Om att rita funktioner av två variabler

Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion När man ska analysera funktioner av flera variabler (än en), har man normalt inte hjälp av grafiska hjälpmedel, som i fallet med funktioner av en variabel, där man kan rita grafen av funktionen. Ett undantag är funktioner är av två variabler, och för att förstå räkningarna i flerdim har man ofta stor hjälp av att ha undersökt funktioner av just två variabler grafiskt. Detta är vad detta kapitel ska handlar om: hur vi grafiskt kan åskådliggöra funktioner av två variabler och vad vi kan läsa av i dessa grafer. Motsvarigheten till grafen av en funktion i endim, som är en kurva i ett plan, blir en yta i rummet. Dock inte vilken sorts yta som helst, t.ex. inte enhetssfären; som vanligt får det bara finnas ett z-värde till varje par (x, y). Sådana ytor kallar vi funktionsytor. För att förstå hur man ska hitta t.ex. maximum och minimum av funktionen behöver man förstå hur sådana ytor ser. Funktionsytor En funktion av de två variablerna x och y är en regel, kalla den f, som specificerar värdet på funktionen för just dessa värden x och y. Värdet skriver vi f(x, y). Geometriskt kan dessa par x och y representeras av punkter i xy-planet, så en funktion av två variabler kan betraktas som en funktion av punkter i ett plan. Låt f vara en sådan funktion, definierad i ett öppet område Ω i xy-planet. Intuitivt är ett öppet område ett i vilket ingen punkt som ligger i området också ligger på dess rand Ω. [1] Motsvarigheten till att skissera grafen y = f(x) av en funktion av en variabel blir då att skissera ytan z = f(x, y). Att göra det är emellertid i allmänhet mycket svårare än vad det är för en funktion av en variabel man ska ju skissera en tvådimensionell mängd, som lever i tre dimensioner, på ett papper som är två-dimensionellt. Med hjälp av datorgrafik är det emellertid ofta möjligt att få någon form av uppfattning om en funktionsytas utseende. Man skapar då först ett rutnät i definitionsområdet Ω i planet, som sedan deformeras till en yta. Figuren till höger är en sådan funktionsyta. Den definieras av ekvationen z = x 3 3xy 2. Rutnätet på ytan har uppkommit genom att man indelat rektangeln {(x, y); x 2, y 1.5} i xy-planet i 20 20 likadana rektanglar och sedan räknat ut funktionens värde i punkterna på detta rutnät. Genom att sedan rita dessa punkter i rummet och förbinda dem med linjer får man en någorlunda bild av hur ytan ser ut. Dock skulle man gärna vilja kunna se den ur olika vinklar, vilket ofta kan åstadkommas om man ritar den på dator.

Om att rita funktioner av två variabler 2 (10) Andra sätt att få en uppfattning om hur en funktionsyta ser ut går ut på att man ritar s.k. nivåkurvor. En nivåkurva hörande till nivån c på en funktionsyta är alla punkter (x, y) (i xy-planet!) som är sådana att funktionen antar just värdet c i dessa punkter. Nivåkurvan definieras alltså av ekvationen f(x, y) = c. Vilken dock inte alltid måste ge en riktig kurva, ibland kan det bli en punkt och ibland ett helt område. Genom att rita ut dessa nivåkurvor för olika höjder (helst med konstant höjdskillnad) får man ett antal kurvor i xy-planet som beskriver ytan på samma sätt som en karta beskriver topografin i ett naturområde. Man kallar därför definitionsområdet Ω i planet för funktionsytans karta. Figuren med nivåkurvor kallas en nivåkurveplot (för att låna lite engelska). Exempel 1 Betrakta funktionen f(x, y) = 25 2x 2 3y 2, 2x 2 + 3y 2 25. Dess karta är området Ω = {(x, y); 2x 2 + 3y 2 25}, vars begränsningskurva utåt, som ges av ekvationen 2x 2 + 3y 2 = 25, är en ellips. Till vänster i figuren nedan har vi en nivåkurveplot av ytan z = f(x, y). Nivåkurvorna, vilka definieras genom ekvationen 25 2x 2 3y 2 = c 2x 2 + 3y 2 = 25 c, då 0 c < 25, är alla ellipser. Till höger i figuren har vi en datorritad bild av ytan i vilken vi också märkt ut de kurvor på ytan som definierar just nivåkurvorna i figuren till vänster. 5 20 15 10 Lätt märke till att alla nivåkurvor går runt en punkt, nämligen origo. Origo är nivåkurva till höjden z = 25 (som därför är ett exempel på när en nivåkurva inte är en kurva utan endast är en punkt). Som vi ser i den högra figuren beror det på att origo är ett ett (lokalt) maximum för funktionen. Den formella definitionen av ett lokalt maximum är som i endim:

