Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2014-03-18 Sal (1) Egypten, Asgård, Olympen och Southfork (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 14:00 18:00 Kurskod TSRT09 Provkod DAT1 Kursnamn/benämning Reglerteori Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Daniel Axehill (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden 013-284042, 0708-783670 Besöker salen cirka kl. 15:00 och 17:00 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen
TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI SAL: Egypten, Asgård, Olympen och Southfork TID: 2014-03-18 kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel. 013-284042, 0708-783670 BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 2014-04-08, kl. 12.30 13.00 i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2
1. (a) Nedan listas fem uppgifter som du kan råka ut för som reglertekniker. Under dessa uppgifter finns fem reglertekniska verktyg listade. Para ihop rätt uppgift (siffra) med rätt verktyg (bokstav) och motivera noggrant varför. Uppgift: 1. Du behöver mäta en signal som du inte har råd att sätta en sensor på. 2. Du skulle behöva visa global asymptotisk stabilitet för ett olinjärt system. 3. Givet ett kvadratiskt uttryck för effekten i reglerfelet och ett kvadratiskt uttryck för effekten i styrsignalen vill du göra en reglering som kan tolkas som en optimal avvägning mellan storleken hos dessa i tidsplanet. 4. Du blir ombedd att designa ett slutet system för vilket det gäller att S(iω) < 0.01, ω och T (iω) < 0.01, ω, där kretsförstärkningen G(s)F y (s) avtar som s 2. 5. Du vill skapa ett slutet system för vilket det gäller att S(iω) < 25s 2 och T (iω) < s2 +0.001s+0.04, ω. s 2 +s+0.04 Verktyg: A. LQ-design B. H -design C. Kalmanfilter D. Lyapunovfunktion E. Bodes integralsats (b) Betrakta ett linjärt system på formen ẋ = Ax (5p) med två tillstånd x 1 och x 2. I figur 1 återfinns en tidsplot av x 1 (t) resp. x 2 (t). Baserat på dessa plottar, skissa fasplanet (inkl. riktning) för systemet. Tips: Notera att några ringar är utritade vid samma tidpunkter i båda plottarna. Några av dessa punkter (t.ex.) kan vara lämpliga att använda som stöd när fasplanet skissas. (2p) 3
x 1 x 2 x 1 (t) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t x 2 (t) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Figur 1: Tidsplottar av tillstånden x 1 och x 2. 4
(c) Beräkna poler och nollställen till systemet 2 1 0 1 0 ẋ(t) = 1 1 0 x(t) + 0 1 u(t) 1 0 9 1 0 ( ) 1 0 0 y(t) = x(t) 1 1 0 utan att använda Matlab-kommandona pole, zero eller tzero. Tips: Tänk på att det är polerna, och inte egenvärdena, som efterfrågas! (3p) 5
2. Ett system G(s) = 100 s(s + 1)(s + 7) med insignal u och utsignal y styrs med en mättad P-regulator: 1 y < 1 u = y y 1 1 y > 1 Beräkna, med hjälp av beskrivande funktion, amplitud och frekvens för eventuella självsvängningar och ange deras amplitudstabilitet. (10p) 6
3. Betrakta en olinjär något förenklad modell av vinkeldynamiken hos en inverterad pendel ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 2 2x 1 + 30 sin(x 1 ) cos(x 1 )x 3 ẋ 3 = x 3 + u där x 1 är pendelns vinkel relativt en lodrät linje och x 1 = 0 innebär att pendeln står rakt upp, x 2 är pendelns vinkelhastighet, x 3 kraften som påverkar vagnen som nederdelen av pendeln vilar på och u är spänningen till motorn som driver vagnen. (a) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 3. Visa att så är fallet genom att utföra lämpliga räkningar. (4p) (b) Ange ett område innehållande x 1 = 0 där systemet har starkt