4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Differeialekvaioer gör gre för e aeaik bekrivig av aika e i koierlig i åo fragår av exeple i avi 3.. E iffereialekvaio bekriver hr e vi variabel beror av e eller flera ara variabler. Elig reglerekik eriologi kallar vi e beroee variabel för igal och e ara oberoee variablera för iigaler. Efero iigalera är oberoee ka vi för e e e flera iigaler oral beraka e iigal i age geo a låa e övriga iigalera ha koaa väre. E e e kocererae paraerar ka å allä bekriva e e oriär iffereialekvaio av fore g 4. är och är iigal rep. igal a g e gocklig aalik fkio. Sorhee v orige på höga igalerivaa kalla ee origal. Noral är efero oae klle iebära a iigale eriverae effek vore oierae vilke är ovalig i prakike. E e e äg vara e proper e; oae är e ickeproper e. O fkioe g är lijär ka iffereialekvaioe 4. kriva på fore a a a a b b b b 4. Koefficieera a a a b b är eparaerar o karakerierar egekapera ho e lijära ee. Dea paraerar är ie eiga; e ka okala e e gocklig fakor olik oll.ex. å a e av paraerara får väre e. Efero 4. är e :e orige iffereialekvaio åe e gälla a a vilke beer a e kalig å a a alli ka göra. O a förerar a ibla e kalig o gör a. O a eler icke-propra e ka a vi eaik behalig av 4. välja e äå ela icke-förekoae iigalerivaor geo a låa ovarae b- koefficie vara oll. I prakike gäller ofa a b vilke beer a iigalerivaa axiala orig är lägre ä igalerivaa axiala orig. E åa e kalla rik proper. O a väljer kalig å a a ka iffereialekvaioe 4. kriva på aarfore a a a b b b 4.3 Obervera hr koefficieera ere iex är förkippae e erivaora origal. För a erläa e eare eaik behalig kall vi hålla o ill ea origfölj för koefficieera ro a a iiiv kake klle förera e aa origfölj lägre iex för lägre erivaor. 4
4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer För lijära e gäller perpoiiopricipe. O fkiopare och båa är löigar ill ekvaio 4. å gäller elig perpoiiopricipe a äve fkiopare o få geo e gocklig lijär kobiaio a b a b är e löig. A å är falle ka lä via geo irek biio i ekvaio 4. eller 4.3. Grläggae aeaik rörae oriära iffereialekvaioer gör e öjlig a löa e lijära iffereialekvaioe 4. eller 4.3 o eparaerara är koaa och iigale har e ågorla ekel for. Löige v igale erhålle å o a av e pariklärlöig och e alläa löige ill ovarae hoogea iffereialekvaio o få är högerlee äe =. E hooge iffereialekvaio ovarar ålee e e a iigal. E åa e kalla e aoo e. A löa lijära iffereialekvaioer e ea eo blir ock e gaka bevärlig procer av bl.a. följae oraker: De aeaika arbee blir bevärlig vi e av högre origal. Meoe erbjer iga bekväa gevägar för a behala aaaa e ppbgga av eklare lijära ele. För prakik haerig av e baerae på lijära iffereialekvaioer koer vi i e följae avie a a pp kopleerae aeaika verkg. För e grläggae lijära aal- och earbee koer eoer baerae på Laplacerafore a ia e ceral roll. Vi oellerig och erik beräkig är eoer baerae på illåbegreppe e vikig gågpk. Tillåoeller behala ärare i kre Procereglerig. För a oivera aväige av Laplaceraforeoer kall vi för e hjälp av raiioella löigeoer era e e bekrive av e ekel lijär iffereialekvaio. Exepel 4.. Segvare för e kvickilvereroeer. Daike för e kvickilvereroeer bekriv av iffereialekvaioe T är är kvickilvre eperar och är ogivige eperar. Aag a eroeer fi oh och a jävikläge råer. Då är är beeckar e koaa eeperare. Aag a eroeer för ioh är eperare är lika e. Hr + förära kvickilvre eperar i eroeer o fkio av ie? De förefaller rilig a aa a eperare förära expoeiell frå ill elig figr 4.. Vi ka korollera ea aagae a beäa hr abb förärige av ker geo a löa iffereialekvaioe. Figr 4.. Segvar för kvickilvereroeer. 4