Om att rita funktioner av två variabler 3 (10) Definition 1 Funktionen f (av två variabler) har ett lokalt maximum i punkten (a, b) om det finns en omgivning till punkten sådan att f(x, y) f(a, b) då (x, y) ligger i denna omgivning. På motsvarande sätt definieras ett lokalt minimum. Lokala maxima och minima kallas med ett gemensamt namn för lokala extrempunkter. Vi säger också att funktionen har ett lokalt extremvärde i en sådan punkt. Anmärkning Att en punkt (a, b) har en omgivning i vilken ett visst villkor är uppfyllt betyder att det finns en cirkelskiva med centrum i (a, b) och positiv radie sådan att villkoret är uppfyllt i denna. Det är vad man kallar ett lokalt villkor; det räcker med att det finns en väldigt liten sådan cirkelskiva. En lokal extrempunkt kan identifieras i en nivåkurveplot av en funktion i det att den utgör centrum för enkla [2], slutna, kurvor som ligger i varandra. Vi tar ett lite mer komplicerat exempel. Exempel 2 Till vänster i figuren nedan är en datorritad nivåkurveplot för funktionen f(x, y) = (x 2 + 3y 2 )e 1 x2 y 2, 2 < x < 2, 2.5 < y < 2.5. Vi ser tre punkter som förefaller vara centrum för just enkla slutna kurvor, nämligen punkterna (0, 1), (0, 1), som båda är röda, och (0, 0), som är blå. Av de numeriska värdena på nivåerna att döma är (0, 0) ett lokalt minimum och de andra två lokala maxima. Att så är fallet framgår tydligt för de senare och antyds för origo i den tredimensionella figuren till höger. 1 2.3 2.7 2 1.7 1.3 1 2.3 2.7 2 1.7 1.3 I nivåkurvegrafen i detta exempel ser vi också två ytterligare punkter som ser lite speciella ur, nämligen de gröna punkterna (1, 0) och ( 1, 0). Vi ska nu se vad som är speciellt med dem.

Om att rita funktioner av två variabler 4 (10) Exempel 3 Betrakta funktionen f(x, y) = x 2 y 2 nära origo. Nivåkurvegraf och funktionsyta för denna är ritad nedan. Den här gången har vi valt att använda ett annat sätt att ange nivåerna än med höjdnoteringar: vi använder en värmeskala, där färgen talar om hur varmt det är i olika punkter, och temperatur svarar mot höjd i tidigare figurer. I princip behöver man i så fall inte nivåkurvorna som sådana, värmen förmedlar värdet, men nivåkurvornas exakta utseende ger liter mer detaljerad information än enbart färgerna. +1.0 +0.5 0.0 0.5 1.0 Betrakta nu hur funktionsytan ser ut längs de två koordinataxlarna i kartan. På x-axeln har vi f(x, 0) = x 2, så har f ett lokalt minimum i origo, medan vi på y-axeln har f(0, y) = y 2, som har ett lokalt maximum i origo. Om vi istället går längs kurvorna y = ±x ser vi att vi hela tiden befinner oss på höjden noll. Vi ser att ytan har vissa likheter med en ridsadel: man sitter i riktning av x-axeln, med sadeln resande sig såväl framför som bakom en. Benen hänger ut i den vinkelräta riktningen av y-axeln. Ytan kallas en sadelyta. De gröna punkterna i Exempel 2 är punkter i vars omedelbara omgivning ytan ser ungefär ut som en sadelyta. Sådana punkter kallas sadelpunkter. Runt en sådan punkt finns två nivåkurvor som skär varandra just i punkten, så att den närmsta omgivningen delas in i fyra sektorer, där två går uppåt och två nedåt. Det finns andra sorters sadelytor än de som illustreras i föregående figur. Den första ytan i detta kapitel är av den typen. Den kallas en apsadel, därför att det inte bara finns plats för benen på sidorna, men också för en svans baktill. Till höger har vi ytterligare en sorts sadelyta, en hundsadel, i vilken det finns plats för fyra hängande ben. Den ges av ekvationen z = 4x 3 y 4xy 3. Det finns ytterligare, liknande, sadelpunkter som man får genom att i högerledet ta polynom av x och y som är homogena, d.v.s. har samma gradtal i alla termer.

