Datorlaboration i differentialekvationer

Umeå Universitet --5 Matematiska instutitionen Datorlaboration i differentialekvationer

Umeå universitet --5 Inledning Laborationen består av fyra uppgifter och för detaljer och givna ekvationer i uppgifterna hänvisas till instruktionen för laborationens utförande. Task I denna uppgift handlar det om att lösa ett linjärt system av differentialekvationer. Problemet är styvt och systemet ska lösas med olika lösare för ordinära differentialekvationer, en anpassad för att lösa icke-styva och en anpassad för styva problem. Systemet ska även lösas under ett kort respektive ett korttidsintervall och resultaten i de olika fallen ska jämföras. Slutligen ska även systemets fasplan ritas och den kritiska punkten vid origo klassificeras. I beräkningarna används en personlig parameter,, som i mitt fall är * -3 =,. Parametern har i m-filen döpts till e (se nedan). Samma m-fil har använts i såväl uppgift a som b. function ydot =taska(t, y) e=*^(-3); ydot=[(998+e)*y()+998*y();(-999-e)*y()-999*y()]; Task a I uppgift a används ode45, som är en lösare för icke-styva problem, och ode5s, som är en lösare för styva problem, för att lösa systemet på tidsintervallet (, ). Graferna för komponenterna y (t) och y (t) mot tiden t konstrueras i båda fallen och redovisas i figur (ode45) respektive figur (ode5s). Som synes av figurerna så ger båda lösarna i princip samma resultat, men när antalet beräkningssteg undersöks med kommandot size(yout) visar det sig att antalet steg är betydligt större när ode45 används som lösare..5 Task a med ode45 data data lösning y.5 -.5 -...3.4.5.6.7.8.9 tid t Figur. Task löst med ode45. Data är y och data är y. Antal beräkningssteg: 45.

Umeå universitet --5.5 Task a med ode 5s data data lösning y.5 -.5 -...3.4.5.6.7.8.9 tid t Figur. Task a löst med ode5s. Data är y och data är y. Antal beräkningssteg: 48 Task b I uppgift b används samma lösare som i uppgift a, men beräkningarna görs över tidsintervallet (, ). Resultatet blir i båda fallen detsamma och redovisas i figur 3 respektive figur 4, men skillnaden i antalet beräkningssteg är ännu mer markant nu när tidsintervallet är större..5 Task b med ode45 data data lösningar y.5 -.5-4 6 8 4 6 8 tid t Figur 3. Task b med ode 45. Data är y och data är y. Antal beräkningssteg: 485. 3

Umeå universitet --5.5 Task b med ode5s data data lösning y.5 -.5-4 6 8 4 6 8 tid t Figur 4. Task b med ode 5s. Data är y och data är y. Antal beräkningssteg:. Task c Om man jämför resultatet i a och b, så ser man att tidsintervallet (,) är för kort för att systemet ska komma till ett läge där y (t) = y (t) =. Att undersöka systemet under ett längre tidsintervall är därför nödvändigt för att få en fullständig lösning till problemet. När ett styvt problem ska lösas under ett längre tidsintervall, så visar undersökningen av antalet beräkningssteg att det är bäst att använda en lösare som är anpassad för den typen av problem (se tabell ). Tabell. Antal beräkningssteg med ode45 och ode5s under kort respektive långt tidsintervall. Lösare Tidsintervall Antal beräkningssteg ode45 [, ] 45 ode5s [, ] 48 ode45 [, ] 485 ode5s [, ] Vid användandet av ode45 under det korta tidsintervallet så krävdes det 45 beräkningssteg jämfört med 48 för ode5s. Under det längre tidsintervallet krävdes det 485 steg för ode45 för att lösa det givna systemet av differentialekvationer, medan det bara krävdes steg för ode5s. Detta leder till slutsatsen att ode5s är bättre lämpat för att lösa styva problem, då färre beräkningssteg även innebär kortare tidsåtgång för att lösa problemet. 4