4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Elig vår hpoe klle förärige ha fore b ae c b är villkore b förhirar a är. Ka iffereialekvaioe ge pphov ill e löig av ea p? Vi korollerar geo a erivera ovaåee rck vilke ger Iäig i iffereialekvaioe ger Tabe b ae abe b b c Efero högra lee är e koa åe ockå vära lee vara lika e aa koa för alla. Dea är ea öjlig o v o Iäig i ger å b b b Ta be ae Tb ae 5 b /T c 6 / T ae 7 Yerligare ve vi a. Dea ger a v Vi får å a förära expoeiell elig 3 4 a 8 / T e 9 är. Obervera a ekvaio 9 ie är e allä oell för eroeer a e löig o gäller för e pecifik förärig av iigale. 4. Laplacerafore Exepel 4. var e cke ekel illraio av e av e probleper o effekiv ka löa e hjälp av e.k. Laplacerafore. Avacerae eoer för aal av oeller rcka e hjälp av Laplacerafore exierar ockå. 4.. Defiiio De igaler o ppräer i aika e är fkioer av ie. Beraka e älige gocklig igal f e e egekape a f för och iegrerbar för. F L f för ifkioe f efiiera å av iegralrcke Laplacerafore f F L e f 4.4 4 3
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore är är e koplex variabel var realel är illräcklig or för a iegrale kall kovergera. A ere iegraiogräe age o gräväre i älle för har här ige prakik beele. Ma äger a F är efiiera i Laplaceplae eller -plae ea f är efiiera i iplae. Allä rekoeera a a beeckar ifkioer e å bokäver v geea och era Laplaceraforer e ovarae ora bokäver v veraler. A arbea e Laplacerafore F i älle för e ovarae ifkio f ger avevära förekligar vi behalig av lijära e. Bla aa koer haerige av iffereialekvaioer a ill or el recera ill aiplerigar e algebraika rck. För a Laplacerafore kall ka ja prakik kräv a a ockå ka beräka e ifkio f o ovarar Laplaceraforrcke F. Dea operaio v övergåge frå F ill f kalla iverraforerig. Ma ka via a iverrafore f L F ge av rcke j - f L F e F j 4.5 j är j är e iagiära ehee och är e reell al o bör vara å or a F akar iglarieer v är begräa för alla e örre realel ä. Lckligvi klarar a ig a ekvaio 4.5 vi prakik räkig e Laplacerafore och e är ockå er älla a har behov a aväa efiiioe 4.4. I älle jar a forelaligar.ex. Tore Gafo Igejöraeaik forelalig 5:e pplaga 4 är valige förekoae ifkioer och era Laplaceraforer fi abellerae. Laplaceraforera på. 4 6 och 4 7 är häae r ea forelalig 4:e pplaga. Me hjälp av e åa abell ka a raforera båa vägara. Fkioer o ie fi abellerae ka å go o alli erhålla o ågo kobiaio av abellerae fkioer. Efero Laplaceraforrcke är algebraika rck eför lika kobiaioer och ovarae ppeligar iga örre beräkigäiga proble. 4.. Beräkig av Laplacerafore för ågra ekla fkioer Tro a ifkioer och ovarae Laplaceraforer fi abellerae kall vi illrera aväige av efiiiorcke 4.4 geo a härlea Laplacerafore för ågra ekla e prakik vikiga ifkioer. Obervera a oberoee av hr fkioe f er för å aa f för. Plfkioe E ieal pl o arar vi karakeriera av e koa apli a och e varakighe plläg T e figr 4.. Me hjälp av Laplacerafore efiiio 4.4 få f a F T e a a e T e a T 4.6 T Figr 4.. Plfkio. 4 4
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Eheiple Dirac elafkio Vi ka efiiera e ipl o e pl var varakighe T går o oll och var apli a går o oälighee på e åa ä a plarea at har e älig väre olika oll. För eheiple gäller a at rck i ågo läplig ehe. Laplacerafore för e eheipl vi ka erhålla geo Talorerievecklig och gräväreberäkig e a / T i ekvaio 4.6. Vi får T e T T F L li li 4.7 T T T T Tro a iplfkioe har e ill e verklighefräae efiiio har räkae e ipler prakik iebör på åga oråe åo elekrika ekaika och proceekika oråe. För lijära aika e ka oral alla korvariga i förhållae ill ee aik iigaler behala o ipler karakerierae ebar av plarea oberoee av ple exaka for. Tpika exepel är päig- och röpler i elekrika e ökrafer i ekaika e och ijicerig av påräe i eicika och proceekika illäpigar. Eheege E egfkio ka beraka o e pl e oälig varakighe T. Laplacerafore för eheege o har a få å frå 4.6 geo e gräväreberakele o ger Eherape T e F L li 4.8 T E rap är e fkio var väre förära lijär e ie. Eherape är e rap e ligkoefficiee v. Me hjälp av pariell iegraio ka rcke för eherape Laplacerafor beräka elig e e e F L e 4.9 E aba ella e ekla ehefkioera Figr 4.3 illrerar eee ho eheiple eheege och eherape. Noera a iple ka beraka o erivaa av ege och a ege är erivaa av rape. Ovä gäller a ege är iegrale av iple och rape är iegrale av ege. Noera äve e re fkioera Laplaceraforer v / rep. /. Figr 4.3. Eheiple eheege och eherape. 4 5
