Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen flera) obekant tal, betecknade med en bokstav, där x är den absolut vanligaste. En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta som innebär att likheten gäller. En lösning till en ekvation kallas ibland rot. 3x+ = x+6 är en ekvation av första graden, som har lösningen x =. Att x = är en lösning visar man genom att substituera för x. Man säger att man prövar lösningen. V.L. 3 + = 8 H.L. +6 = 8 V.L. = H.L. V.L. står för vänsterledet och H.L. för högerledet. Då båda leden har samma värde, gäller likhet. x = satisfierar eller uppfyller ekvationen. Till skillnad från förstagradsekvationen ovan är detta en ekvation av andra graden. x +x 6 = 0 Normalt lär man sig en formel för att snabbt kunna lösa denna ekvation. Om ekvationen skrivs x +px+q = 0, där p och q är reella tal är lösningen x = p ± (p ) q Bland studenter kallas ofta den här formeln för PQ-formeln. Under denna kurs kommer du att lösa minst 100 andragradsekvationer, så det finns all anledning att bekanta sig med denna formel. Exempel 1. Lös ekvationen x +x 6 = 0 x +x 6 = 0 1 x = 1 ± +6 x = 1 ± 1 x = 1 ± 5 + 6 x = 1 ± 5 x 1 = 1 + 5 x = 1 5 3 Håkan Strömberg 1 KTH STH
Rötterna till ekvationen är alltså x = 3 och x =. En andragradsekvation har alltid två rötter. Men ibland är dessa rötter inte reella och kallas då imaginära. Vi ska dock inte befatta oss med imaginära rötter i denna kurs. Någon gång är båda rötterna lika. Man säger då att ekvationen har en dubbelrot. Exempel. Lös ekvationen Ekvationen har en dubbelrot. Exempel 3. Lös ekvationen x 8x+16 = 0 x 8x+16 = 0 x = ± 16 x = ± 0 x 1 = x = x +x+6 = 0 x +x+6 = 0 x = ± ( ) 6 x = ± Den här ekvationen saknar reella rötter. Anledningen till det är att inte är definierad i den matematik som tillhör den här kursen. Exempel. Lös ekvationen 3x 3x 6 = 0 Om koefficienten till x -termen inte är 1 kan man först dividera samtliga termer med denna koefficient. Här får vi då x x = 0 och nu kan vi fortsätta med PQ-formeln och få rötterna x 1 = 1 och x =. Man kan också använda den här, alternativa, formeln då ekvationen är ax + bx+c = 0 och a,b och c är reella tal. x = b± b ac a I vårt exempel får vi Exempel 5. Lös ekvationen x = ( 3)± ( 3) 3 ( 6) 3 x = 3± 9+7 6 x = 3±9 6 x 1 = 1 x = x = 81 Här behöver vi dock inga formler. x = 81 har två rötter x 1 = 9 och x = 9, som vi får genom att dra roten ur båda sidorna, upphöja båda sidorna med 1. Observera att formeln fungerar. Det är på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt. Problem 1. Lös ekvationen x x 15 = 0 Håkan Strömberg KTH STH
Svar: x 1 = 5 och x = 3 x x 15 = 0 x = 1± 1 +15 x = 1± x 1 = 5 x = 3 Problem. Lös ekvationen x +x 3 = 0 Svar: x 1 = 1+ 13 och x = 1 13 Problem 3. Lös ekvationen x +x 3 = 0 x = 1 ± (1 ) +3 1 x = 1 ± + 3 x = 1 ± 13 x 1 = 1+ 13 x = 1 13 x +3x 1 = 0 x +3x 1 = 0 x + 3 x 1 = 0 x = 3 ± x = 3 ± x = 3 ± x = 3 ± 17 16 x = 3± 17 x 1 = 3+ 17 x = 3 17 9 1 16 + 9 16 + 1 8 8 9 16 + 1 8 8 Man kan inte förvänta sig att det alltid är heltalslösningar. Det är ofta tillåtet att använda räknedosan för att få ett approximativt svar. Svar: x 1 1.30 och x 1.78 Problem. Lös ekvationen (x 3)(x+) = 0 Först den klumpiga vägen: (x 3)(x+) = 0 x +x 3x 1 = 0 x +x 1 = 0 x 1 = 3 x = Håkan Strömberg 3 KTH STH
