Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 000-03-8 kl. 4-8 Lokaler: Garnisonen Ansvariga lärare: Olle Seger, Maria M Seger besöker lokalerna kl 500 och 700 tel 070/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling och följande tabeller: Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook, TEFYMA Betygsskala: 5-35 poäng betyg 3 36-46 poäng betyg 4 47-60 poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast 00033
Denna sida ska vara blank
Signalen x(t) = sin(ß 600t) samplas med frekvensen f 0. Därefter rekonstrueras den samplade signalen med ett idealt LP-filter med gränsfrekvensen f g = f 0 =. x(t) sampling Rekonstruktion y(t) fo fg=fo/ Vad blir utsignalen för f 0 = 800 Hz resp. f 0 =900Hz? (3p) Rampfiltret H(f), se bilden är oumbärligt i rekonstruktionsalgoritmen för datortomografi. Rampfiltret kan uttryckas som: H(f) =a Π(bf) c Π(df) Λ Π(ef): Bestäm konstanterna a,b,c,d och e och därefter inverstransformen h(x) =F [H(f)]. Ledning: Det gäller att F[sinc(x)] = Π(f). (5p) 3 Ett kausalt system ges av nedanstående pol-nollställesdiagram. 3
(7p) a) Ange systemfunktionen H(z). (p) b) Ange motsvarande differensekvation. (p) c) Ange systemets impulssvar h(n). (p) d) Ange systemets överföringsfunktion H(Ω). (p) e) Skissa amplitudspektrum på intervallet [0;ß] och ange vilken typ av filter detta är (LP,HP,BP,BS). Minst 3 exakta punkter ska ingå i kurvan. (p) 4 Ett tidskontinuerligt filter (Butterworth av andra ordningen) har överföringsfunktionen: H L (s) = (s + p + p j )(s + p p j ) ; alltså två poler i s =( ± j)= p. Dess överföringsfunktion fås genom att sätta s = j!, vilket ger H(!) = (j! + p + p j )(j! + p p j ) : (7p) a) Beräkna filtrets impulssvar h(t). b) Beräkna filtrets amplitudspektrum jh(!)j. c) Filtrets gränsfrekvens definieras som det! g då fi fi fi H(!g ) H(0) d) Vilken fasvridning fås för! g, dvs vad är arg H(! g )? fi fi fi = p. Bestäm! g. e) Skissa jh(!)j. Skissen ska vara exakt i minst tre punkter. Tala med ledning av skissen om vilken typ av filter jh(!)j är, dvs LP, HP, BP eller BS. 4
5 Du vill förminska en bild två gånger. Du vill att så mycket frekvensinformation som möjligt ska bevaras och att ingen vikningsdistorsion ska ske. Förminskningen kan göras först i x-led och sedan y-led. a) Vilken är, i detta fall, den ideala nedsamplingsfunktionen i x-led h(x)? Antag att samplingsavståndet är före och efter nedsamplingen. (p) b) Multiplicera h(x) med fönsterfunktionen ρ cos (ßx=); jxj < 6 g(x) = 0; annars Vilken diskret faltningskärna a D (n) motsvarar a(x) = g(x) h(x)? Svara på formen (p) a D (n) = c) Sätt Diracspikar på varje diskret sampelpunkt och beräkna faltningskärnans Fouriertransform. (p) d) Fouriertransformen av faltningskärnan är skissad i en av figurerna nedan. Vilken?.5 a).5 b) 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5.5 c).5 d) 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 (p) e) Det enklaste sättet att sampla ner en bild är att slänga varannat sampel. Förklara genom resonemang i Fourierdomänen varför detta inte är bra. (p) (8p) 5
6 Man ska utföra frekvensanalys på en ljudsignal, som innehåller frekvenser jf j < 0 khz. Man vill ha en frekvensupplösning på f = 0 Hz och man vill ha lägsta möjliga samplingsfrekvens utan att få vikningsdistorsion. (6p) a) Hur många sampelpunkter behöver man om Fouriertransformen ska beräknas med DFT resp FFT? (p) b) Hur lång tid tar det innan man har mätt upp sampelpunkterna i fallet DFT resp. FFT? (p) c) Man kan visa att en komplex FFT kräver N log N multiplikationer, där N är antalet sampelpunkter. Med reella indata kan man få ner antalet multiplikationer till N log N. (Visas inte i Svärdströms bok.) Hur många multiplikationer kräver FFTn i a)? (p) d) Studera formeln för DFT X(n) = N= X k= N= x(k)e j ß N nk ; N» n» N Antag att e j ß N nk -faktorerna kan förberäknas. Hur många multiplikationer kräver då en N-punkters DFT? Hur många multiplikationer kräver DFTn i a)? (p) 7 Ett företag vill analysera frön automatiskt för att bedöma kvaliteten. En tröskelsatt binärbild med frön ser ut ungefär så här. De långsmala fröna är de intressanta och de runda fröna är ointressanta. Nedan syns en närbild av ett långsmalt frö. 6
5 5 0 5 a) Nedan syns matchningskärnorna för fas, krympning till skelett. - 0-0 - - 0-0 - - - 0 - - (p) Rita av fröet ovan och krymp det till ett skelett. Pixlarna ska markeras med nummer på den fas de försvinner i. (p) b) Föreslå 3 3-matchningskärnor som detekterar ett fyrkonnektivt skeletts ändpunkter. Använd symbolerna,0,-(don t care). (p) c) Rita av fröet ovan och avståndskartera det i oktagonal metrik. (p) d) Formeln för för beräkning av kontinuerlig FORM-faktor lyder FORM = A 9ß( μ d) ; μ d = A Z A d(x; y) da Beräkna FORM-faktorn för fröet ovan. Använd en diskret variant av ovanstående formel. (p) e) För att beräkna fröets längd föreslås följande algoritm: detektera skelettets ändpunkter. Beräkna det euklidiska (exakta) avståndet mellan dem. Lägg till respektive resp. ändpunkters oktagonala avstånd till kanten. Vilken längd har fröet enligt denna algoritm. (p) f) Betrakta de resultat du kommit fram till i uppgift a) och c). Föreslå en metod att beräkna fröets medeltjocklek. (p) g) Betrakta de metoder du använt i uppgift a) - f). Föreslå en algoritm som räknar antalet långsmala frön i bilden. Segmentering (labeling) och någon av metoderna i a)-f) måste ingå i din algoritm. (p) 7
8 Ett ekolod sänder ner ljudsignalen h(t) = e t u(t) i vattnet. Signalen färdas ner i vattnet, reflekteras i bottnen och vänder åter upp mot båten där den tas emot av ekolodets mottagare, som g 0 (t) =e (t 0:) u(t 0:). a) Beräkna korrelationen mellan h(t) och g 0 (t), dvs hg 0 (t). (p) b) Beskriv hur du ur hg 0 (t) kan få fram tidsskillnaden mellan utsänd och mottagen signal. (p) c) Ljudhastigheten i vatten är 430 m/s. Beräkna vattendjupet. (p) En formel för korrelation: (4p) F[ab] =A B Λ 9 x[n] h[n] y[n] Bevisa följande P a) Om impulssvaret är absolutsummerbart, dvs jh(n)j < M, så är systemet stabilt. n b) Ordningen på en faltning kan kastas om, dvs h Λ x(n) =xλh(n). c) Skiftsatsen, dvs Z[x(k k 0 )] = z k 0 X(z) (9p) 8