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 6
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 7
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Expoeiell avkligae fkio E expoeiell avkligae fkio efiiera f e. De Laplacerafor är a a a a F L e e e e e a 4. a Si- och coifkioer För härleig av Laplaceraforer för i- och coifkioer behöv perpoiioae 4.3 o ge i äa avi. Däröver ka vi ja 4. geo a låa paraeer a vara iagiär. Vi jar Eler ieie för i b o ger jb jb e e i b j är j beeckar e iagiära ehee. Tilläpig av ekvaio 4. ger jb jb b F L ib L e L e j j j jb jb b 4. För cob gäller elig Eler ieie jb jb e e cob och aalog e härleige av 4. få b b F L co L e L e 4. jb jb b j j b 4..3 Räkeregler för Laplaceraforer Arbee e raforer för er koplicerae ifkioer erläa givevi o a käer ill e alläa räkeregler o gäller för Laplaceraforer och ovarae ifkioer. Vi kall här behala e vikigae räkereglera. Sperpoiioae O F och F är Laplaceraforera för ifkioera f och f å gäller a är A och B är gockliga koaer. Bevi: L A f B f A F B F L 4.3 A f B f e A f B f A e f B e f A F B F Iverrafore ppfller aa egekap v A F B F A f B f L 4.4 4 8
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Deriverigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för ierivaa f f / av L f F f 4.5 är f är ifkioe f : väre är a ärar ig frå egaiva ia. Bevi: Me pariell iegraio erhålle L f e f e f e f F f E cceiv jae av eriverigae ger följae rck för Laplacerafore för :e erivaa f f / av fkioe f : L f F f f f f 4.6 Ekvaioera 4.5 och 4.6 ger e vikigae föräige för Laplacerafore beele i iffereialekvaioaahag. Bore frå begelevärea f f ec. å ovara e eriverig av e ifkio av e liplikaio e Laplacevariabel i Laplaceplae. Laplacevariabel har ålee ora likheer e iffereialoperaor p /. Iegraioae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för ifkioe iegral av L f F 4.7 Bevi: Vi jar beeckige g f o ger g f. Tilläpig av eriverigae 4.5 på fkioe g ger å F L f L g L g g L g L f är g följer av efiiioe på g. Geo cceiv illäpig av 4.7 få Laplacerafore för e -falig iegral: L f F 4.8 4 9
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Däpigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för e expoeiell a äpae ifkio e f av Bevi: L a e f F a L 4.9 a a a e f e e f e f F a Förkjigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för fkioe f L v fkioe f förröj e L ieheer e figr 4.4 av L f L e F L 4. Bevi: Me hjälp av variabelbiioe L a geo a f för få L f L e L L f L e f e e f e Gräväreaer f f L Figr 4.4. Oförröj och förröj ifkio f. L L F För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller a å väre på ie ovara av ora väre på Laplacevariabel och vice vera. De.k. gräväreaera ger kokrea rck för ea aba. Begeleväreae För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller er föräig a F är rik proper li f li F 4. Slväreae För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller er föräig a F akar iglarieer v är begräa för alla e icke-egaiv realel li f li F 4. L 4
4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 Övig 4.. Beräka Laplacerafore för ifkioe f 5e 8e 6. Korollera relae e begele- och lväreaera. Övig 4.. Beä e ifkio o har Laplacerafore 8 4e 36. Övig 4.3. Härle Laplacerafore för e förröj ågapl elig figre ea. 4.3 Bekrivig av aika e i Laplaceplae 4.3. Överförigfkioe Beraka e lijära iffereialekvaioe 4.. Aag a iffereialekvaioe aifiera av variabelvärea. O ea illå är av peciell beele ka vi kalla e för e refereillå eller e arbepk. Ofa är ea pk e aioärillå äve kalla forfarigheillå eller jävikläge är alla erivaor är oll e åo påpeka i avi 3.3 behöver ea ie alli vara falle. E illå o aifierar iffereialekvaioe ka relaera ill e refereillå elig är Δ-variablera ager avvikeler frå refereillåe. Iäig av ea variabler i ekvaio 4. ger efer borförkorig av refereillåe och vale a b b b b a a a 4.3 Laplaceraforerig av ekvaio 4.3 ger e beakae av a alla begeleväre för Δ-variablera är oll U b U b U b U b Y a Y a Y a Y 4.4 f 3 3 5 Figr 4.5. Sågapl.
