13. Energimetoder 13.1 eräkn nedböjningen under lsten å kvrtscirkelbågen med krökningsrdien. Tg hänsyn till xil, skjuv och böjdeformtion. ågen hr ett mssivt cirkulärt tvärsnitt med rdien r «; mterilet är lineärt elstiskt med elsticitets och skjuvmodul E resektive G. Vis tt xil och skjuvdeformtionerns bidrg till är försummbr. r 13.2 Hlvcirkelbågen hr böjstyvheten och krökningsrdien. eräkn högr stödets förskjutning till följd v en vertikl krft å hjässn. 13.3 etrkt bågen i ugift 13.2: beräkn stödrektionern om högr stödet ersätts med ett fst stöd. 13.4 ntg tt de två stöden i ugift 13.2 förbinds med en stång. Hur stor blir snittkrften i stången om dess xilstyvhet är E? 13.5 lken i figuren hr konstnt böjstyvhet. nvänd stiglinos 2: sts för tt bestämm nedböjningen under lsten. 13.6 etrkt blken i exemel 13.5 roximer utböjningen med ett tredjegrdsolynom och nvänd rincien om otentiell energins minimum för tt bestämm koefficientern. 13.7 estäm förskjutningen under lsten för konsolen med böjstyvheten ms.. Inverkn v xil och skjuvdeformtioner kn försum- 13.8 estäm förskjutningen å grund v momentet M för konsolen med böjstyvheten kn försumms.. Inverkn v xil och skjuvdeformtioner 2 M 13.9 En blk,, med böjstyvheten är smmnfogd med en stel del. Konstruktionen är fritt ulgd vid smt, och belsts med en unktlst vid. ) estäm utböjningen under lsten b) estäm vinkeländringen vid stel 145
13.1 etrkt konstruktionen i föregående ugift, men nu belstd med ett moment vid, enligt figuren. M ) estäm vinkeländringen vid b) estäm nedböjningen vid stel M 13.11 En xelt består v två cylindrisk delr med dimeter d resektive 2d enligt figuren. Vid och belsts konstruktionen v krfter från kugghjul. eräkn snedställningen v kugghjulet vid. 2d d 13.12 estäm förskjutningen vid smt vinkeländringen vid D. 2 D 13.13 estäm horisontell och vertikl förskjutningen, smt vinkeländring, v krftens ngresunkt.,, 13.14 eräkn de värden å θ som leder till tt förskjutningen v krftens ngresunkt sker i krftens riktning., θ, 13.15 lken i figuren hr konstnt böjstyvhet. ) eräkn stödrektionern b) eräkn nedböjningen under lsten c) roximer nedböjningen som ett tredjegrdsolynom och nvänd stsen om otentiell energins minimum för tt beräkn olynomkoefficientern. Vilken blir utböjningen under lsten? 2 146
13.16 En kvdrtisk rm hr kntlängden 2 och konstnt böjstyvhet. Den belsts med ett självblnsernde krftr enligt figuren. estäm hur mycket krfterns ngresunkter närmr sig vrnndr. 2 13.17 eräkn stödrektionern och rit momentdigrm för delen D. öjstyvheten är. D 2 13.18 lken i figuren hr vriernde böjstyvhet och belsts med en jämntfördeld lst med intensiteten q Q, där Q är lstresultnten. eräkn insänningsmomentet (dvs momentet vid ). q 4 Q 2 2 13.19 En tråd med tvärsnittsrdien r sinns till en fjäder med krökningsrdien» r. estäm fjäder konstnten k i krft förskjutningssmbndet kδ, där δ är förlängningen, om mterilet är lineärt elstiskt med skjuvmodul G och fjädern består v n vrv tråd. Deformtioner orskde v tvärkrften i fjädertråden kn försumms. 2r 13.2 Kvrtscirkelbågen ligger i ( x, y) lnet och belsts vid v en krft z i z led, medn förskjutningr och rottioner är förhindrde vid. ågens krökningsrdie är och den hr ett cirkulärt tvärsnitt med rdien r «; mte- y rilet är lineärt elstiskt med x elsticitetsmodul E och skjuvmodul E G --. eräkn förskjutningen δ v 2 2r krftens ngresunkt och i krftens riktning. Hänsyn sk ts till böjnde och vridnde moment, men tvärkrftens inverkn kn försumms. Uttryck δ i, E, och r. δ 147
ösningr 13.1 Med stiglinos 2: sts kn vi beräkn den sökt nedböjningen enligt N 2 βt 2 M 2 - + - + -------- N N βt T M M 2E 2G 2 d ------ + ------- + ----- E G d N + T + M där de 3 bidrgen till är från xildeformntion, skjuvdeformtion, resektive böjdeformtion. rmetern β ntr värdet 1 9 för ett mssivt cirkulärt tvärsnitt (se t.ex Hns undh, k. 15). Jämvikt ger tt M( ) sin T( ) cos N( ) sin M T N så sin cos sin. Vi får då: T M T N N N ------ d ------ ( sin) 2 π d E E - 4E βt T ------- β d - ( cos) 2 1 π d G G ---- -- 9G 4 M -- 4Er 2 5 ------ 18Gr 2 M M ----- 3 d ( sin) 2 π 3 3 d ---- 4 Er 4 N M sin N M 1 r lltså hr vi tt ------ -- -- (ty ) och dvs xil och skjuvde- 4 2 «1 5E r r «------ -- 18G 2 «1 formtionerns bidrg till nedböjningen är försummbr. T M N + T + M -------- 1 Er 2 4 -- 5E + + -- 18G r 2 3 13.2 δ åt höger 2 13.3 V V -- uåt smt H åt höger resektive vänster. 2 H -- π 13.4 H - ( H, H -- jmf. ugift 13.2 resektive 13.3). 4I π π + 2 13.5 7 3 --- 12 3 x 13.6 w( x) w ( x) -- -- (ositiv nedåt). Seciellt blir utböjningen under lsten 14 3 x -- 2 148
2 3 w ( 2) ( 2 3 ) ( 7) 24 w ( 2) ---, vilket br är -------- -- v den exkt lösningen 7 ( 7 3 ----- 49% ) ( 12) 49 (jmf. ugift 13.5). 13.7 3 ( π + 4) 4 13.8 3M 2 ------- 13.9 ) 3 -- 12 b) θ 2 -- 12 13.1 ) θ M -- 12 b) M 2 ---- 12 13.11 θ 4 2 ------ πd 4 E 13.12 7 3 3 2 --- θ 12 D --- 4 4 3 3 3 2 13.13 v --- nedåt, åt höger, medsols. 3 h θ --- 2 2 13.14 θ tn( 1 ± 2) 22,5 112,5 13.15 ) V 13 11 3 V 32 V 16 32 b) 23 3 ------,12 3 192 3 c) w( x) w ( x) -- 8 x ; 32 -- 6 x -- 2 x + -- 3 3 3 w ( ) ---,94 3 32 149
13.16 5 3 --- 24 13.17 V D 29 64 M: 3 32 D H V M 35 64 3 32 29 --- 64 13.18 31q 2 M ----- 176 13.19 k Gr 4 --- 4n 3 13.2 4( π 2) 3 δ --- πr 4 E 15