Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära (sfäriska) koordinaterna för punkterna A, B och. ( p) (b) Bestäm en parametrisering i x,y,zkoordinater av kvartscirkelbågen γ i yz-planet med medelpunkt i origo. ( p) (c) Bestäm en tangentvektor till kurvan γ i punkten. ( p) x A z B γ y Lösningsförslag. Rymdpolära koordinater är (R, φ, θ), där R är vektorns längd, φ är vinkeln mot z-axeln, och θ vinkeln i xy-planet för projektionen (longitud). (a) A: (R, φ, θ) = (4, π/, ). B : (R, φ, θ) = ( 5, π/, π/4) : (R, φ, θ) = ( 8, π/4, π/) (b) irkeln har radie 8 och vi använder polära koordinater i yz-planet för att beskriva den. Eftersom x = på cirkeln blir parametriseringen (x, y, z) = (, 8 cos t, 8 sin t), där t π/. (c) Derivering av parametriseringen ger att ( ẋ(π/4), ẏ(π/4), ż(π/4) ) = (, 8/, 8/ ) = (, 3, 3). Svar. (a) A: (R, φ, θ) = (4, π/, ). B : (R, φ, θ) = ( 5, π/, π/4) och : (R, φ, θ) = ( 8, π/4, π/). (b) (x, y, z) = (, 8 cos t, 8 sin t), där t π/. (c) (, 3, 3) är en tangentvektor till γ i.
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5. En liten kula placeras på ovansidan av funktionsytan z = 3 x + 4 y i punkten (3,, 4) och börjar sedan rulla på grund av tyngdkraften som verkar nedåt i negativa z-axelns riktning. (a) Åt vilket håll börjar den rulla om vi bortser från z-riktningen? (3 p) (b) Hur brant är det där kulan släpps? ( p) Lösningsförslag. (a) Låt f(x, y) = 3 x + 4 y och beräkna gradienten: f = ( x, y). I punkten (x, y) = 3 (3, ) blir gradienten f(3, ) = (, ). Gradienten pekar pekar motsatt mot starkaste avtagandet så i xy-planet kommer kulan att rulla i samma riktning som f(3, ) = (, ). En normaliserad riktningsvektor i xy-planet blir 5 (, ). (b) Riktningsderivatan i gradientents rikning talar om hur stor lutningen maximalt är. I det här fallet är gradientens belopp + = 5. Svar. (a) Riktningen blir i xy-planet 5 (, ). (b) Lutningen är 5.
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 3. Arean av området som innesluts av en sluten, enkel kurva kan enligt Greens formel beräknas med hjälp av en kurvintegral, x dy eller y dx. (a) Vilken orientering ska kurvan ha för att den första av integralerna ska ge arean med positivt tecken? (Glöm inte att motivera sva- y ret.) ( p) (b) Använd någon av de två integralerna för att beräkna arean innanför kurvan som parametriseras av r(t) = (sin t, sin t), där t π. (3 p) x Lösningsförslag. (a) Enligt Greens formel P dx + Qdy = D (Q x P y)dxdy blir x dy lika med arean, förutsatt att är i positiv led. Detta beror på att med P = och Q = x blir Q x P y = = och integralen av över området D innanför ger områdets area. (b) Kurvan är orienterad i positiv led, så vi använder den första integralen för att uttrycka arean. Då blir π π [ ] π x dy = sin(t) cos tdt = sin t cos tdt = cos3 t = 4 3 3 vilket alltså uttrycker arean innanför kurvan. Svar. Arean är 4/3. 3
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL B 4. Bestäm det största och minsta värdet av f(x, y) = x xy + y i området D som definieras av x, y, (x + )(y + ) 6. y x Området D (4 p) Lösningsförslag. Funktionen f är kontinuerligt deriverbar och området D är kompakt. Därför antas största och minsta värde i någon av följande punkter (a) inre kritiska punkter, (b) max- och minpunkter längs randen, (c) hörnpunkterna. Vi får att (a) Gradienten är f(x, y) = ( y, x) som är lika med nollvektorn precis då (x, y) = (, ). Alltså är (, ) den enda kritiska punkten och där har vi f(, ) =. (b) Vi har tre delar av randen. Vi börjar med att undersöka randkurvan (x+)(y+) = 6 med hjälp av Lagranges metod. Då kan vi bilda hjälpfunktionen F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = x xy + y + λ((x + )(y + ) 6) där g uttrycker bivillkoret. Stationära punktvillkoret på randkurvan ges av att gradienten av F är noll med avseende på alla tre variablerna: F (x, y, λ) = ( y + λ(y + ), x + λ(x + ), (x + )(y + ) 6) och vi får ekvationssystemet y + λ(y + ) =, x + λ(x + ) =, (x + )(y + ) 6 =. Eftersom x + och y + får vi som ger λ = y y + = x x + (x + )(y ) = (x )(y + ) xy + y x = xy + x y x = y 4