relativt gradtal 3. Ta för detta område fram en styrlag på formen u = (ū f 1 (x))/f 2 (x) med potentiellt olinjära funktioner f 1 (x) och f 2 (x) sådana att systemet blir exakt linjäriserat i det angivna området och får en ny virtuell insignal ū. (3p) (c) Designa en regulator som styr pendelns vinkelläge genom att använda linjär IMC-teknik. Regulatorn ska styra systemet via ū. Stigtiden för det slutna systemet ska vara 0.1 s och den statiska förstärkningen 1. Din lösning ska innehålla en plot med ett stegsvar för slutna systemet från referens till vinkel där det tydligt framgår att kraven på stigtid och statisk förstärkning är uppfyllda. Tips: I den här uppgiften kan du arbeta med det exakt linjäriserade systemet, d.v.s. det linjära system som regulatorn ser när den styr via ū. Om du försöker använda det olinjära systemet tillsammans med den linjäriserande styrlagen, som är teoretiskt sett ekvivalent, kan du få numeriska problem. (3p) 7
4. Du har blivit anställd av en svensk segelbåtstillverkare som vill testa ett nytt koncept för en sportig cruising-båt. För att erbjuda bra prestanda är båten utrustad med en s.k. svängköl, vilket innebär att kölens vinkel kan styras i förhållande till skrovet (kölen är den fenformade motvikten under båten som förhindrar att båten kantrar när vinden kommer från sidan). Detta innebär att kölen kan svängas ut under vattnet i riktning mot den inkommande vinden, vilket gör att skrovet inte lutar lika mycket. Resultatet blir bättre prestanda och en mer komfortabel segling med mindre lutning. Det nya koncept som ska testas är att använda en autopilot (regulator) som styr båtens roder och svängkölens vinkel mot skrovet. Målet med regleringen är att effekten från vindstörningar ska dämpas så att kursavvikelsen blir mindre och att båtens lutning reduceras. Den svängbara kölen och rodret är illustrerat i figur 2. Vidare betecknar Ψ och ω z girvinkel respektive girvinkelhastighet, Φ och ω x rollvinkel respektive rollvinkelhastighet, δ och ω r rodervinkel respektive rodervinkelhastighet, samt α och ω k kölvinkel respektive kölvinkelhastighet i förhållande till skrovet. Se figur 2. Systemet har modellerats på linjär tillståndsform ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B w w(t) y(t) = Cx(t) (1) med tillstånden x 1 = Ψ, x 2 = ω z, x 3 = ω r, x 4 = δ, x 5 = Φ, x 6 = ω x, x 7 = ω k och x 8 = α. Styrsignalerna är spänningen ( 100% +100%) till elmotorer som påverkar rodrets vinkel δ och kölens vinkel α. Dessa båda spänningar återfinns i tillståndsbeskrivningen som u 1 respektive u 2. Signalen w betecknar vindstörningen. 8
α, ω k Φ, ω x w Ψ, ω z δ, ω r w Figur 2: Segelbåt sedd bakifrån ( akterifrån ) respektive uppifrån. Styrsignalerna är spänningen ( 100% +100%) till elmotorer som påverkar kölens vinkel α och rodrets vinkel δ. Vindstörningen w resulterar i en kraft på seglet som i sin tur gör att båten lutar och att båten vrider upp sig mot vinden ( lovgirig ). 9
(a) Innan du kan börja jobba med uppgiften i Matlab måste du först ändra Matlabsökvägen samt kopiera en fil. Det du ska utföra är följande: 1. Kör kommandot addpath( /site/edu/rt/tsrt09/tenta/ ) i Matlabs kommandofönster. 2. Öppna ett terminalfönster, gå till din arbetskatalog och kör kommandot cp /site/edu/rt/tsrt09/uppg4.m. (notera den sista punkten). 