SAL: Egypten TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI TID: 2016-06-08 kl. 08:00 12:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 JOURHAVANDE LÄRARE: Svante Gunnarsson, tel. 013-281747, 0703-994847 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel. 013-284042, 0708-783670 BESÖKER SALEN: cirka kl. 09:00 och 11:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-284725, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Publiceras på kursens websida senast den 10/6. VISNING av tentan äger rum 2016-06-29, kl. 12.30 13.00 på examinators tjänsterum, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2
1. (a) Nedan listas fem uppgifter som du kan ställas inför som reglertekniker. Under dessa uppgifter finns fem reglertekniska verktyg listade. Para ihop rätt uppgift (siffra) med rätt verktyg (bokstav) och motivera noggrant varför. Uppgift: 1. Du har ett system på tillståndsform. Du vill beräkna tillståndets kovariansmatris ( storlek ) då insignalen till systemet är vitt brus. 2. Du vill för ett system med två tillstånd grafiskt illustrera hur tillstånden konvergerar mot en jämviktpunkt. 3. Du vill beräkna förstärkningen för ett linjärt dynamiskt system. 4. Du vill beräkna observatörsåterkopplingen K i ett Kalmanfilter. 5. Du hade tänkt att använda MPC, men har egentligen inget behov av att hantera bivillkor på tillstånd och styrsignaler. Verktyg: A. Riccatiekvation. B. Singulära värden. C. LQ. D. Lyapunovekvation. E. Fasplan. (b) Betrakta systemet [ 5 s+2 1 s 4 ] 1 (s+2)(s+3) 7 s+3 (5p) Ange var systemet har sina poler (multiplicitet behöver ej anges). Svaret ska motiveras med räkningar för hand. (2p) 3
(c) Din chef kommer in strålande glad och säger sig ha lovat en kund att konstruera ett reglersystem som vid 5 rad/s har egenskaperna att det dämpar störningar på utgången med 10 ggr, d.v.s. beloppet av överföringsfunktionen från störning på utgången till reglerstorhet är maximalt 0.1 vid denna frekvens. en störning på mätningen högst påverkar reglerstorheten med en tiondel av störningens amplitud, d.v.s. beloppet av överföringsfunktionen från mätstörning till reglerstorhet är maximalt 0.1 vid denna frekvens. Till skillnad från din chef ler du inte när du hör detta, utan blir istället djupt bekymrad. Varför? Ditt svar ska inkludera ett matematiskt uttryck innehållande absolutbeloppen av överföringsfunktionerna ovan utvärderade vid vinkelfrekvensen 5 rad/s. (3p) 4
2. Betrakta en lastbil med trailer som backar. En tillståndsmodell över systemet ges av ẋ 1 = tan(x 3 ) ẋ 2 = tan(x 2) L 2 cos(x 3 ) + 1 L 1 cos(x 2 ) cos(x 3 ) tan(u) x 2 x 3 = L 2 cos(x 3 ) (1) där tillstånden x 1 = z är trailerns bakaxels avvikelse i sidled från en linje som vi vill följa, x 2 = θ 1 är vinkeln mellan trailer och lastbil, x 3 = θ 2 är vinkeln mellan trailern och linjen. Insignalen ges av u som är styrvinkeln på lastbilen. I räkningarna som följer antar vi att x 2 < π/2, x 3 < π/2 och u < π/2. (a) Ett enkelt variabelbyte på insignalen överför systemet till styrsignalaffin form. Utför det och skriv systemet på denna form. (2p) (b) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 3. Visa att så är fallet genom att utföra lämpliga räkningar. (5p) (c) Ta fram en styrlag på formen u = f 3 ((ū f 1 (x))/f 2 (x)) med potentiellt olinjära funktioner f 1 (x), f 2 (x) och f 3 (x) sådana att systemet i (1) blir exakt linjäriserat och får en ny virtuell insignal ū. Tips: Funktionen f 3 (x) relaterar till variabelbytet i deluppgift (a). (2p) (d) I exemplet ovan och generellt sett vid exakt linjärisering fås ett linjärt system sett från den virtuella insignalen ū. Som du vet har man så gott som alltid modellfel i praktiken. Om man skulle vilja analysera inverkan av dessa i exemplet ovan; måste man då använda sig av olinjär analys eller räcker det med linjär analys eftersom systemet är exakt linjäriserat? (1p) 5
3. En servomotor styrs av ett relä med hysteres enligt figuren nedan θ ref = 0 1 u 1 s(s + 2) 0.5 1 0.5 θ 1 Ange approximativt amplitud och frekvens för eventuella självsvängningar i systemet. Ange också om eventuella svängningar är stabila eller inte. (10p) 6