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 När vi sätter in detta i den sista ekvationen får vi (x+) = 6, vilket ger x = ±4. Eftersom x finns bara lösningen x = y = 3 i det givna området och värdet på funktionen blir där f(3, 3) = 3. Alternativt kan vi välja att parametrisera randen genom x = 4e t och y = 4e t vilket ger funktionen h(t) = f(4e t, 4e t ) = 4e t (4e t )(4e t ) + 4e t = 4e t 6 + 4e t + 4e t + 4e t = 8(e t + e t ) 9. Vi letar sedan efter kritiska punkter till denna och får h (t) = 8(e t e t ) som är noll bara när t =. Därmed leds vi till x = 4 = 3 och y = 4 = 3 som förut. Detta är ett minimum längs randkurvan och maximum ges vid ändpunkterna. Det återstår randpunkterna längs med axlarna. Längs x-axeln har vi f(x, ) = x och här gäller att x 5. Maximum där blir 5 och minimum. På samma sätt är det för y-axeln: f(, y) = y där y 5 med maximum 5 och minimum. (c) Hörnpunkterna är (, ), (5, ) och (, 5) där funktionens värden är, 5 respektive 5. Våra kandidatpunkter är: den inre stationära punkten (, ), punkten (3, 3) längs med den krökta randkurvan, samt punkterna längs med de linjära randsegmenten, där extremvärdena antas i ändpunkterna (, ), (5, ), samt (, 5). Vi jämför nu värdena i dessa punkter och finner att f(, ) =, f(3, 3) = 3, f(, ) =, f(5, ) = 5 och f(, 5) = 5. Därför är minsta värde 3 och största värde 5. Svar. Minsta värde är 3 och största värde 5. 5
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 5. Använd variabelbytet u = x + y, v = y x för att beräkna integralen x (y x) x + y dy dx Lösningsförslag. Vid variabelbytet är Jacobianen [ ] (u, v) (x, y) = det = ( ) = 3 (4 p) så att dxdy = dudv. Integrationsgränserna bildar en triangel med villkoren x, 3 y, och x + y. Hörnen i denna triangel är (, ), (, ) och (, ). För att se hur gränserna blir i de nya variablerna kan vi se hur hörnpunkterna avbildas i och med att det är en linjär avbildning. Vi har att (x, y) = (, ) ger (u, v) = (, ), (x, y) = (, ) ger (u, v) = (+, ) = (, ) och (x, y) = (, ) ger (u, v) = (+, ) = (, ). Denna triangel ges av olikheterna u och u v u. y v u x Integralen blir således lika med u v dv du [ v 3 u = 3 9 u FIGUR. De två områdena ] u u u du = u 3 [ u 9/ u du = 9/ ] = 9. Svar. Integralens värde är /9. 6
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 6. Låt F vara vektorfältet i rummet som ges av ( F(x, y, z) = e y z, e x z, e x y ). Låt S vara den sneda kon utan botten som består av alla räta linjesegment vars ena ändpunkt är (,, 3) och vars andra ändpunkt ligger på cirkeln x + y = 4 i xy-planet z =. Använd divergenssatsen för att beräkna flödet av F upp genom ytan S (4 p) Lösningsförslag. Eftersom så har vi att F(x, y, z) = (e (y +z ), e (x +z ), e (x +y ) ) div F = +z) x e (y + +z) y e (x + +y) z e (x = + + =. Då vektorfältet F är definierat över hela rummet kan vi använda divergenssatsen för att flytta ytan S till en annan yta S med samma randkurva utan att ändra värdet på flödet genom ytan. Detta eftersom flödet ut genom en tillslutning av ytan genom att lägga till en annan yta med samma randkurva blir noll, varför flödet ut genom den givna ytan måste vara lika med flödet in genom den vi lägger till. Vi flyttar S till ytan S som är cirkelskivan D med radie runt origo i xy-planet med uppåtriktad normalvektor ˆN = (,, ). Det sökta flödet är alltså F ˆN ds = F ˆN ds S S = (e y, e x, e (x +y ) ) (,, ) da D = e (x +y ) da D π ( ) = e r r dr dθ = π = π [ ] e r dθ ( e 4 + ) = π ( e 4). Svar. Flödet är π ( e 4 ). 7
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL 7. Låt S vara den orienterade yta i rummet R 3 som ges av r(s, t) = (s, t, st) där s + t och vars normalvektor har positiv z-komponent. Låt vara den orienterade randkurvan till S och låt vektorfältet F ges av F(x, y, z) = (y, xy, z ). Stokes sats relaterar flödet av rotationen av ett vektorfält genom en yta med kurvintegralen av fältet längs randkurvan. Formulera Stokes sats och använd den för att beräkna kurvintegralen F dr = y dx + xy dy + z dz. Lösningsförslag. Stokes sats säger att F dr = S curl F nds (4 p) om F är ett kontinuerligt deriverbart fält och är den orienterade slutna randkurvan till en begränsad slät orienterad yta S. Beräkning av rotationen för det givna vektorfältet ger att ( curl F(x, y, z) = y z z xy, z y x z, x xy ) y y = (,, y ). Därför måste vi fortsätta att beräkna normalen gånger areaelementet och integrera enligt Stokes formel. Vi parametriserar ytan S med polära koordinater, dvs x = r cos θ, y = r sin θ, och z = xy = r cos θ sin θ, där r och θ < π. Ytelementet med normalriktning blir då så att S nds = r r r θ drdθ = ( r sin θ, r cos θ, r)drdθ, curl F nds = π (r sin θ )r dθdr = π r dθdr = π, eftersom sin θ har medelvärde noll och den sista integralen ger arean av enhetscirkeln. Vi kan också använda den givna parametriseringen av ytan och får då att flödet ges av integralen av av trippelprodukten curl F r s r t = det t t = t. s Detta ska integreras över enhetscirkeln och då t har medelvärde blir integralen π. Svar. Kurvintegralens värde är F dr = 8 y dx + xy dy + z dz = π.