y Umeå universitet --5 Task d För att rita ett fasplan av systemet används pplane8 och resultatet av detta redovisas i figur 5. Den kritiska punkten i (, ) är markerad och några trajektorer har också ritats in i figuren. Pilar i riktningsfältet visar i vilken riktning trajektorerna går. Pplane8 har även använts för att beräkna egenvärdena av systemets Jacobian. Dessa är båda negativa, vilket enligt definition 5 i Differential equations with MATLAB: an (advanced) introduction innebär att den kritiska punkten är stabil. Om man närmare studerar pilarna i fasplanet så ser man att alla dessa är riktade mot den kritiska punkten, vilket gör att man kan säga att den kritiska punkten är assymptotiskt stabil. x ' = (998.) x + 998 y y ' = ( - 999.) x - 999 y Task d fasplan - - -3-4 - - 3 4 y Figur 5. Fasplan för y och y. X motsvarar y och y är y. Den kritiska punkt i (,) är assymptotiskt stabil. Task Här har vi en odämpad oscillator som påverkas av en yttre kraft, cos( t), som ska undersökas med ode45 i de fall där takt respektive resonans uppstår. En tredimensionell bild av de båda fallen ska också skapas. Då ekvationen är av andra ordningen måste den skrivas om så till ett system av första graden för att kunna lösas i MATLAB. Detta görs genom att sätta y = y och y = y. Detta ger då följande system: y = y y = cos( t) - y där = och är,95 - i a och i b. 5

Umeå universitet --5 Task a När den pålagda kraften ligger nära den naturliga frekvensen uppstår det ett fenomen som kallas beats, takt, och detta undersöks här med ode45 och =,95 - =,98. Detta ger följande m-fil: function ydot = taska(t, y) ydot = zeros(, ); ydot() = y(); ydot() = *cos(.98*t)-4*y(); Lösningen till systemet visas i figur 6 och man kan där se att det uppstår en vågrörelse där båda variablerna y och y är noll vid samma tidpunkter och har sina största amplituder samtidigt. 3 Task a med ode 45 och w=,98 data data lösningar y - - -3 4 6 8 4 6 8 tid t Figur 6. Task a med ode45 och w=,98. Oscillationerna sker i takt. Data motsvarar y och data är y. Task b Resonans uppstår när frekvensen av den pålagda kraften är densamma som den naturliga frekvensen och detta fall testas i denna uppgift med hjälp av ode45. I detta fall är alltså =. Detta ger då följande m-fil: function ydot = taskb(t, y) ydot = zeros(, ); ydot() = y(); ydot() = *cos(*t)-4*y(); 6

Umeå universitet --5 Resultatet av lösningen av detta system redovisas i figur 7. Oscillationerna sker med allt större amplitud ju längre tid som svängningarna pågår. 5 Task b med ode 45 och w= data data 5 lösningar y -5 - -5-4 6 8 4 6 8 tid t Figur 7. Task b med ode45 och w=. Resonans uppstår och oscillationerna sker med allt store amplitude. Data motsvarar y och data y. Task c I denna uppgift skapas tredimensionella bilder av takt och resonans för oscillatorn och resultatet av dessa visas i Figur 8 (takt) och figur 9 (resonans). Figurerna visar samma fenomen som i uppgift a och b, men i tre dimensioner. Även en animerad bild av resultatet togs fram under laborationen. Dessa ser dock i princip likdana ut som de tredimensionella bilderna och tillför ingen ytterligare information. 7

t t Umeå universitet --5 Task c Plot3 för w=,98 5 5 3 y - - -3-5 - -5 y 5 5 Figur 8. Tredimensionell bild av oscillator som svänger i takt. I beräkningarna har w=.98 använts. Task c Plot3 för w= 5 5 y - - - -5 y 5 Figur 9. Tredimensionell bild av oscillator i resonanssvängning. I beräkningarna har w= använts. 8

Umeå universitet --5 Task 3 Denna uppgift handlar om harmonisk svängning hos en fjäder under olika förhållanden. Liksom i uppgift är den harmoniska svängningen av andra ordningen och måste därför skrivas om till ett system av första ordningen för att kunna lösas med lösarna i MATLAB. Detta görs genom att sätta y = y och y = y, vilket leder till följande system: y = y y = -(c/m)y (k/m)y där m är massan, k fjäderkonstanten och c en dämpningskonstant. I de olika fall som testas under laborationen sätts m = och k = 6, medan c varierar från uppgift till uppift. Task 3a Till att börja med beräknas den harmoniska svängningen utan dämpning, dvs med c =. Detta ger följande m-fil: function ydot = task3a(t, y) ydot = zeros(,); ydot() = y(); ydot() = (-6)*y(); Resultatet av den harmoniska rörelsen mot tiden visas i figur och fasplanet redovisas i figur. Svängningarna fortgår med samma amplitud under hela tidsintervallet och av fasplanet ser det ut som att trajektorerna ser ut att bilda elliptiska banor runt origo. Den kritiska punkten skulle då utgöra ett center. 4 3 Task 3a - ingen dämpning data data lösningar y - - -3-4 4 6 8 4 6 8 tid t Figur. Harmonisk svängning utan dämpning. Data motsvara y och data är y. 9