Om att rita funktioner av tva variabler 5 (10) Kurvor pa en funktionsyta och tangentplan Betrakt nu landskapet fra n Exempel 2 ovan och antag att man har lagt ut en joggingbana i terra ngen. Pa kartan ser den ut som den ro da kurvan i figuren till va nster nedan. I verkligheten a r den en kurva i rummet, som hela tiden ligger pa ytan ifra ga. En sa dan kurva kan alltid beskrivas genom att vi beskriver den i kartan. Om na mligen z = f (x, y) a r ytan och (x(t), y(t)) definierar kurvan i kartan, sa har kurvan i rummet parametriseringen (x(t), y(t), f (x(t), y(t)). Rymdkurvan, alltsa sja lva joggingbanan, syns i den ho gra figuren nedan. 0.2 0.1 0.6 0.6 0.5 0.8 0.2 1 1.1 0.1 0.9 1 0.50.8 1.1 0.9 0.4 0.1 0.4 0.2 Hur ser man fra n denna niva kurveplott var joggingbanan ligger som ho gst? En stunds eftertanke visar att det ma ste vara i en punkt da r joggingkurvan tangerar en niva kurva; om den na mligen ska r den kan man alltid komma lite ho gre. Genom att sedan fo lja banan pa kartan och ja mfo ra med niva kurvorna fa r man en ganska bra bild av topografin fo r joggingkurvan. Genom en (inre) punkt pa en funktionsyta ga r uppenbarligen ma nga olika kurvor. Varje sa dan kurva pa ytan svarar i sin tur mot en kurva i planet som ga r igenom motsvarande punkt i kartan. Varje C 1 kurva genom punkten pa ytan har en tangent i punkten ifra ga. Om kurvan a r parametriserad blir denna en vektor, som beskriver med vilken hastighet vi genomlo per kurvan i just den punkten. Men denna hastighetsvektor definierar tillsammans med punkten en linje i rummet, som tangerar kurvan i punkten. Olika C 1 kurvor definierar olika tangentlinjer, och tillsammans utgo r dessa ett plan i rummet. Detta plan kallas tangentplanet till ytan i punkten. Det som lokala extrempunkter och sadelpunkter har gemensamt a r att tangentplanet i en sa dan punkt a r horisontellt. Na r vi letar lokala extrempunkter ska vi da rfo r leta efter punkter da r tangentplanen a r just horisontella, vilket vi, liksom i endimen, kan go ra

Om att rita funktioner av två variabler 6 (10) med hjälp av derivator. En sådan punkt kallas en stationär punkt, och i flerdim kan en stationär punkt se ut på ett antal olika sätt eftersom vi har fler riktningar att röra oss i. Detta att det finns många riktningar ut från en punkt i flerdim, men bara två i endim, är den egentliga skillnaden mellan endim och flerdim. Rotationsytor Vi ska här diskutera en speciellt sorts ytor, vilka uppkommer genom att vi roterar grafen av en funktion ett varv runt en axel. Den yta som kurvan sveper över kallas en rotationsyta. Mer precist, betrakta först grafen z = f(x) av en funktion definierad för x 0. Notera att vi ritar den i xz-planet. Om vi roterar grafen runt z-axeln kommer vi att generera en funktionsyta vars nivåkurvor är cirklar x 2 + y 2 = r 2. Motsvarande höjd är då f(r), så vi kan också skriva ytan på formen z = f( x 2 + y 2 ). 0.6 0.5 z = f(x) 0.4 z 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 x Exempel 4 I figuren ovan har vi till vänster ritat grafen till funktionen f(x) = x 2 e x2 /2 för 0 x 4. När vi roterar den runt den vertikala axeln uppkommer rotationsytan som är ritad till höger, med den ursprungliga grafen z = f(x) inritad. Ekvationen för den ytan ges enligt diskussionen ovan av z = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2 )/2, x 2 + y 2 16. Det betyder att om vi ska skissera ytan z = (x 2 +y 2 )e (x2 +y 2 )/2, x 2 +y 2 16, så ska vi notera att högerledet är en funktion av r = x 2 + y 2, nämligen f(r) = r 2 e r2 /2. Då vet vi att ytan har uppkommit genom att vi roterat en lämplig del av dess graf runt den vertikala axlen. I det här fallet 0 r 4. Vi avslutar med ett exempel på resonemanget i den andra delen av exemplet ovan.