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 8. Låt S vara lösningsmängden till ekvationen x + y = z cos z. (a) Förklara hur vi kan vara säkra på att det finns en funktion f(x, y) sådan att S i en omgivning till punkten (x, y, z) = (,, ) sammanfaller med grafen z = f(x, y). ( p) (b) Visa att (x, y) = (, ) är en kritisk punkt till funktionen f. ( p) (c) Undersök om denna kritiska punkt är ett lokalt minimum, ett lokalt maximum eller ingetdera. ( p) Lösningsförslag. (a) Sätt F (x, y, z) = x + y z cos z. Vi ser att F (x, y, z) = för alla x, y, z S och att F (,, ), så (,, ) S. Vi ser att F = (x, y, z sin z cos z). För att implicita funktionssatsen skall kunna tillämpas ska samtliga partiella derivator vara kontinuerliga i en omgivning av (x, y, z) = (,, ) och F för i denna punkt. z Vi ser att detta är uppfyllt och drar slutsatsen att ytan S ges av grafen av en funktion z = f(x, y) nära punkten (,, ). (b) Betänk att z = z(x, y). Vi deriverar implicit med avseende på x och y och får att och x = cos z z z z sin z x x y = cos z z z z sin z y x Insättning av punkten (x, y, z) = (,, ) ger att z = z = dvs vi har en kritisk x y punkt. (c) Eftersom vänsterledet inte kan vara negativt och högerledet är negativt för π/ < z < har vi att f(x, y) = f(, ) i en omgivning av origo. Därmed är origo ett lokalt minimum. Vi kan också se detta genom att beräkna Hessianen. Vi behöver derivera implicit en gång till för att få fram z, z och z. x y x y ( ) ( ) ( ( ) ) z = sin z + cos z z z x x z cos z sin z z z z x x + x ( ) ( ) ( ( ) ) z = sin z + cos z z z y y z cos z sin z z z z y y + y = sin z z ( z x y + cos z z z z z cos z x y x y sin z z z x y + z ) z x y Insättning av punkten (x, y, z) = (,, ) ger att z =, z = och z x y x y får då att Hessianen är positivt definit och att vi har en minpunkt. 9 =. Vi
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 Svar. (c) Origo är ett lokalt minimum.
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 9. För en given kurva i planet R kan vi definiera det genomsnittliga avståndet mellan två punkter på som d() = r(s) r(t) dsdt, L där L är längden av och r(t) är en båglängdsparametrisering av. (a) Beräkna d() där är linjestycket från (, ) till (, ). ( p) (b) Beräkna d() där = S = {(x, y) R x + y = }, enhetscirkeln i planet. ( p) Lösningsförslag. (a) Vi båglängdsparametriserar linjestycket y = x enligt x = s dvs r(s) = (s, s) vilket ger att r(s) r(t) = s t. Längden L =. d() = s t dsdt = ( t ) (t s)ds + (s t)ds dt t = ( t ) t + dt = 3. (b) Vi båglängdsparametriserar linjestycket enligt x = cos t, y = sin t och får att r(s) r(t) = (cos s cos t) + (sin s sin t) = cos(s t) ( ) (s t) = ( sin = (s t) sin Vi ser att sin (s t) är en periodisk funktion och att vi integrerar över period. Således påverkar translationen med t ej integralens värde. Längden av cirkeln blir π. d() = π π (s t) 4π sin dsdt = π 4π π sin s ds = π π sin s ds = π [ cos s ] π Svar. (a) d() = /3 för linjestycket från (, ) till (, ). (b) d() = 4/π för enhetscirkeln. = π ( ( ) + ()) = 4 π