3. Kör chmod 600 uppg4.m i terminalfönstret. Filen uppg4.m laddar alla nödvändiga data, startar en simulering av simulink-filen sailboat.mdl där det slutna systemet utsätts för en lagrad vindstörning, plottar tillstånd och styrsignaler från simuleringen, samt innehåller en sektion där du ska lägga till kod som räknar fram en lämplig återkoppling L (variabeln L används av sailboat.mdl). När uppg4.m har körts en gång finns A-, B-, C- och D-matriserna tillgängliga i workspace. Designa med hjälp av linjärkvadratisk metodik en regulator på formen u = Lx som uppfyller kraven Girvinkel: x 1 5 Rodervinkel: x 4 30 Rollvinkel: x 5 10 Kölvinkelhastighet: x 7 10 Kölvinkel: x 8 10 Styrsignalerna ska uppfylla u 1 100% och u 2 100%. under en körning av uppg4.m. Notera att den enda filen du ska göra ändringar i är uppg4.m. Visa att du har uppfyllt kraven genom att plotta och skriva ut samtliga tillstånd och styrsignaler efter att filen uppg4.m har körts. Lämna också in en utskrift av filen uppg4.m där det tydligt framgår hur regulatorn har beräknats, ange numeriskt det L du använt samt ange den valideringskod som uppg4.m genererade i kommandofönstret. (4p) (b) Båttillverkaren har upptäckt att en regulator på denna form kan ge ett ganska stort statiskt fel (varken kursvinkeln eller båtens lutning blir noll i steady-state). Dessutom skulle de tycka att det vore bra om inte alla tillstånd behövde mätas med mycket exakta sensorer. Efter en kurs i reglerteori vet du att regulatorn i (a) kan modifieras så att en konstant störning regleras ut fullständigt när t genom att införa ett kalmanfilter och att modellera störningen på ett lämpligt sätt i modellen som används i detta filter. Din uppgift blir att utöka tillståndsmodellen i ekvation (1) med en 10
lämplig störningsmodell som ger denna egenskap om den används i ett kalmanfilter tillsammans med en återkopplingen av typen i (a) och att skriva denna utökade modell på formen x(t) = Ã x(t) + Bu(t) + Nv 1 (t) y(t) = C x(t) + v 2 (t) där v 1 och v 2 är vita brus. Du behöver alltså inte ta fram själva kalmanfiltret, det räcker med att redovisa vilken modell det ska appliceras på. I ditt svar kan du använda det ursprungliga systemets systemmatriser A, B, B w och C, om du anser det lämpligt (numeriska data för dessa matriser behöver inte sättas in). Utökningen för störningen ska vara fullständigt specificerad, d.v.s. inga godtyckliga konstanter får finnas med. (4p) (c) När en LQ-återkoppling kombineras med en observatör som skattar systemets tillstånd så förlorar man de mycket tilltalande stabilitetsmarginalerna som LQ har vid återkoppling från direkt mätta tillstånd. Ange ett sätt att råda bot på detta som garanterar ett stabilt nominellt slutet system. (2p) 11
5. Betrakta ett styckvis linjärt system där dynamiken i olika delar av tillståndsrummet ges av ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 fx 2 1 om x 2 > 1 ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 fx 2 + 1 om x 2 < 1 ẋ 1 = 1 ẋ 2 = 0 om x 2 = 1 och x 1 + fx 2 1.5 I räkningarna i den här uppgiften kommer vi anta att f = 0.02. För detta värde på f ges fasplanet av figur 3. (a) Ansätt en lyapunovfunktion och visa med hjälp av den att jämviktspunkten i x 1 = 1 och x 2 = 0 är (lokalt) asymptotiskt stabil. Tips: Tänk på att vi i det här fallet inte vill visa att systemet konvergerar mot origo, utan mot en annan punkt. Ett sätt att hantera detta är att göra ett (enkelt) variabelbyte. (6p) (b) Givet ditt val av lyapunovfunktion V (x) i a-uppgiften, beräkna det största område kring jämviktspunkten x 1 = 1 och x 2 = 0 där den kan användas för att visa asymptotisk stabilitet. Motivera som vanligt dina slutsatser noggrant. (4p) 2 1.5 1 A C B 0.5 x 2 0 0.5 1 1.5 2 2 1 0 1 2 x 1 Figur 3: Fasplan för det styckvis linjära systemet i uppgift 5. 12