Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x + x Gäller den regel vi lärt oss för heltalsexponenter? h(x) = x n h (x) = n x n Svaret är ja! Det betyder att g (x) = x x = x x För den som kan sina potenslagar är den avslutande omskrivningen inte konstig. Bestäm derivatan till f(x) = x Eftersom funktionen kan skrivas f(x) = x förstår vi att derivatan blir Svar: Bestäm derivatan till f (x) = x = med hjälp av derivatans definition x x f(x) = x = x Håkan Strömberg KTH Syd
Vi börjar med att ställa upp diffrenskvoten f(x + h) f(x) h = x + h x h = ( x + h x)( x + h + x) h( x + h + x) = Vi har förlängt med konjugatet. x + h x h( x + h + x) = h h( x + h + x) = x + h + x Nu är det dags att låta h 0 Svar: Derivera funktionen lim = x + h + x h 0 x f(x) = x + 4 x Vi skriver först funktionen utan rottecken Nu är det dags att derivera Svar: f (x) = x f(x) = x + x 4 + x 4 4 x + x = x = x f (x) = x + 4 4 x + 4x 4 4 Då man inte vill ha rötter i nämnaren kan man ofta förlänga bråket med lämpligt uttryck och vips finns det bara rötter i täljaren. Fixa bort roten i nämnaren Vi förlänger med och får 5 Fixa bort rottecknen i nämnaren = = = a + b a b = Håkan Strömberg KTH Syd
Nu förlänger vi med konjugatet till uttrycket i nämnaren ( a + b)( a + b) ( a b)( a + b) ( a + b)( a + b) a b 6 En tangent till funktionen f(x) = x = a + ab + b a b har k-värdet k =. I vilken punkt tangerar tangenten funktionens kurva? Vi startar med att derivera funktionen f (x) = x Genom att lösa ekvationen f (x) = får vi svaret x = = x x = Då f() = är den eftersökta punkten (, ) Svar: (, ) Studera figuren:.5 0.5 0.5.5.5 Figur : 7 Bestäm h ( ) då h(x) = x + x Vi skriver om funktionen på en form som är enklare att derivera: Nu deriverar vi h(x) = x + x h (x) = x x = x x Håkan Strömberg KTH Syd
Nu kan vi bestämma h( ) Svar: h ( ) = 0 h ( ) = = 4 8 50 00 50 = 4 8 = 0-4 - 4-50 8-00 Figur : 00 50 00 50-4 - 4-50 Figur : Här ser du två grafer. Den ena visar derivatan av den andra. Vilken är vilken? Den övre är derivata till den undre. Hur kan man se det? De punkter på funktionens kurva som har tangenter som har k = 0 innebär att f (x) för dessa punkter ska vara 0, eller hur? 9 Bestäm grafiskt (se figur 4), det vill säga ungefär, följande värden f(0) f (.) f() f ( 0.8) f(0) = 6 f (.) = 0 f() = 4 f ( 0.8) = 0 0 Åter till figur 4. I vilka punkter A, B, C är f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = 0 A : f (x) > 0 C : f (x) < 0 B : f (x) = 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Figur 4: Uppgift 9 och 0 Bestäm derivatan till f(x) = x 4 + x Beräkna a) f(0) b) f(x) = 0 c) f (0), d) f (x) = 0 till funktionen Beräkna derivatan till f(x) = x x 6 f(x) = x x 4 Vilket är störst f () eller f () då f(x) = x Håkan Strömberg 5 KTH Syd
5 I f(x) = x + x II g(x) = x III h(x) = x Figur 5: Para ihop funktionerna med rätt kurva. Vi skriver om funktionen till f(x) = x 4 + x Nu är det enkelt att derivera f (x) = 4x 5 + x Tycker man inte om negativa exponenter kan man skriva om derivatan till Enklast att beräkna är f(0) f (x) = x 4 x 5 f(0) = 0 0 6 = 6 För att bestämma f(x) = 0 måste vi lösa en ekvation, här en andragradsekvation: x x 6 = 0 x = ± + 4 4 4 x = ± 5 x = x = För att bestämma f (0) måste vi derivera f(x): f (x) = x Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Detta ger f (0) = 0 = Så över till sista delen f (x) = 0, som leder till den enkla ekvationen Svar: a) 6 b) x =, x = c) d) x = Först skriver vi om funktionen x = 0 x = Nu är det lämpligt att derivera f(x) = x x f (x) = x x = x x = x + x = x + x x = Förklara för dig själv, sista steget, att x = x x 4 Vi kan inte besvara denna fråga utan att derivera som är f (x) = x f(x) = x = x = x med eller utan hjälp av dosan ser vi att f () > f () 5 Svar: I) B, II) A, III) C Räkna bokens uppgifter: 0b, 0 b) Håkan Strömberg 7 KTH Syd
TB: Jag vet att en tangent till en kurva har samma k-värde som derivatan till kurvans funktion i den punkten. Sedan vet jag att tangenten också går genom den aktuella punkten, (, ). Så nu är det bara att sätta igång. f(x) = x + x f(x) = x + x f (x) = + x f (x) = + x f () = Tangentens k-värde är alltså k = /. Vi utgår från linjens funktion f(x) = k x + m och kan redan nu skriva den som f(x) = x + m. Återstår att bestämma m med hjälp av punkten (, ), = +m ger m =. Funktionen är nu bestämd f(x) = x + TB: Konstig uppgift. Vi har funktionen S(A) = 0 A 0.. Vi ska nu bestämma S (A) = och tolka resultatet. S(A) = 0 A 0. S (A) = 0. 0 A 0.67 S (A) = 0 då 0. 0 A 0.67 = A 0.67 = A = ( 6.6 6.6 Jag kan inte tolka det här resultatet! ) 0.67 6.7 KTH: Om vi har en ö med arean 6.7 km, så kommer antalet arter att öka med om öns area av någon anledning ökas med km. Eller bättre uttryckt: Om vi går till en ö som är km större så kan vi förvänta oss att hitta art mer på denna ö. TB: Om det inte finns någon ö över huvud taget, så finns det heller inga arter där, S(0) = 0, men då finns det väl fiskar istället. En ö på km har 0 arter. Jag förstår att antalet arter växer snabbare när man utökar en liten ö än en stor. Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Svar till: Dela bröd och pengar Luffarna åt 8/ bröd var. Luffare A gav bort 8/ = / bröd till C och luffare B gav bort 5 8/ = 7/ bröd till C. Alltså ska A ha kr och B 7 kr. De fyra korten Det ligger fyra kort, med baksidan upp, i en rad på bordet, spaderkung, spaderdam, hjärterkung och hjärterdam. I vilken ordning ligger korten om vi vet att: det ligger en kung direkt till höger om en dam det ligger en dam direkt till höger om en kung det ligger en kung direkt till höger om en kung det ligger en spader direkt till höger om en spader det ligger en spader direkt till höger om en hjärter Håkan Strömberg 9 KTH Syd