20 Gamla tentamensuppgifter

20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition f(x + ) f(x) lim Vi får f( 3 + ) f( 3) 3( 3)2 2( 3) + 1 (3( 3)2 2( 3) + 1) lim lim Vi jobbar vidare 3(2 6 + 9) 2 + 6 + 1 (27 + 6 + 1) 32 18 + 27 2 + 6 + 1 3 lim lim 32 20 (3 20) = lim = lim 3 20 = 20 lim

2 Gamla tentamensuppgifter Övning 20.2 Bestäm det största värdet för funktionen f(x) = x 3 x 2 x + 2 på intervallet 1 x 0 Lösning: Funktionens derivata ger då f (x) = 0 extrempunkterna f (x) = 3x 2 2x 1 3x 2 2x 1 = 0 x 2 2 3 x 1 3 = 0 x = 1 3 ± 1 9 + 1 3 x = 1 3 ± 2 3 Rötterna är x 1 = 1 oc x 2 = 1 3. Endast roten x 2 ligger i intervallet. Vi ar att bestämma tre värden f( 1) = 1 f( 1 3 ) = 59 27 f(0) = 2 Svar: Funktionens största värde på intervallet är 59 27 Övning 20.3 Bestäm derivatan till f(x) = 3 x 2 3x + 2 5x Lösning: f (x) = 3 2 x + 2 + 2 ln 5 5x 3x2

20.2 Medelsvåra avdelningen 3 Övning 20. Givet funktionen f(x) = x 2 3x +. Bestäm den genomsnittliga förändringsastigeten med avseende på x i intervallet x 10 Lösning: y x = f(x 2) f(x 1 ) f(10) f() = = 7 8 x 2 x 1 10 10 = 66 6 = 11 10 1 x Övning 20.5 För vilka x-värden i grafen är både f(x) < 0 oc f (x) < 0 Lösning: 1 < x < 3 Övning 20.6 Bestäm summan av termerna 13 + 67 + 121 +... 769 Lösning: Vi ser att d = 5. Först måste vi ta reda på vilket index talet 769 ar i följden. Genom ekvationen 769 = 13 + 5(n 1), får vi n = 15 s = 15(13 + 769) 2 = 5865 20.2 Medelsvåra avdelningen Övning 20.7 Funktionen f(x) = x 2 3x + 2 är given. Bestäm normalens ekvation till kurvan i punkten (0, 2), samt normalens skärningspunkt med x-axeln. Lösning: Vi startar med att derivera funktionen oc får f (x) = 2x 3 Tangentens k-värde i punkten (0, 2) är k = 3. Detta betyder att normalen ar k-värdet k = 1 3. Med jälp av y = kx + m får vi 2 = 1 3 0 + m oc att m = 2. Normalens ekvation är y = x 3 + 2. Normalen skär x-axeln då 0 = x 3 + 2, x = 6 eller i punkten ( 6, 0) Svar: Normalen som ar ekvationen y = x 3 + 2 skär x-axeln i punkten ( 6, 0).

Gamla tentamensuppgifter Övning 20.8 Bestäm konstanten k så att uttrycket I(t) = U R (1 e kt ) blir en lösning till ekvationen R I(t) + L I (t) = U där R, L oc U är givna positiva konstanter. Lösning: Vi startar med att derivera I(t) Ekvationen övergår nu i I (t) = k U R e kt R U R (1 e kt ) + L k U R e kt = U U(1 e kt ) + L k U e kt = U R (1 e kt ) + L k R e kt = 1 e kt + L k R e kt = 0 e kt ( L k R 1 k = R L ) = 0 Övning 20.9 Mängden av ett radioaktivt ämne avtar med 3% per timme. Från början finns 10 miligram av ämnet. Bestäm alveringstiden, det vill säga när det återstår 5 milligram av ämnet Lösning: Antag att alveringstiden är t timmar. Vi får ekvationen ( 5 = 10 1 3 ) t = 0.97 t 100 lg 1 2 t = = t lg 0.97 lg 0.5 lg 0.97 t 22.8 Svar: Halveringstiden är 22.8 timmar.

