Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012
Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2: Formalism. Sid 109-124, 128-131, 185-189 V3: Approximativa beräkningsmetoder. Sid. 135-146 V3: Sfärisk symmetri. Sid 151-160 V4 Väteatomen och störningsräkning i He. Sid. 163-173 V4: Harmonisk oscillator och Atomkärnans struktur V8: Repetition och genomgång av ex-tenta V9: Kvantmekanik tentamen LP2
Dagens föreläsning Repetition, sid 109-184 i kvantvärldens fenomen
Repetition: Kap 5 Viktiga saker från kapitel 5, Formalism Koordinatrepresentation för operatorer Schrödingerekvationen som ett egenvärdesproblem Skalärprodukt och serieutveckling för vågfunktioner Kommutatorer Obestämbarheter Postulat
Koordinatrepresentation för operatorer I kvantmekaniken finns det till varje fysikalisk storhet en operator Â. Denna operator används för att extrahera information ur en vågfunktion Ψ, t.ex. < Â >=< Ψ ÂΨ >= Ψ Â Ψd r. Läge: ˆx x Två viktiga representationer i en dimension är: Rörelsemängd: ˆp x i x Vi kan nu bilda sammansatta operatorer från dessa, t.ex. Hamiltonoperatorn Ĥ = ˆp2 x 2 2 + V (ˆx) = 2m 2m x + V (x) 2 Observera att man ofta utelämnar ˆ hattarna
Schrödingerekvationen som ett egenvärdesproblem Schrödingerekvationen kan skrivas som ett egenvärdesproblem Ĥφ n = E nφ n där E n är egenvärde (energi) och φ n en egenfunktion (vågfunktionen) till operatorn Ĥ. För en given potential kan man då beräkna spektrum (mängd av energier) och tillhörande vågfunktioner. T. ex. oändlig lådpotential (s.65-71) Energier: E n = ( πn)2, n = 1, 2, 3,.. 2ma 2 Vågfunktioner: φ n = sin(nπx/a), n = 1, 2, 3,.. 2 a
Skalärprodukt och serieutveckling för vågfunktioner En skalärprodukt är en operation som givet två element (t.ex. vektorer eller vågfunktioner) ger ett tal och dessutom uppfyller vissa regler (s. 110-111). Vi betecknar skalärprodukten mellan u och v enligt < u v >. I kvantmekaniken kan vi beräkna en skalärprodukt enligt: < u v >= u v d r. En vågfunktion Ψ kan utvecklas i en bas (t.ex. i egenfuntioner till Hamiltonoperatorn) Ψ = c nφ n. Utvecklingskoefficienterna beräknas som följande skalärprodukt c n =< φ n Ψ >= φ nψd r.
Kommutatorer En kommutator bildas av två operatorer enligt [A, B] = AB BA. Om ordningen mellan A och B inte spelar någon roll är kommutatorn noll, man säger då att A och B kommuterar. För att beräkna kommutatorer används en testfunktion f [A, B]f = A(Bf ) B(Af ) =... = Cf [A, B] = C. Kommutatorer kan även förenklas med räkneregler (s. 116). En viktig kommutator är den mellan läge och rörelsemängd (s. 116) [x, p x] =.. = i. Kommutatorer används bl.a. för tidsderivatan av ett förväntningsläge (s. 118) d dt < A >= i < [H, A] >
Obestämbarheter Mätningar av storheten A (representerat av operatorn Â) på flera identiskt preparerade system ger i allmänhet olika resultat. Vi kan dock givet vågfunktionen Ψ beräkna förväntningsvärdet <  >=< Ψ ÂΨ >. Som ett mått på den förväntade avvikelsen från väntevärdet inför vi en obestämbarhet (eller standardavvikelse) enligt  = < Â2 > <  > 2. Mellan läge och rörelsemäng gäller en obestämbarhetsrelation (s.24-25) x p /2. vilket är ett specialfall av den allmänna obestämbarhetsrelationen (s. 122-123) A B < i[a, B] > /2.
Postulat Bl.a mätning av observabel. s. 128-131 i boken. Givet en vågfunktion Ψ och observabel A med tillhörande egenvärden och egenfunktioner: Aφ A n = λ A n φ A n kan vågfunktionen utvecklas i A s bas: Ψ = c A n φ A n Sannolikheten P(λ A n ) för att erhålla värdet λ A n vid mätning ges av: P(λ A n ) = c A n 2
Repetition: Kap 6 Viktiga saker från kapitel 6, Approximativa beräkningsmetoder Variationsmetoden Första ordningens störningsteori Ändliga underrum
Variationsmetoden Den vågfunktion ψ som minimerar ett systems energi < ψ Ĥψ >= E min svarar mot lägsta egentillståndet Ĥψ = E min ψ Det följer då att alla andra vågfunktioner φ har högre energi φ Ĥφ < E >= > E min. Genom att minimera energin för en lämplig vågfuntion φ α (beror av någon parameter α) kan man finna en vågfunktion som ligger nära den exakta lösningen E min min α(e α) = min α(< φ α Ĥφα >) = minα( φ α Ĥ φαd r) I praktiken deriverar man E α m.a.p. α för att hitta ett globalt minimum.