4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e är Y och U är Laplaceraforera av rep.. E :e erivaa ger ålee vi Laplaceraforerig pphov ill e fakor är begeleillåe är oll. Ekvaio 4.4 ka äve kriva a a a Y b b b b U 4.5 eller kopakare är Y G U 4.6 b b b b B G a a a A 4.7 är ee överförigfkio. Ibla ala äve o överförigoperaor e ea beäig ka vara aige iviae efero båe och G är variabler. Vi er a vi beräkigar i Laplaceplae få ee igal geo liplicerig av e iigal e ee överförigfkio. I ekvaio 4.7 beeckar A överförigfkioe äare och B e äljare. Röera ill ekvaioe A o är ee karakeriika ekvaio kalla ee poler ea röera ill ekvaioe B kalla ee ollälle. Beele av poler och ollälle behala ärare i kapile 5 och 6. Ifall ee iehåller e öi e kapiel 5 å a e ar e i L ia e iigal börjar påverka ee ka i ekvaio 4.4 göra biioe v L är v är e verkliga iigale. Aväig av -variabler a Laplaceraforerig ger U = e L V 4.8 är V är Laplacerafore av v. Överförigfkioe frå V ill Y är å L G e. Exepel 4.. Härleig av överförigfkioe för e kvickilvereroeer. Vi kall härlea överförigfkioe för e kvickilvereroeer o elig exepel 4. ka bekriva e iffereialekvaioe T är är ogivige eperar och är kvickilvre eperar. Vi börjar e a rcka variablera o avvikeler frå e jävikläge och v är och ager avvikelera orlek. Iäig i ekvaio ger T 3 Efero och / å är e koa få T 4 är vi för lighe kll iför iargee. 4
4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e Laplaceraforerig av ea oell ger T 5 är och är Laplaceraforera av rep.. Efero vi aväer Δ-variabler o ager avvikeler frå begeleillåe är. Vi får å eller är är ee överförigfkio. Övig 4.4. E e bekriv av iffereialekvaioe T 6 G 7 G 8 T 5 6 är och ager avvikeler frå e jävikläge. Beä ee överförigfkio. 4.3. Några koveioer rörae i- och igaler Såo ova koaerae få vi beräkigar i Laplaceplae ee igal geo liplicerig av e iigal e ee överförigfkio iga ara erer ka igå i rcke. Vi Laplaceraforerig erhålle e åa lijär rck ea o igalera begeleväre v era väre vi är oll. Dea villkor ppfll aoaik är a aväer Δ-variabler v variabler o ager avvikeler frå e refereillå o gäller vi ipke. Här ager a a bör aväa e gräväre o gäller för variabel är a ärar ig oll frå egaiva ia v väre rax före. Dea har beele ifall fkioe är ikoierlig vi. Efero e är e ofråkolig krav vi beräkigar e överförigfkioer a igalera har ovaäa egekap ae e vara erförå a å är falle äve o e ie klle oäa. Däre ka a o i övig 4.4 eläa bole Δ för a förekla beeckigara. Vi koer ofa a göra å i foräige. O Δ-variabler e bole Δ avä är e ofa för a beoa igalera fikalika akig. I åaa fall är bole a Δ ofa ppage för a beecka verkliga variabler.ex. äväre i procee. De rekoeera a a beeckar ifkioer e å bokäver geea och era Laplaceraforer e ovarae ora bokäver veraler. I bri på leiga boler är e ock ie ovalig a a larvar e ea och aväer aa bol båe för ifkioe och e Laplacerafor. Dea är öjlig för a e valigvi är klar av aahage vilke fkiop e är fråga o. Till exepel vi beräkigar e överförigfkioer är e klar a igalera Laplaceraforer avä. O rik för iförå föreligger ka a iklera argee eller för a age fkiope. När a.ex. gör e Laplaceraforerig ka ea iikio behöva o a aväer aa bol för ifkioe och e Laplacerafor. 4 3