20.2 Medelsvåra avdelningen 5 Övning 20.10 Adam satt för ett antal år sedan in 155 kr på banken till 5% ränta. Hur stort belopp satte Bertil in samma dag till 6% om ans kapital idag är 1118 kr oc Adams kapital idag uppgår till 10000 kr? Lösning: Antag att errarna satt i sina kapital för t år sedan. Vi kan då med jälp av Adams belopp bestämma t 10000 = 155 1.05 t ( ) 10000 lg 155 t = lg 1.05 t = 18 Vi kan nu ta reda på ur mycket pengar b, Bertil satt in på banken för 18 år sedan. Svar: 000 kr. 1118 = b 1.06 18 b = 1118 1.06 18 b = 000 Övning 20.11 En stads befolkning är 110000 personer år 1975 oc 125000 personer år 2000. Hur stor är befolkningen år 2010 om man förutsätter att a) ökningen är linjär? b) ökningen är exponentiell? Lösning: a) Vi söker en linjär funktion f(x) = kx + m, som kan bestämmas med jälp av de två punkterna (1975, 110000) oc (2000, 125000). konstanten m bestäms genom k = 125000 110000 2000 1975 = 15000 25 125000 = 15000 25 ger m = 1075000. Vi ar bestämt funktionen f(x) = 15000 25 oc kan nu använda den för att bestämma f(2010) f(2010) = 15000 25 2000 + m x 1075000 2010 1075000 131000

6 Gamla tentamensuppgifter b) Vi söker en exponentialfunktion g(x) = C e ax Med jälp av de två givna punkterna (1975, 110000) oc (2000, 125000) kan vi ställa upp följande ekvationssystem { 125000 = C e a 2000 110000 = C e a 1975 Vi löser ut C ur den första ekvationen oc får som substitueras i den andra ekvationen Nu över till att bestämma C C = 125000 e a 2000 110000 = 125000 e 110000 ea 1975 125000 = e a 2000 110 125 = ea(1975 2000) a 0.00511333 a 2000 ea 1975 Vi ar nu funktionen! 125000 C =.5201 e0.00511333 2000 g(x) =.5201 e 0.00511333x Till sist bestämmer vi g(2010) = 131557 Svar: a) 131000 b) 131557 Övning 20.12 Bestäm ekvationen för den tangent som är gemensam för funktionerna f(x) = x 2 oc g(x) = 2x 1 2 x2 Lösning: Lösningen startar med att lösa ekvationen f (x) = g (x). f (x) = g (x) 2x = 2 2x x = 1 2 Då f ( 1 2 ) = g ( 1 2 ) = 1 Vi kollar att f(x) = g(x), f( 1 2 ) = 1 2 2 = 1 g( 1 2 ) = 2 1 2 1 2 1 2 2 = 1 Vi ar den gemensamma punkten ( 1 2, 1 ) oc kan nu ställa upp ekvationen för tangenten y = kx + m. 1 = 1 1 2 + m ger m = 1 oc tangentens ekvation y = x 1

20.3 Svåra avdelningen 7 0. 0.2 0.2 0. 0.6-0.2-0. -0.6 20.3 Svåra avdelningen Övning 20.13 Ett rätblock med kvadratisk basyta skall utformas så att dess volym blir maximal. Dess totala begränsningsarea, det vill säga summan av alla sidors areor, är 2 cm 2. Vilka mått skall rätblocket a oc ur stor blir den maximala volymen? Lösning: Antag att basytans sida är s oc att öjden är. Rätblockets volym är V = s 2. Rätblockets begränsningsarea är A = 2s 2 + s. Då A = 2 får vi 2s 2 + s = 2. Vi ar funktionen V(s, ) = s 2 men genom att lösa ut ur 2s 2 + s = 2 får vi = 2 2s2 s Vi kan nu skriva om funktionen V(s, ) som V(s) V(s) = s2 (2 2s 2 ) s 2s 2s3 Vi ska nu bestämma extrempunkterna os V(s) oc deriverar V (s) = 2 6s2 V (s) = 0 då 2 6s 2 = 0, s = ±2, där s = 2 inte är aktuell. Genom andraderivatan V (s) = 3s får V (2) = 6 < 0 oc förstår att denna extrempunkt är ett maximum. Genom V(2) = 2 2 2 23 8 16 Svar: Den maximala volymen är 8 cm 3, då rätblocket ar måtten 2 2 2 cm. = 8