Första ordningens störningsräkning Om man känner de exakta vågfunktionerna till ett ostört problem (t.ex. den oändliga brunnen) Ĥφ n = E nφ n, är det rimligt att en liten störning ɛv s(x) till Hamiltonoperatorn bara medför en liten ändring av vågfunktionerna d.v.s. ) Ĥ s = (Ĥ + ɛvs(x) Ĥ sφ s n = E s n φ s n och φ s n φ n En första approximation av de störda energierna En s ges av En s = φ s n Ĥ sφ s n φ n Ĥ sφ n. Skillnaden orsakad av störningen är alltså ) En s = En s E n φ n (Ĥs Ĥ φ n = φ n ɛv sφ n
Ändliga underrum Man kan ofta få bättre approximationer genom att göra en ändlig utveckling av det störda tillståndet i en bas av ostörda tillstånd. Ψ s c 1φ 1 + c 2φ 2 +... + c N φ N Den störda Hamiltonoperatorn Ĥs kan då approximativt representeras med en ändlig N N matris H s så att H sψ s = E S Ψ s kan skrivas φ φ 1 Ĥsφ1 1 Ĥsφ2 φ 1 Ĥsφ N. c 1 c 1 φ 2 Ĥsφ1 φ.. 2 Ĥsφ2 c 2........ = c 2 Es. φ N Ĥsφ1...... φ N Ĥsφ c N c N N De N st lägsta egenvärdena till matrisen H s approximerar de N lägsta egenvärdena till Ĥs och egenvektorerna ger motsvarande utvecklingskoefficienter.
Repetition: Kap 7 Viktiga saker från kapitel 7, Sfärisk symmetri Rörelsemängsmomentoperatorer Laplaceoperatorn och klotytefunktioner Den radiella Schrödingerekvationen
Rörelsemängdsmomentoperatorer För sfäriskt symmetriska problem spelar rörelsemängsmoment en viktig roll. I klassisk mekanik defineras rörelsemängsmomentvektorn av vektorprodukten L = r p. Vi har i kap. 5 sett att vi kan skriva rörelsemängdsoperatorer enligt p = (p x, p y, p z ) = i ( x, y, z ) = i. Vi definerar nu den kvantmekaniska (vektor) operatorn för rörelsemängsmoment enligt L = (Lx, L y, L z ) = (x, y, z) (p x, p y, p z ) = i r. Mellan rörelsemängsmomentets olika komponenter gäller följande kommutatorer [L x, L y ] = i L z, [L z, L x ] = i L y, [L y, L z ] = i L x. Storleken av rörelsemängsmomentet defineras av operatorn L 2 som kommuterar med alla komponenter [ L 2, L j ] = 0, j = x, y, z
Laplaceoperatorn och klotytfunktioner Laplaceoperatorn 2 ingår alltid i Hamiltonoperatorn. För sfäriska koordinater (r, θ, φ) tar den formen 2 = 1 r 2 r 2 r + 1 r 2 ( 2 θ 2 + 1 tanθ θ + 1 sin 2 θ 2 φ 2 ) Detta kan omformuleras m.h.a definitionen av rörelsemängsmomentoperatorn till 2 2 = 1 r r 2 r 1 r 2 2 L 2 Den vinkelberoende delen av en tredimensionell funktion kan beskrivas av s.k. klotytefunktioner Yl m (θ, φ). Dessa är egenfunktioner till både L 2 och L z så att L 2 Y m l L z Y m l = 2 l(l + 1)Y m l, l = 0, 1, 2,.. och = my m l, m = 0, ±1, ±2,.., ±l Det finns 2l + 1 olika m för varje l
Den radiella Schrödingerekvationen För sfäriskt symmetriska system ( V ( r) = V (r) ) kan man separera vågfunktionen i en radiellt beroende del samt klotytefunktioner φ( r) = φ(r, θ, φ) = R(r)Yl m (θ, φ). När vi sätter in vågfunktionen i den tredimensionella Schrödingerekvationen Ĥφ = Eφ med sfärisk symmetri d.v.s med (s. 157) Ĥ = 2 2M 2 + V (r) = 2 1 2M r r 2 r + 1 2Mr 2 L 2 + V (r) återstår det att lösa en endimensionell Schrödingerekvation i variabeln r för funktionen u(r) = rr(r) 2 2 u n,l 2M r 2 + 2 l(l + 1) 2Mr 2 u n,l + V (r)u n,l = E n,l u n,l Observera att u(r) och E bara beror på två kvanttal n och l (men ej av kvanttalet m). Massan betecknar vi här med M. 2
Repetition: Kap 8 Viktiga saker från kapitel 8, Väteatomen Hamilton operatorn för väte Egenskaper för lösningarna
Hamilton operatorn för väte Electron-atomkärna potential: V ( r) = V (r) = e0 2 1 r Leder till endimensionell Schrödingerekvation: 2 2 u n,l 2m e r 2 + 2 l(l + 1) 2m e r 2 u n,l e0 2 1 r u n,l = E n,l u n,l där u(r) = rr(r)
Energinivåer för väte
Vågfunktioner för väte
Repetition: Kap 9 Viktiga saker från kapitel 9, Harmoniska-oscillatorn Harmoniska-oscillator potentialen Egenskaper för lösningarna
Hamilton operatorn för oscillatorn Potential: V ( r) = V (r) = 1 2 mω2 r 2 Löses enklast i cartesiska koordinater: 2 2 ψ 2m x 2 + 1 2 mω2 x 2 ψ = Eψ
Energinivåer för oscillatorn
Vågfunktioner för oscillatorn