y Umeå universitet --5 x ' = y y ' = - 6 x - - -3-4 - - 3 4 x Figur. Fasplan för harmonisk svängning utan dämpning. Task 3b När dämpnigskonstanten är c = + är systemet underdämpat och detta ger då följande m-fil: function ydot = task3b(t, y) ydot = zeros(,); ydot() = y(); ydot() = (-.)*y()+(-6)*y() Resultatet av att lösa detta system med ode45 redovisas i Figur och fasplanet konsturerat med hjälp av Pplane8 återfinns i figur 3. Utav figur kan man utläsa att amplituden hos svängningarna avtar något med tiden. I fasplanet har trajektorerna förskjutits något och pilarna i riktningsfältet går tvärare in mot y-axeln och den kritiska punkten skulle kunna utgöras av en nod istället för ett center.

Umeå universitet --5 4 3 lösningar y y Task 3b: Underdämpning data data - - -3-4 4 6 8 4 6 8 tid t Figur. Harmonisk svängning med underdämpning. Data är y och data är y. x ' = y y ' = ( -.) y - 6 x - - -3-4 - - 3 4 x Figur 3. Fasplan för harmonisk svängning med underdämpning.

Umeå universitet --5 Task 3c Med c = 8 uppstår kritisk dämpning av den hormoniska svängningen och det system av ekvationer som då uppstår ger följande m-fil: function ydot = task3c(t, y) ydot = zeros(,); ydot() = y(); ydot() = (-8)*y()+(-6)*y() Den harmoniska svängningen över tiden redovisas i figur 4 och fasplanet återfinns i figur 5. Den kritiska dämpningen gör att de två svängningarna sker med motsatt riktade amplituder och tar ut varandra mycket snabbt och svängningarna upphör. Även fasplanet förändras och man kan av figur 5 ana att trajektorerna viker av längs en linje med negativ lutning. Task 3c kritisk dämpning.5 lösningar y -.5 - -.5 4 6 8 4 6 8 tid t Figur 4. Harmonisk svängning med kritisk dämpning. Den blå linjen motsvarar y och den gröna y..

y Umeå universitet --5 x ' = y y ' = ( - 8) y - 6 x - - -3-4 - - 3 4 x Figur 5. Fasplan för harmonisk svängning med kritisk dämpning. Task 3d Slutligen löses systemet av ekvationer för den harmoniska svängningen med överdämpning, dvs med c = - = 9,978. Detta ger nedanstående m-fil: function ydot = task3d(t, y) ydot = zeros(,); ydot() = y(); ydot() = (-9.978)*y()+(-6)*y() I figur 6 redovisas den harmoniska svängningen över tid av det överdämpade systemet, medan motsvarande fasplan redovisas i figur 7. Liksom vid den kritiska dämpningen kommer de båda svängningarna att ta ut varandra och systemet slutar svänga efter en tid. Det tar dock något längre tid innan svängningen avstannar vid överdämpning än vid kritisk dämpning. Fasplanet liknar även det fasplanet från den kritiska dämpningen och trajektorerna viker av längs en rät linje med negativ lutning. 3

Umeå universitet --5.5 y Task 3d: överdämpning lösnignar y -.5 - -.5 4 6 8 4 6 8 tid t Figur 6. Harmonisk svängning med överdämpning. Den blå linjen motsvarar y och den gröna y. x ' = y ' = ( - 9.978) y - 6 x - - - 3-4 - - 3 4 x Figur 7. Fasplan för harmonisk svängning med överdämpning. 4