Sista steget fixar vi med formeln: x = 1 ± (1 ) +1 1+ 1 x = 1 ± x = 1± 1+ 1 x = 1±7 x 1 = 3 x = Den mindre klumpiga vägen. Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa, insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x 3)(x + ) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0 genom att välja x = 3 eller x =, där har vi de två rötterna! Problem 5. Lös ekvationerna x x+3 = 0 x +8x 9 = 0 y 3y = 0 t +5t+ = 0 De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla. Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill säga x 1 och x är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta? Vi påstår utan att bevisa det att p = x 1 x och q = x 1 x. Efter en del träning kan man se detta ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna x x+3 = 0 x 1 = 3 x = 1 x +8x 9 = 0 x 1 = 1 x = 9 y 3y = 0 y 1 = 1 y = t +5t+ = 0 t 1 = 1 t = Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs. Kvadratkomplettering. Ett alternativt sätt att lösa andragradsekvationer är att använda sig av kvadratkomplettering. Vi vet att (x+a) x +ax+a genom första kvadreringsregeln. Om vi nu vill lösa ekvationen (x+) = 9, så är det lätt. Vi drar bara roten ur båda leden. (x+) = 9 (x+) = 9 x+ = ±3 x 1 = 1 x = 5 Men hur är det då att lösa x +x 5 = 0 utan att använda PQ-formeln? Eftersom (x+) = 9 kan utvecklas till x +x 5 = 0 är det ju samma ekvation som förstås har samma rötter. Eftersom (x+) = 9 är enkel att lösa skulle det vara bra om vi kunde skriva om x +x 5 = 0 på den formen! Vi startar med att skriva om ekvationenx +x = 5. Nu gäller det att hitta ett tal a så attx +x+a = 5+a. Vilket värde ska a ha för att vi ska kunna skriva vänstra ledet som (x+a) x +ax+a? Jo, a =. Då får vi x + x + = 5 + eller (x + ) = 9 och vi har kommit fram till den enkla formen som ovan. Håkan Strömberg KTH STH
Problem 6. Lös följande ekvationer med kvadratkomplettering a) x 1x+ = 0 b) x 6x 55 = 0 c) x +8x+15 = 0 a) b) c) x 1x+ = 0 x 1x+a = +a x 1x+9 = +9 (x 7) = 5 x 7 = ±5 x 1 = x = 1 x 6x 55 = 0 x 6x+a = 55+a x 6x+9 = 55+9 (x 3) = 6 x 3 = ±8 x 1 = 5 x = 11 x +8x+15 = 0 x +8x+a = 15+a x +8x+16 = 15+16 (x+) = 1 x+ = ±1 x 1 = 5 x = 3 Problem 7. Givet andragradsekvationen x ax+35 = 0 där x-termens koefficienten är ett okänt reellt tal a. Istället vet man att x 1 = 5. Sök a och den andra roten. Vi startar med att ta reda på a och sätter in x = 5. 5 5a+35 = 0 5+35 = a a = 60 5 a = 1 Nu har vi ekvationen x 1x+35 = 0 x = 6± 36 35 x = 6±1 x 1 = 5 x = 7 Håkan Strömberg 5 KTH STH
Svar: a = 1 och x = 7 Problem 8. Rötterna till en andragradsekvation är x 1 = och x = 1. Bestäm en ekvation med dessa rötter. (x )(x 1) = 0 Det står helt klart att om x = eller x = 1 är H.L. = V.L.. Alltså är detta en av oändligt många ekvationer som är lösning till denna uppgift. Hur är det då med 711(x )(x 1) = 0? Även den har rötterna x 1 = 1 och x =. Detta är inte lika lätt att se om man ger ekvationen ovan som 711x 1133x +9 = 0. När det är klart har du nött in konsten att lösa andragradsekvationer. Men det skadar inte med några till. En del kanske är lite klurigare... Vi börjar med några förstagradsekvationer Läxa 1. Lös ekvationen x+3 x+5 3x+7+x = 3x+5 3x Läxa. Lös ekvationen 3(x+) (3+x) (3x+) = (x 1) 3(x+3) Läxa 3. Den här uppgiften gavs i realexamen HT198. 3 (x+) 3 (5+ 3 (x ) ) x = x+ x Klarar du den här klarar du nog de flesta förstagradsekvationer som kommer att dyka upp i den här kursen. Läxa. Lös andragradsekvationen x x 3 = 0 Läxa 5. Lös andragradsekvationen x +x+ = 0 Läxa 6. Lös ekvationen (x+3)(x 5) = 0 Läxa 7. Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering a) x 1x+30 = 0 b) x 3x = 0 Håkan Strömberg 6 KTH STH