4. Du har blivit anställd av en svensk segelbåtstillverkare som vill testa ett nytt koncept för en sportig cruising-båt. För att erbjuda bra prestanda är båten utrustad med en s.k. svängköl, vilket innebär att kölens vinkel kan styras i förhållande till skrovet. Detta innebär att kölen kan svängas ut under vattnet i riktning mot den inkommande vinden, vilket gör att skrovet inte lutar lika mycket. Det nya koncept som ska testas är att använda en autopilot (regulator) som styr båtens roder och svängkölens vinkel mot skrovet. Målet med regleringen är att effekten från vindstörningar ska dämpas så att kursavvikelsen blir mindre och att båtens lutning reduceras. Den svängbara kölen och rodret är illustrerat i figur 1. Signalerna Ψ och ω z betecknar girvinkel respektive girvinkelhastighet, Φ och ω x rollvinkel respektive rollvinkelhastighet, δ och ω r rodervinkel respektive rodervinkelhastighet, samt α och ω k kölvinkel respektive kölvinkelhastighet i förhållande till skrovet. Se figur 1. Systemet har modellerats på linjär tillståndsform ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B w w(t) z(t) = Cx(t) (2a) (2b) med åtta tillstånd x 1 x 8 som inte har någon direkt fysikalisk tolkning. Reglerstorheterna är z 1 = Ψ, z 2 = ω z, z 3 = ω r, z 4 = δ, z 5 = Φ, z 6 = ω x, z 7 = ω k och z 8 = α. Styrsignalerna är spänningen ( 100% +100%) till elmotorer som påverkar rodrets vinkel δ och kölens vinkel α. Dessa båda spänningar återfinns i tillståndsbeskrivningen som u 1 respektive u 2. Signalen w betecknar vindstörningen. 7
α, ω k Φ, ω x w Ψ, ω z δ, ω r w Figur 1: Segelbåt sedd bakifrån respektive uppifrån. Styrsignalerna är spänningen ( 100% +100%) till elmotorer som påverkar kölens vinkel α och rodrets vinkel δ. Vindstörningen w resulterar i en kraft på seglet som i sin tur gör att båten lutar och att båten vrider upp sig mot vinden. 8
(a) Innan du kan börja jobba med uppgiften i Matlab måste du först ändra Matlabsökvägen samt kopiera en fil. Det du ska utföra är följande: 1. Kör kommandot addpath( /site/edu/rt/tsrt09/tenta/ ) i Matlabs kommandofönster. 2. Öppna ett terminalfönster, gå till din arbetskatalog och kör kommandot cp /site/edu/rt/tsrt09/uppg4.m. (notera den sista punkten). 3. Kör chmod 600 uppg4.m i terminalfönstret. Filen uppg4.m laddar alla nödvändiga data, startar en simulering av simulink-filen sailboat.mdl där det slutna systemet utsätts för en lagrad vindstörning, plottar tillstånd och styrsignaler från simuleringen, samt innehåller en sektion där du ska lägga till kod som räknar fram en lämplig tillståndsåterkoppling L (variabeln L används av sailboat.mdl). När uppg4.m har körts en gång finns A-, B-, C- och D-matriserna tillgängliga i workspace. Designa med hjälp av linjärkvadratisk metodik en regulator på formen u = Lx som minimerar kriteriet V = och uppfyller kraven 0 z T (t)q 1 z(t) + u T (t)q 2 u(t)dt (3) Girvinkel: z 1 5 Rodervinkel: z 4 30 Rollvinkel: z 5 10 Kölvinkelhastighet: z 7 10 /s Kölvinkel: z 8 10 Styrsignalerna ska uppfylla u 1 100% och u 2 100%. under en körning av uppg4.m. Notera att tillstånden är kända och inte behöver skattas samt att den enda filen du ska göra ändringar i är uppg4.m. Visa att du har uppfyllt kraven genom att plotta och skriva ut samtliga tillstånd och styrsignaler efter att filen uppg4.m har körts. Lämna också in en utskrift av filen uppg4.m där det tydligt framgår hur regulatorn har beräknats, ange numeriskt det L du använt samt ange den valideringskod som uppg4.m genererade i kommandofönstret. (4p) (b) Antag nu att inte alla tillstånd är direkt mätbara utan mätningarna från systemet ges av ekvationen y(t) = Ex(t) + v 2 (t) (4) 9
där E är en matris av lämplig dimension och v 2 (t) är vitt brus. Antag vidare att störningen w(t) i (2) beskrivs av ekvationen w(t) = 1 s + ε v 1(t) (5) där ε är ett mycket litet tal och v 1 (t) är vitt brus. Formulera en utökad tillståndsmodell baserad på ekvationerna i (2a), (4) och (5) som kan användas i ett kalmanfilter för att skatta tillståndet x(t). Förklara också i ord vad störningsmodellen i (5) ger för eftertraktad principiell egenskap hos känslighetsfunktionen om kalmanfiltret i uppgiften används som observatör vid LQ-reglering med skattade tillstånd. (4p) (c) När en LQ-återkoppling kombineras med en observatör som skattar systemets tillstånd så förlorar man de mycket tilltalande stabilitetsmarginalerna som LQ har vid återkoppling från direkt mätta tillstånd. Ange ett sätt att råda bot på detta som garanterar ett stabilt nominellt slutet system. (2p) 10
5. Systemet G(s) = 1 s med insignal u och utsignal y regleras med PI-regulatorn ẋ 1 = e u = sat(x 1 + e) där e = r y är reglerfelet och sat är mättnadsfunktionen: v v 1 sat(v) = 1 v > 1 1 v < 1 Vi har alltså modellerat att PI-regulatorn bara kan ställa ut en begränsad styrsignal. Betrakta fallet att r = 0. (a) Ställ upp en tillståndsmodell för det slutna system som uppstår då G återkopplas med PI-regulatorn. Avgör vilka jämviktspunkter som finns, deras stabilitetsegenskaper och deras typ (fokus, tvåtangentnod, sadelpunkt,...). Skissa fasplanets utseende. Vilken inverkan får mättningen? (6p) (b) Antag att PI-regulatorn modifieras så att x 1 fryses när styrsignalen är mättad: { e x1 + e 1 ẋ 1 = 0 x 1 + e > 1 u = sat(x 1 + e) Visa att man i detta fall får så kallat klapper ( chattering ), dvs längs vissa kurvor (vilka?) i fasplanet kommer hastigheten att växla oändligt snabbt mellan två olika värden. Diskutera vad som kommer att hända praktiskt och hur regulatorn kommer att bete sig. (4p) 11