Umeå universitet --5 Task 4 I denna uppgift handlar det om att modellera vad som händer ifall zombier skulle attackera människorna. För att göra denna modellering används en variant av SIR-modellen som normalt används för att estimera verkningarna av ett sjukdomsutbrott. De tre differentialekvationerna som beskriver modellen återfinns i laborationsinstruktionen tillsammans med förklaringar för vad de olika variablerna och konstanterna står för. Task 4a För uppgiften väljs ett samhälle som från början består av individer, dvs S() =. Vid tiden t = finns inga döda, R() =, och det anländer då en zombie till samhället, Z() =. Utvecklingen studerades under en tidsperiod av 3 dagar. Modellen testas sedan med varierande värden på konstanterna (= a), (= b), (= c) och (= d). Resultatet av fem olika sådana modelleringar redovisas nedan. I samtliga fall har ode45 använts för att lösa systemet av ekvationer. Fall I det första fallet sattes låga värden på c och d, vilket motsvarar en låg omvandlingsgrad av döda till zombie och låg andel personer som dör av andra orsaker än kontakt med zombie. Överföringshastigheten till zombie sattes till nästan det dubbla jämfört med hur lätt det är att förgöra en zombie. M-filen för detta fall blir då: function SZR = task4(t, S, Z, R) SZR = zeros(3, ); a=.5 b=.95 c=. d=. SZR() = (-b)*s()*s()-d*s(); SZR() = b*s()*s()-c*s(3)-a*s()*s(); SZR(3) = d*s()+a*s()*s()-c*s(3); Resultatet av detta fall redovisas i figur 8 och visar att zombierna snabbt tar över i samhället medan människorna dör ut. Ungefär hälften av människorna dör av attacken medan de övriga omvandlas till zombier. 5

Umeå universitet --5 9 Task 4: Zombie attack med a=,5, b=,95, c=d=, S Z R 8 7 6 antal S, Z, R 5 4 3 5 5 5 3 tid t (dagar) Figur 8. En zombie kommer in i ett samhälle med individer och diagrammet visar utvecklingen under de 3 första dagarna. S()=, Z()=, R()=). a=,5, b=,95, c=,, d=,. Fall I den andra modelleringen ökas människornas möjligheter att förgöra zombier drastiskt, samtidigt som överföringshastigheten (c) minskas. Samtidigt sätts parametern för hur stor andel som dör av andra orsaker till noll, då systemet endast studeras under ett kort tidsintervall. De exakta värdena på konstanterna framgår av nedanstående m-fil: function SZR = task4(t, S, Z, R) SZR = zeros(3, ); a=.5 b=.95 c=. d= SZR() = (-b)*s()*s()-d*s(); SZR() = b*s()*s()-c*s(3)-a*s()*s(); SZR(3) = d*s()+a*s()*s()-c*s(3); 6

Umeå universitet --5 9 Task 4: zombie attack, a=,5, b=,95, c=,, d= S Z R 8 7 antal S; Z; R 6 5 4 3 5 5 5 3 tid t (dagar) Figur 9. En zombie kommer in i ett samhälle med individer och diagrammet visar utvecklingen under de 3 första dagarna. S()=, Z()=, R()=). a=,5, b=,95, c=,, d=. Zombin utrotas och ingen smittas. Som framgår av figur 9 leder den ökade möjligheten till att döda zombier till att denna snabbt förgörs och människopopulationen kan fortleva utan inverkan av zombier. Fall 3 I den tredje simuleringen sätts överföringshastigheten och möjligheten att döda zombier till samma värde samtidigt som andelen döda som blir zombier ökar jämfört med föregående simulering. Följande m-fil används för fall 3: function SZR = task4(t, S, Z, R) SZR = zeros(3, ); a=.5 b=.5 c=. d= SZR() = (-b)*s()*s()-d*s(); SZR() = b*s()*s()-c*s(3)-a*s()*s(); SZR(3) = d*s()+a*s()*s()-c*s(3); 7