4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e De bör äve obervera a båe igalera ifkioer och era Laplaceraforer i allähe har e ehe. Operaioer båe i i- och Laplaceplae bör äre vara ieiorikiga. Speciell bör obervera a förärkige för e e ie är ieiolö o ioch igale har olika eheer. 4.3.3 Blockchea Vi har rea koi i koak e reglerekika blockchea i kapiel. I ea avi ge e förligare behalig av pika blockcheakopoeer och -kofigraioer a vilka räkeoperaioer e ovarar i Laplaceplae. E lijär aik e e iigale igale och överförigfkioe G ka repreeera grafik e hjälp av e blockchea elig figr 4.6. O a G U G Y Figr 4.6. Blockchea för aik e. ager igalera i blockchea ka a aväa igalera iplaboler åo ill väer i figre eller boler för igalera Laplaceraforer åo ill höger i figre. Oberoee av vilke for o avä gäller abae Y G U 4.9 v överförigfkioe opererar på igalera Laplaceraforer ie på era ifkioer. Ma ka e e blockchea åkålig via hr e aik e bgg pp av ire ele. Vikiga elee i åaa blockchea är korkioer o bekriver aio jäförele och förgreig av igaler. Figr 4.7 viar olika ä a beecka e aio figr 4.8 viar olika ä a beecka e jäförele och figr 4.9 viar e förgreig. Såo fragår v v v v v v Figr 4.7. Tre olika ä a beecka aio. r r r r r r Figr 4.8. Tre olika ä a beecka jäförele. iebär e jäförele e brakio. Obervera a e förgreig ea flerfaligar e igal e förärar ie igale i e olika greara. I figrera avä igalera ifkioer för a illrera räkereglera e aa regler gäller för igalera Laplaceraforer. Korkioera ka givevi geeraliera å a fler ä vå igaler beaka. x x x Figr 4.9. Förgreig. 4 4
4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e E ofa förekoae arrageag av ele är eriekopplig eller kakakopplig o illrera i figr 4.. Av ekvaio 4.9 följer v Y G X G G U G G G 4.3 o är överförigfkioe för e aaaa ee io e reckae kore i figr 4.. G x G Figr 4.. Seriekopplig. E aa erkr är parallellkopplig o illrera i figr 4.. Dea iehåller båe e förgreig och e aio. Eleeär algebra ger v G G U Y Y Y G U G U G G G 4.3 o är överförigfkioe för e parallellkopplig. De e faeala erkre io reglerekike är egaiv åerkopplig o illrera i figr 4.. När överförigfkioe i frarikige beecka G och överförigfkioe i åerkopplige beecka H få v G Y G E G G H R H Y R G G 4.3 G H o är e la ee överförigfkio. Proke G H kalla ee kreöverförig och ekvaioe G H är e karakeriika ekvaio. G r e G G H Figr 4.. Parallellkopplig. Figr 4.. Åerkopplig. 4 5
4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e Övig 4.5. Härle överförigfkioe frå ill i eaåee blockchea. Figr 4.3. Blockchea för aaa e. 4.4 Löig av iffereialekvaioer E behäig ä a löa lijära oriära iffereialekvaioer är a aväa Laplaceraforeoer. När iffereialekvaioe Laplaceraforera er för er e beakae av iiialillå ka Laplacerafore för e beroee variabel v igale ekel löa e re algebraika eoer. O iffereialekvaioe bekriver e aik e har e e iigal o ockå raforera. Tifkioe för e beroee variabel ka ea erhålla geo iverraforerig av e Laplacerafor. De pika arbegåge illrera i figr 4.4. INITIALPROBLEM i iplae Laplaceraforerig TRANSFORMERAT PROBLEM i Laplaceplae Algebraika operaioer i Laplaceplae LÖSNING i iplae Iver Laplaceraforerig LÖSNING i Laplaceplae Figr 4.4. Arbegåg vi löig av iffereialekvaioer via Laplaceraforerig. Tabeller över Laplaceraforer och ovarae ifkioer ka ja vi iverraforerige e. 4 6 och 4 7. Ifall abelle ie ppar Laplacerafore ifråga ka a geo parialbråkppelig valigvi kriva e o e a av eklare raforer var ifkioer fi i abelle. Elig perpoiioae e avi 4..3 få e öka ifkioe å o a av e eklare Laplaceraforera ifkioer. Efero Laplacerafore av e ifkio iehåller ifkioe begeleväre är Laplacerafore peciell läpa för löig av begeleväreproble iiialväreproble. 4 6