Om att rita funktioner av två variabler 7 (10) Exempel 5 Vi ska beskriva området som definieras av x2 + y 2 z 1 x 2 y 2. Enligt diskussionen ovan fås det området genom att vi roterar området r z 1 r 2, r 0, runt z-axeln, vilket illustreras i figuren nedan. Vi ser en figur som påminner lite om en glasstrut med glass i. z 1 0.9 0.8 0.6 0.5 0.4 0.2 0.1 0 0 x Några andra rotationsytor Alla rotationsytor kan inte beskrivas som funktionsytor. Vi kan ju ta en kurva i högra halvan av rz-planet och rotera den runt z-axeln och få en yta som har z-axeln som rotationsaxel. Ett välkänt exempel är en sfär. Enhetssfären består av alla punkter i rummet som ligger på avståndet ett ifrån origo. Enligt Pytagoras sats innebär det att vi kan beskriva den som alla (x, y, z) som uppfyller ekvationen x 2 + y 2 + z 2 = 1. Det är ytans beskrivning på ekvationsform. Men det är inte enda sättet att beskriva den på. Vi kan också parametrisera den. En parametrisering som vi är vana vid är den som vi använder för att ange punkter på jordklotet. För att beskriva den, låt oss först lägga z-axeln som rotationsaxel. Den skär då sfären i två punkter, vilka vi kallar nordpolen och sydpolen. En meridian är en cirkel på sfären som går igenom

Om att rita funktioner av två variabler 8 (10) både nordpolen och sydpolen, medan ekvatorn är den cirkel som ligger i det plan som ligger mitt emellan polerna och vinkelrätt mot rotationsaxeln; vi kallar det ekvatorialplanet. Om vi räknar höjd längs rotationsaxeln (z-axeln), så har vi också nivåkurvor som skär meridianerna vinkelrätt. Varje punkt, utom nord- och sydpolen, ligger nu på skärningen av precis en nivåkurva och en meridian. För att ange en punkt på sfären ska vi därför ange vilken meridian och vilken nivåkurva den ligger på. För att beskriva dessa kurvor kan man använda vinklar. T.ex. kan nivåkurvan beskrivas med hjälp av vinkeln θ mellan vektor OP och ekvatorialplanet. Vad gäller meridianen måste vi dock gå ett steg längre: en meridian skär en nivåkurva i två punkter. Vi inför därför longituderna, som är halvcirklarna från nord- till sydpolen. Då blir varje punkt (utom nord- och sydpol) entydigt bestämd av vilken longitud och nivåkurva (som kallas latitud på jordytan) som de ligger på. För att bestämma en vinkel som beskriver longituderna måste vi först defiera var den är noll (vilket är Greenwichmeridianen på jordklotet) och hur den ska roteras (vilket vi tar som moturs, sett från nordpolen). Vinkeln φ definieras så att den är noll i riktning av positiva x-axeln. Om vi vill använda dessa vinklar för att ange en punkt (x, y, z) på sfären, så ser vi att z = sin θ. Projektionen av punkten på ekvatorialplanet ger oss en punkt som ligger på avståndet cos θ från sfärens medelpunkt, och dess exakta läge bestäms av vinkeln φ : (x, y) = cos θ(cos φ, sin φ). Det betyder att vi kan beskriva alla punkter på sfären genom avbildningen ψ(θ, φ) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ), π 2 θ π 2, 0 φ 2π. Nästan alla punkter beskrivs då av precis ett par (θ, φ), ett undantag är Greenwichmeridianen där vi både kan ta φ = 0 och φ = 2π. Och vad gäller nord- och sydpolen kan vi ta vilka φ vi vill de bestäms entydigt av att θ = π/2 respektive θ = π/2. Anmärkning Inom matematiken har man valt att modifiera denna parametrisering lite. Istället för att använda vinkeln θ, använder vi π/2 θ som parameter. Den är alltså vinkeln mellan vektorn OP och positiva z-axeln, och varierar mellan θ = 0 (nordpolen) och θ = π (sydpolen). Med den vinkeln som parameter θ har vi den alternativa parametriseringen ψ(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), 0 θ π, 0 φ 2π. I exemplet ser vi att vi har två ytterligare metoder att definiera ytor i rummet. Dels på ekvationsform, d.v.s. som de trippletter (x, y, z) som löser en viss funktion f(x, y, z) = 0, dels på parameterforem, vilket betyder att vi definierar en funktion ψ : K R 3 där K R 2. Vi ska inte här närmare diskutera villkor på funktionerna f respektive ψ för att detta ska bli vettiga ytor [3], utan nöjer oss med att ta ett annat exempel.