Umeå universitet --5 4 Task 4: Zombieattack, a=,5, b=,5, c=,, d= S Z R 8 antal S; Z; R 6 4 - -4 5 5 5 3 tid t (dagar) Figur. En zombie kommer in i ett samhälle med individer och diagrammet visar utvecklingen under de 3 första dagarna. S()=, Z()=, R()=). a=b=,5, c=,, d= I figur visas resultatet av simuleringen i fall 3. Människopopulationen ser ut att fortleva medan zombierna dör ut. Resultatet kan dock inte ses som trovärdigt då antalet människor under den andra halvan av tidperioden ökar till över ingångsvärdet ( stycken), trots att det inte finns någon parameter för födslar. Samtidigt som denna ökning sker av antalet människor så sjunker antalet döda under noll, vilket då skulle betyda att döda återuppstår som människor. Såsom jag tolkat uppgiften kan dock döda endast återuppstå som zombies. Fall 4 I det fjärde fallet sätts låga värden på samtliga konstanter. Överföringshastigheten sätts dock högre än hur lätt det är att förgöra zombier och följande m-fil används: function SZR = task4(t, S, Z, R) SZR = zeros(3, ); a=. b=.5 c=. d=. SZR() = (-b)*s()*s()-d*s(); SZR() = b*s()*s()-c*s(3)-a*s()*s(); SZR(3) = d*s()+a*s()*s()-c*s(3); 8

Umeå universitet --5 9 Task 4: Zombieattack, a=,, b=,5, c=,, d=, S Z R 8 7 6 Antal S, Z, R 5 4 3 5 5 5 3 tid t (dagar) Figur. En zombie kommer in i ett samhälle med individer och diagrammet visar utvecklingen under de 3 första dagarna. S()=, Z()=, R()=). a=,, b=,5, c=,, d=,. Av figur framgår det att människopopulationen även nu dör ut, men att minskningen nu sker mindre drastiskt, så att det efter 5 dagar fortfarande finns mer än människor kvar. Med tiden verkar det som att zombiepopulationen stabiliserar sig kring 3 4 stycken. Fall 5 I det sista fallet ökas möjligheten att döda zombier något, men ligger fortfarande strax under överföringshastigheten. Parametern för hur många som dör av andra orsaker sätts återigen till noll och detta ger följande m-fil: function SZR = task4(t, S, Z, R) SZR = zeros(3, ); a=.3 b=.5 c=. d= SZR() = (-b)*s()*s()-d*s(); SZR() = b*s()*s()-c*s(3)-a*s()*s(); SZR(3) = d*s()+a*s()*s()-c*s(3); Figur visar resultatet av simuleringen i fall 5 och här ser vi att det fortfarande finns människor kvar i slutet av tidsperioden. Människopopulationen står emot zombieattacken 9

Umeå universitet --5 under en längre tid än i tidigare fall, men minskningen är ganska kraftig i slutet av tidperioden. Antalet döda ökar kraftigt mot slutet samtidigt som zombiepopulationen växer långsamt. 9 Task 4: Zombieattack, a=,3, b=,5, c=,, d= S Z R 8 7 6 antal S, Z, R 5 4 3 5 5 5 3 tid t (dagar) Figur. En zombie kommer in i ett samhälle med individer och diagrammet visar utvecklingen under de 3 första dagarna. S()=, Z()=, R()=). a=,3, b=,5, c=,, d=. För att se hur fall 5 utvecklar sig görs simuleringen över ett längre tidsintervall om dagar. Resultatet av denna simulering visas i figur 3 och där framgår det att människopopulationen dör ut. Zombierna ökar i antal till dess att alla människor är döda innan de sakta börjar minska i antal. Om zombierna inte har några människor att attackera och inte heller kan föröka sig själva på något sätt kommer även den populationen att dö ut på sikt. Eller har zombier evigt liv?

Umeå universitet --5 8 Task 4: Zombieattak - fall 5 under längre tidsintervall S Z R 6 Antal S, Z, R 4-3 4 5 6 7 8 9 tid t (dagar) Figur 3. Fall 5 under längre tidsintervall. Task 4b I fall och 4 dör människorna ut och zombierna vinner under det undersökta tidsintervallet. Detsamma kan sägas gälla för fall 5 om man studerar det under ett längre tidsintervall. I fall vinner människorna och så ser det även ut att vara i fall 3. Dock kan reliabiliteten i modellen ifrågasätts för fall 3 då människopopulationen ökar över initialvärdet, trots att modellen inte tar med människofödslar, och antalet döda får ett negativt värde. Task 4c Mänskligheten kommer att utrotas av zombier om vi inte är beredda på deras attack och finner ett effektivt sätt på vilket zombierna kan dödas! Detta är den slutsats man kan dra av de gjorda simuleringarna. Modellen har dock vissa brister då den inte tar hänsyn till fortplantning eller möjligheten för människorna att hitta ett vaccin som hindrar dem att förvandlas till zombier eller att vissa människor kanske kan utveckla immunitet i ett längre tidsperspektiv.