4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer 4.4. Begeleväreproble I följae exepel via hr e lijär ara orige iffereialekvaio e giva begelevillkor löe e hjälp av Laplaceraforeoer. Exepel 4.3. Löig av lijär iffereialekvaio e begelevillkor. Lö iffereialekvaioe 5 6 e begelevillkore. Laplaceraforerig ger e jae av eriverigaera 4.5 och 4.6 Y 5Y 6Y Iäig av begelevillkore ger efer hfig Y 5 6 3 Dea rck fi ie i kopeie Laplaceraforabell e vi ka eparera äljare erer och efer hfig kriva Y 3 3 3 Dea erer fi o pk 7 och 8 i abelle e a och b 3. I elighe e perpoiioae ka vi iverraforera erera var för ig och era relae för a få ifkioe. Relae blir 3 3 3 e e e e e e 3 3 3 3 3 4 3 6 Koroll geo eriverig och iäig i iffereialekvaioe och begelevillkore viar a löige är korrek. 4.4. Tivare för e aik e Tivare för e aik e ka beäa geo iverraforerig är ee överförigfkio och iigale Laplacerafor är käa. Förfarae illrera e följae exepel. Exepel 4.4. Segvare för e föra orige e. E lijär föra orige e e iigale och igale ka bekriva e iffereialekvaioe T K är K är ee aika förärkig och T e ikoa. O å är e löig och vi ka aa a ea illå råer vi. Laplaceraforerig ger å Y G U är K G 3 T 4 7
4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer är ee överförigfkio. Kvickilvereroeer i exepel 4. och 4. är ålee e lijär föra orige e e förärkige. O iigale förära egforig frå ill eg vi v o ; eg 4 å är ea eg eg gåger å or o e eheeg och har elig avi 4.. eller pk i kopeie Laplaceraforabell Laplacerafore eg U 5 Iäig av G och U i ekvaio ger Keg Keg / T Y 6 T / T Elig pk 9 eller 6 i Laplaceraforabelle är ovarae ifkio / T K e 7 eg Här har liko vi Laplaceraforerig av egförärige äve perpoiioae ja ärare beä e regel o äger a Laplacerafore för e ifkio liplicera e e koa är lika e ifkioe Laplacerafor liplicera e aa koa. De härlea egvare har givevi aa for o egvare för kvickilvereroeer o härlee geo irek löig av iffereialekvaioe i exepel 4.. Övig 4.6. Beä eheegvare v vare är iigale är e egförärig av orleke för ee i övig 4.4. 4.4.3 Parialbråkppelig Laplacerafore för e ifkio.ex. e beroee variabel i e iffereialekvaio e give iigal och giva begeleväre ka valigvi kriva i fore b b b b B F 4.33 a a a A De o Laplacerafore F varae ifkioe f ka a ofa fia irek i abellverk eller o i exepel 4.3 efer e ekel eparerig av äljare erer i elighe e perpoiiopricipe. O ea ie hjälper ka a göra e parialbråkppelig. För e Laplacerafor Y iehållae e öi L å a Y F e ka a för beäa f frå F och ärefer f L elig förkjigae. Vi parialbråkppelig av ekvaio 4.33 erök för o äljare graal är ire ä äare graal. I prakike gäller å go o alli a v a ee är rik proper. Sklle å ie vara falle iviera äljarpoloe e äarpoloe å a e äljarpolo erhålle e lägre graal ä äare. L 4 8