Läxa 8. Lös ekvationen 3x +5 x x = x + x+1 x+ Läxa 9. Lös ekvationen 7 x 5 + x+5 = 0 x x 5 Läxa Lösning 1. Svar: x = 10 Läxa Lösning. x+3 x+5 3x+7+x = 3x+5 3x x+15 = 5 15 5 = x x = 10 3(x+) (3+x) (3x+) = (x 1) 3(x+3) 3x+6 (1+x) (3x+) = (x ) (3x+9) 3x+6 1 x 3x = x 3x 9 x 8 = x 11 11 8 = x x 3 = 3x x = 1 Svar: x = 1 Läxa Lösning 3. Svar: x = 7 Läxa Lösning. 3 (x+) ( 3 5+ 3 (x )) x = x+ x 3x + 3 ( 3 5+ 3x ) 3 x = x+ x 3x + 3 5 3 3x 3 + 3 x+ 3 x = x 3x + 1 10 3 6x 1 + 1 x+ 1 x = x 6 3x+6 1 10 6x+1 1x 1 = x+ x 18x+7 0 6x+1 1x 1 = x+ x 1 = x+ x (x ) = 1(x+) x 176 = 1x+8 3x = x = 3 x = 7 x x 3 = 0 x = 1± 1 +3 x = 1± x 1 = 3 x = 1 Håkan Strömberg 7 KTH STH
Svar: x 1 = 3 och x = 1 Läxa Lösning 5. Ekvationen har en dubbelrot. Svar: x 1 = och x = 1 Läxa Lösning 6. x +x+ = 0 x = ± ( ) x = ± 0 x 1 = x = (x+3)(x 5) = 0 Här är det meningen att man direkt ska se att V.L. = 0 då den ena av faktorerna är = 0. Detta inträffar då x = 3 eller x = 5. Inte för något annat värde på x kan V.L. vara = 0. Svar: x 1 = 3 och x = 5 Läxa Lösning 7. a) b) x 1x+30 = 0 x 1x+a = 30+a x 1x+36 = 30+36 (x 6) = 6 x 6 = ± 6 x 1 = 6+ 6 x = 6 6 Läxa Lösning 8. x 3x = 0 x 3x+a = +a x 3x+ 9 = + 9 (x 3 ) = + 9 x 3 = ± 5 x 1 = 3 + 5 x = 3 5 1 3x +5 x x = x + x+1 x+ 3x x x x+x+x+5 1 = 0 Svar: x 1 = och x = 1 x x = 0 1 x = 1 ± + x = 1 ± 1 + 8 x = 1 ± 3 x 1 = x = 1 Håkan Strömberg 8 KTH STH
Läxa Lösning 9. När man vet att (x 5) = (x 5)(x +5) är det lämpligt att multiplicera båda led med (x 5)(x+5) (x 5)(x+5) ( 7 7(x 5)(x+5) x 5 7 x 5 + x+5 = 0 x x 5 x 5 + x+5 ) = (x 5)(x+5) ( 0 x x 5 + (x 5)(x+5) x+5 = (x 5)(x+5)(0 x) x 5 7(x+5)+(x 5) = 0 x 7x+35+x 10 = 0 x 7x+x+x = 0 35+10 10x = 15 x = 15 10 x = 3 ) Svar: x = 3 Bokstavsräkning Algebra Du står nu inför en ny kurs i matematik, där meningen är att du ska tillgodogöra dig nya teorier, som samtliga leder fram till övningar och uppgifter. Även om du förstått vad teorin ska användas till och hur den ska tillämpas, är det inte säkert att dina lösningar leder fram till ett korrekt svar. Ofta beror detta på att du inte är speciellt vältränad på att hantera de uttryck, som du satt upp på papperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklar ett algebraiskt uttryck eller löser en ekvation. Denna färdighet är inte direkt kopplad till matematik, vad avser abstraktionsförmåga och problemlösning. Därför måste det vara speciellt tråkigt och frustrerande att snubbla på tröskeln och inte lyckats visa, att man egentligen förstått vad man håller på med. Med hjälp av de lösta och väl kommenterade uppgifter som finns här, är det tänkt att du ska finslipa din förmåga att räkna med bokstäver. Det är tillåtet att tycka att detta är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kan få ut av några timmars tråkig träning. Att verkligen kunna visa att man förstått ett avsnitt i matematiken genom att lösa tillhörande uppgifter. Jämför det