Om att rita funktioner av två variabler 9 (10) Exempel 6 Betrakta cirkeln med radien a som ligger på r-axlen på avståndet (till medelpunkten) b från origo, där vi antar att b > a. Om vi roterar den cirkeln runt z-axeln, vilken figure får vi då? (Gissningsvis inser du att det blir något som liknar en badring.) Vi ska härleda både en ekvation och en parametrisering för den ytan. Ekvationen för cirkeln i rz-planet ges av (r b) 2 + z 2 = a 2. När vi har roterat så betyder det att en punkt (x, y, z) ligger på ytan om ( x 2 + y 2 b) 2 + z 2 a 2 = 0. z Detta blir därför en form av ytans beskrivning som en ekvation. Det lämnas som övning till läsaren att skriva om den som en ekvation som inte innehåller något rottecken. a θ b P r För att ange en parametrisering inför vi två vinklar. Den ena, θ, anges i figuren till höger. den andra, φ är samma som för enhetscirkeln, alltså vinkeln i xy-planet som är noll i riktning av positiv x-axel och vrids moturs sett från spetsen av z-axeln. Då ser vi att z = a sin θ och r = b + a cos θ. Eftersom vidare (x, y) = (b + a cos θ)(cos φ, sin φ), så ser vi att en parametrisering ges av funktionen ψ(θ, φ) = ((b + a cos θ) cos φ, (b + a cos θ) sin φ, a sin θ), men den här gången ska vi låta båda vinklarna gå hela varvet: 0 θ, φ 2π. Den så uppkomna ytan kallas en torus. Slutligen: vad gäller för kurvor i rummet? Hur kan vi beskriva dem. Ett sätt är naturligtvis att parametrisera, d.v.s. ange en funktion c : [a, b] R 3 vars värdemängd utgörs av kurvan. Men kurvor kan också uppkomma som skärning mellan två ytor, såsom illustreras i figuren nedan, som beskriver skärningen mellan en cylinder och en sfär. Mer precist, skärningen mellan sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4 och cylindern som definieras av ekvationen

Om att rita funktioner av två variabler 10 (10) (x 1) 2 + y 2 = 1 [4]. Den röda kurvan definieras därför av ekvationssystemet { x 2 + y 2 + z 2 = 4 (x 1) 2 + y 2 = 1. Denna kurva kan också beskrivas av parametriseringen Denna kurva kallas Viviani s kurva. c(t) = (1 + cos(t), sin(t), 2 sin t ), 2π t 2π. 2 Noteringar 1. Strikt matematiskt innebär det att man kring varje punkt i Ω kan slå en liten cirkelskiva som också kommer att ligga helt i Ω. 2. D.v.s. skär inte över sig själv. 3. Se kapitlet Om mångfalder, abstrakta och som delmänger av olika rum för en diskussion kring detta. 4. Notera att denna ekvation inte innehåller något z. Ekvationen beskriver endast en cirkel i xy-planet med radien 1 och medelpunkt i (1, 0). Det finns alltså inget villkor på z, vilket betyder att den yta som ekvationen definierar består av en massa sådana cirklar på olika höjder (alla nivåkurvor är samma kurva).