4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Me hjälp av e åa poloiviio ka Laplacerafore kriva B F F 4.34 A är A är aa äarpolo o i ekvaio 4.33 och B är e polo e lägre graal ä A. I foräige aa ärför. Elig perpoiioae ka poloe F iverraforera kil för ig och e relerae ifkioe f aera ill ree av löige. Märk a f koer a beå av e eller flera erer ovarae e ipl och ierivaor av ipler. Speciell e eare är ovalig i prakike. Exepel 4.5. Poloiviio Beraka e raioella fkioe 3 4 F. 3 De ka e hjälp av poloiviio kriva på fore 4.34. O vi aväer e klaika iviioppällige ara ppälligar är liggae ole och rappa er procere på följae ä. Relae är ålee 3 B 43 A 3 3 3 F 4 3 3 4 3 9 5 B 5 F 3. 3 Ekvaioera 4.5 och 4.6 a pkera 6 och 8 i Laplaceraforabelle ger ifkioe 3 f 3 5e 3 är är eheiple. Fakorierig Näa eg är a fakoriera poloe A elig A p p p 4.35 är p k k är e cke reella och koplexa röera ill e karakeriika ekvaioe A. O röera p är iika alla röer är olika ora och reella ka F kriva o k Ck F F 4.36 p k k 4 9
4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer är C k k är koaer o bör beäa. Ifall e karakeriika ekvaioe har lipla reella röer reella röer o är lika ora ka F kriva o r Ck Ck F F k 4.37 p p k r kr är pr pk k r är r cke lika ora röer. I prakike förekoer ock älla lipla röer. Ifall koplexa röer förekoer ppräer ea o koplexkojgerae ropar p j är j är e iagiära ehee. Vi fakorierige av A ka e åa ropar aalå ill fakor. E er C C bör å iklera i parialbråkppelige av F. Ifall p och och reella pr p är e koplexkojgera ropar och röera p k k r är lipla a ree av röera är iika och reella få parialbråkppelige r Ck Ck C C k k pr kr pk 4.38 F F Mlipla koplexa röer ka äve haera e koer ie a behala i ea kr. Alla erer i parialbråkppelige av F är åaa a era iverraforer ekel hia i kopeie Laplaceraforabell på. 4 6 och 4 7. Elig perpoiioae är e öka fkioe f a av e ekila iverraforera. Beäig av koaera C k Koaera C k ka beäa på flera olika ä. Efero parialbråkppelige bör gälla för gockliga väre på variabel ka a äka ig a biera cke läplig vala olika väre på i parialbråkppelige och beäa C k k r e ekvaioer o ppår. E aa era allä eo är a förläga parialbråkppelige v liplicera båa lee e A och ärefer förkora bor äarrcke. De å erhålla rcke åe vara lika e B. Koaera C k ka å beäa r e ekvaioer o ppår är a kräver a parialbråkppelige kall gälla kil för varje poe av. Ifall röera är iika och reella beä C k ekla elig B li Ck pk 4.39 pk A Obervera a fakor p ka förkora bor o ovarae fakor i A. k k 4
4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Exepel 4.6. Rapvare för e föra orige e. Vi kall beäa e å kallae rapvare för e föra orige e. Iigale är e rap vilke iebär a e förära lijär e ie elig abae b är b är e koa. Elig exepel 4.4 har e föra orige e överförigfkioe K G T För e rap e ligkoefficiee b gäller i elighe e ekvaio 4.9 a e har Laplacerafore b U Uigale ge å av Kb Y G U 3 T Dea Laplacerafor fi i kopeie Laplaceraforabell e vi kall här illrera hr vi ka fia löige geo parialbråkppelig och iverraforerig av rea käa Laplaceraforer. Näare i ekvaio 3 är färig fakoriera; vi har e ekel ro / T och e bbelro. I elighe e ekvaio 4.37 gör vi å parialbråkppelige Kb T C C C 3 T 4 Förlägig e T ger Kb C T C T C3 5 Dea rck åe gälla kil för varje poe av vilke ger : Kb C C Kb : C CT C KbT : CT C3 C3 KbT 6 Iäig i ekvaio 4 och viare iäig i ekvaio 3 ger KbT Kb KbT Y 7 T Me hjälp av pkera och 5 i Laplaceraforabelle få å KbT Kb KbTe Kb T Te 8 / T / T Efer a iiialeffekera ö ärar ig igale ålee e rap e ligkoefficiee Kb. Direk illäpig av pk 7 i Laplaceraforabelle ger givevi aa var. 4
4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Övig 4.7. Iverraforera följae fkioer e hjälp av parialbråkppelig: a 3 F a b 4 3 5 F b. 6 5 4