gärna med sport. Styrke- och konditionsträning hör inte till det det roligaste, men är nödvändiga inslag, för att nå toppen i många grenar. Det torde vara omöjligt att förvärva denna färdighet utan träning. Tidigare generationer, som bland andra dina lärare tillhör, har räknat sida upp och sida ned med denna typ av förenklingsuppgifter. Läs först igenom de regler och knep som presenteras här nedan. De utgör de kunskaper du behöver för att lösa de 30 uppgifterna. Varje uppgift går ut på att förenkla ett algebraiskt uttryck, så långt det går och det går här alltid väldigt långt. Ofta är svaret ett heltal eller en enda bokstav. Se detta som en ledtråd, som inte kan sägas gälla för uttryck i allmänhet. Lös en uppgift i taget och kontrollera sedan ditt svar i den kommenterade lösningen. Även om du lyckats få rätt svar, kan det vara idé att titta igenom lösningen. Är din lösning likadan, Håkan Strömberg 9 KTH STH
smartare eller för omständlig? Om du misslyckades i ditt första försök är det viktigt att du får med dig något från lösningen, som du kan använda i kommande uppgifter. Studera därför lösningen noga och är du ambitiös kan du försöka att lösa den igen, en annan dag. Mycket, när det gäller bokstavsräkning, är resultat av noggrannhet och god administrationsförmåga. Egenskaper man kan ha nytta av inom andra områden. Uppgifterna här anses svåra och när du känner att du behärskar dem väl, kan du känna dig trygg. Regler och knep vid bokstavsräkning I När man avlägsnar parenteserna i uttrycket (a+b) (a+b+c) (a b c) kommer termerna i en parentes, som föregås av ett minustecken att ändra tecken (a+b) (a+b+c) (a b c) a+b a b c a+b+c b II För att förenkla uttrycket 3(a b) (b a)+5(b+a) multiplicerar man in konstanten i parentesen. Denna lag kallas den distributiva lagen, a(x+y) = ax+ay. 3(a b) (b a)+5(b+a) 3a 3b b+a+5b+5a 10a III När vi stöter på ett uttryck liknande (a+b)(b c) tvingas vi ofta att multiplicera samman dessa parenteser till (a+b)(b c) ab ac+b bc Detta är inget annat än distributiva lagen i en annan skepnad, (a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d Antalet termer i de två parenteserna kan var godtyckligt stort. Om till exempel den ena parentesen innehåller 3 termer och den andra, kommer multiplikationen att ge 3 = 1 termer (innan eventuell sammanslagning). IV Speciellt stöter vi ofta på uttrycken Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln (a+b) a +b +ab (a b) a +b ab som man bör kunna använda i båda riktningar. Det vill säga det är lika viktigt att kunna se att som att snabbt kunna utveckla Det kan vara bra att känna till även x 0xy+5y (x 5y) (10a+7b) 100a +10ab+9b (a+b) 3 a 3 +3a b+3ab +b 3 (a+b) a +a 3 b+6a b +ab 3 +b Dessa formler blir mindre komplicerade då man känner till binomialkoefficienter och Pascals triangel. Håkan Strömberg 10 KTH STH