8 Gamla tentamensuppgifter r l Övning 20.1 I figuren visas den inre sargen av en friidrottsoval som man tänker bygga. Ovalen består av två alvcirklar oc en rektangel. Omkretsen är förstås, som sig bör, 00 meter. Man önskar bygga ovalen på ett sätt, som ger inre gräsmattan en så stor area som möjligt. Bestäm den maximala arean, samt längden os alvcirklarnas diagonal oc längden av kortsidan. Lösning: Vi tecknar först arean A(r, l) = πr 2 + 2r l oc sedan omkretsen O(r, l) = 2π r + 2 l Då O(r, l) = 00 kan vi uttrycka l = 00 2π r 2 = 200 π r Nu kan vi skriva A(r, l) som en funktion av enbart r A(r) = πr 2 + 2r(200 π r) 00r πr 2 Vi deriverar oc bestämmer A (r) = 0, A (r) = 00 2πr som ar roten 00 2πr = 0 r = 200 π Att detta är ett maximum förstår vi då A (r) = 2π < 0. Med radien r = 200 π l = 200 π 200 π 0 Resultatet är alltså en cirkel med radien r = 200 π A ( ) 200 = π π som ger arean ( ) 200 2 0000 π π 2 får vi

20.3 Svåra avdelningen 9 Övning 20.15 Figuren visar parabeln y = x 2. P är en punkt på parabeln i första kvadranten. När P åker omkring på parabeln ändras arean på den skuggade rektangeln. Bestäm det största värdet av denna area. Lösning: Genom lösningen av ekvationen x 2 = 0, x = ±2 vet via att x-koordinaten för punkten P måste ligga i intervallet 0 x 2. Rektangelns area bestäms av A(x) = 2x( x 2 ) eftersom basen är 2x oc öjden är x 2. Genom att bestämma A (x) = 0 får vi reda på eventuella extrempunkter A(x) = 8x 2x 3 A (x) = 8 6x 2 A (x) = 0 då 8 6x 2 = 0 x = ± 3 x = ± 2 3 Endast x 1 = 2 3 ligger i definitionsområdet. För att förvissa oss om att det andlar om ett maximum tar vi fram A (x) = 12x, som ger A ( 2 3 ) < 0. Den maximala arean får vi så genom ( ) ( ) 2 2 2 3 A 3 = 8 2 3 32 3 3 3

10 Gamla tentamensuppgifter Övning 20.16 Bestäm konstanterna a oc b så att funktionen f(x) = ax 3 + ax 2 + bx + 3 får ett minimum i ( 1, 0). Lösning: Vi deriverar f (x) = 3ax 2 + 2ax + b Vi får så genom f ( 1) = 0, ekvationen a + b = 0. Vi vet också att f( 1) = 0, som ger ekvationen a + a b + 3 = 0 med lösningen b = 3. Direkt får vi nu a = 3. Vår funktion får utseendet f(x) = 3x 3 3x 2 + 3x + 3 Vi måste nu kontrollera att funktionen verkligen ar ett minimum i ( 1, 0). f (x) = 9x 2 6x + 3. f (x) = 0 då 9x 2 6x + 3 = 0 med rötterna x 1 = 1 oc x 2 = 1 2. Genom f (x) = 18x 6 som ger f ( 1) = 18 6 = 12 > 0 som innebär minimum. Övning 20.17 Givet f(x) = x 2 16 oc g(x) = x 2 + 2x + 8. Bestäm för vilka x som samtidigt både f(x) > 0 oc g(x) > 0 Lösning: Nollställena till f(x) ges genom f(x) = 0, x 2 16 = 0 med rötterna x 1 = oc x 2 =. Då f(0) < 0 vet vi att f(x) > 0 då x < eller x >. Nollställena till g(x) ges genom g(x) = 0, x 2 + 2x + 8 = 0 med rötterna x 3 = 6 oc x = 8. Då g(0) > 0 vet vi att g(x) > 0 då 6 < x < 8. Detta leder till 50 0 30 20 10 6 2 2 6 8 10 Svar: 6 < x < eller < x < 8