, i.. D (0) = 0 8. Proof. Th coordinats of th vctor 5 2 + 53 in th basis, 2, 3 ar, 2, 3 2p: Corrctly xplaind why th rlationships dfin a chang-of-basis matrix S btwn two ordrd bass, 2, 3 and, 2, 3 ( - = S ), whr S = B A and A X = BX ar th rlationships on a matrix form with X and X as th coordinat column matrics p: Corrctly found that th coordinats of 5 2 + 53 with rspct to th basis, 2, 3 ar givn by th coordinat matrix B AX, whr X is qual to th coordinat matrix T ( 5 5) p: Corrctly found th matrix B p: Corrctly found th coordinats of 5 2 + 53 with rspct to th basis, 2, 3 2 (2)