V Konjugatregeln (a b)(a + b) = a b ska kunna användas i båda riktningar. Man ska snabbt kunna se, att (x 7)(x+7) kan skrivas lika väl som att kan skrivas (x 7)(x+7) 16x 9 100a 6b 100a 6b (10a+8b)(10a 8b) VI Ser man i detta uttryck inte, att man kan bryta ut 9 i täljaren och 3 nämnaren 18x+9 6x+3 9(x+1) 3(x+1) = 3 kan man inte komma vidare. Detta är att använda distributiva lagen bakvägen. Även detta är ett exempel på att bryta ut: a(b+1)+c(b+1) a+c (b+1)(a+c) a+c b+1 VII Bryter vi ut ( 1) ur parentesen (a b) får vi ( 1)(b a). Detta är ett vanligt återkommande knep som till exempel i uppgiften a b b a (a b) ( 1)(a b)) 1 VIII Att förlänga ett bråk är samma sak som att multiplicera täljare och nämnare med samma uttryck ( 0). Dessa bråk är alla ekvivalenta: 1 (a+b) (a+b) x3 x 3 (a+b)(x+y) (a+b)(x+y) IX Addition av bråk. För att kunna skriva dessa termer på samma bråk, måste man först göra liknämnigt: 1 a + b b 1 b a + a a b b+a ab ab är den minsta gemensamma nämnaren för de två termerna. Det är inget absolut krav att man hittar den minsta gemensamma nämnaren, även om det i praktiken leder till mindre räknande. I detta exempel är (a b)(a+b) minsta gemensamma nämnaren 1 a+b + a b + 3 a b När vi skriver de tre termerna på samma bråkstreck får vi (a b)++3(a+b) (a b)(a+b) Håkan Strömberg 11 KTH STH
X Division av bråk. En regel som ofta används är: Division av två bråk är samma sak, som att multiplicera täljaren med det den inverterade nämnaren. Att invertera ett bråk är att byta plats på täljare och nämnare. Alltså a a+b a (a+b) a a+b (a+b) a a+b Vi har här ett dubbelbråk. Vi skriver om huvudbråkets täljare. Inverterar bråket i nämnaren och multiplicerar med täljaren. För dessa tre uppgifter gäller det att förenkla så långt möjligt. Problem 9. (a+5)(8a+18) (a+16)(a+3) (a+5)(8a+18) (a+16)(a+3) 1 16a +36a+0a+90 (16a +1a+6a+0) 16a +36a+0a+90 16a 1a 6a 0) 3 76a+9 76a 8 Vi inleder med att multiplicera samman de två paren av parenteser (1). Eftersom det finns ett minustecken framför det andra paret, tar vi det försiktigt och behåller först parenteserna (1). När vi sedan tar bort dem, kommer samtliga termer inuti parentesen att byta tecken (). Återstår att slå samman termer som hör ihop (3). Svar: Problem 10. (3a+8) +(a 6) (5a+7)(5a 7) (3a+8) +(a 6) (5a+7)(5a 7) 1 9a +6+8a+16a +36 8a (5a 9) 9a +6+8a+16a +36 8a 5a +9 3 100+9 19 I tur och ordning använder vi här första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln, och konjugatregeln (1). När vi slår samman de åtta termerna är det bara de konstanta som inte tar ut varandra (). Svar: 19 Håkan Strömberg 1 KTH STH
Problem 11. (3a a+1) (3a a) +a(1 3a) (3a a+1) (3a a) +a(1 3a) 1 (9a 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+1) (9a 6a 3 +a )+(a 6a ) 9a 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+1 9a +6a 3 a +a 6a 3 9a 9a 3a 3 3a 3 +6a 3 +3a +a a +3a 6a a a+a+1 1 När den första parentesen kvadreras får vi före sammanslagning 9 termer. I den andra använder vi andra kvadreringsregeln (1). För att se hur de olika typerna av termer tar ut varandra sorterar vi dem efter exponentens storlek och ser att nästan alla tar ut varandra (3) Svar: 1. Problem 1. a(b+c) d(b+c) (d a)(b+c) a(b+c) d(b+c) (a d)(b+c) 1 (b+c)(a d) (d a)(b+c) ( 1)(b+c)(a d) ( 1)(d a)(b+c) 3 (b+c)(a d) (a d)(b+c) 1 Vi inleder med att bryta ut (b+c) i täljaren (1). Täljare och nämnare är lika, så när som på (a d) i täljaren och (d a) i nämnaren (1). Om vi utför multiplikationen ( 1)(d a) övergår parentesen till (a d). Detta kan vi åstadkomma genom att förlänga bråket med ( 1) (). 1 i täljaren kan lika väl skrivas framför bråket (3). Vi kan nu förkorta båda parenteserna och kvar blir Svar: 1. Håkan Strömberg 13 KTH STH