Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4 P.4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen f() = +. så ser vi att den har värdemängden [0, ). Eftersom funktionen G har utseendet någonting där någonting antar alla icke-negativa värden, är G:s värdemängd också [0, ). Uttrcket + är definierat för alla, vilket betder att f:s definitionsmängd är (, ). Om vi ritar upp grafen till funktionen, P.4.4 Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen F () = /( ). så ser vi att har värdemängden [0, ). Funktionen f har en graf som ovanstående förskjuten en enhet uppåt. f:s värdemängd är alltså [, ). Funktionen F är definierad överallt utom där nämnaren är noll, d.v.s. överallt utom där = 0 =. Definitionsmängden är därmed de två intervallen (, ) och (, ). Funktionen / har grafen P.4.3 Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen G() = 8. För att 8 ska vara definierad måste uttrcket under kvadratroten vara icke-negativ, d.v.s. 8 0 4. Funktionen G:s definitionsmängd är alltså (, 4]. Ritar vi upp funktionen, och värdemängden (, 0) (0, ). F har också utseendet F () = någonting där någonting antar alla värden utom noll. F :s värdemängd är därför de två intervallen (, 0) (0, ).
P.4.3 Vilka smmetrier har grafen till Speciellt, är f jämn eller udda? f() =? Vi undersöker först om f är jämn eller udda.. Om vi har att f( ) = f() för alla, då är f en jämn funktion.. Om vi har att f( ) = f() för alla, då är f en udda funktion. Vi har att Alltså är f udda. f( ) = ( ) = = f(). Funktionen f har en smmetri kring värdet = L om f antar samma värde (eller samma värde med motsatt tecken) i smmetriska punkter kring = L. Om = L+t är en punkt till höger om = L, då är = L t den smmetriska punkten till vänster om = L. L t Vi ska alltså undersöka om det finns något L så att L L + t f(l + t) = f(l t) för alla t, Vi samlar allt i ena ledet t 3 (L )t = 0, för alla t. Detta polnom är inte lika med noll för alla t, oavsett hur vi väljer L. Alltså finns ingen smmetri av tpen f(l + t) = f(l t).. Vi undersöker om L + t f(l + t) = (L + t) = f(l t) = L t (L t) (L + t) ( (L t) ) = (L t) ( (L + t) ) Vi samlar allt i ena ledet L 3 + Lt L t L + L t + t 3 Lt t = L 3 Lt L t + L + L t + t 3 + Lt t. L t + L(L ) = 0, för alla t. Ett polnom är identiskt noll omm (om och endast om) dess koefficienter alla är noll, d.v.s. L = 0 L(L ) = 0 L = 0. Funktionen har alltså endast en udda smmetri kring L = 0 (vilket vi redan visste). eller f(l + t) = f(l t) för alla t. Vi kontrollerar om något sådant L finns.. Vi undersöker om L + t f(l + t) = (L + t) = f(l t) = L t (L t) (L + t) ( (L t) ) = (L t) ( (L + t) ) L 3 + Lt L t L + L t + t 3 Lt t = L 3 + Lt + L t L L t t 3 Lt + t. P.4.4 Vilka smmetrier har grafen till Speciellt, är f jämn eller udda? f() =? Funktionen f är smmetrisk kring = L om
. f(l + t) = f(l t), för alla t, eller. f(l + t) = f(l t), för alla t. Vi undersöker om och för vilka L dessa smmetrier inträffar.. Vi undersöker om f(l + t) = (L + t) = f(l t) = (L t) (L + t) = (L t) L + Lt + t = L Lt + t 4L t = 0, för alla t. Detta polnom är identiskt noll om dess koefficienter är noll, d.v.s. L = 0. Funktionen är alltså jämn kring = 0.. Vi undersöker om f(l + t) = (L + t) = f(l t) = (L t) (L + t) = (L t) + L + Lt + t = L + Lt t + t + (L ) = 0, för alla t. Detta polnom är inte identiskt noll oavsett hur L väljs. Alltså finns inga udda smmetrier för f.. f(l + t) = f(l t), för alla t, eller. f(l + t) = f(l t), för alla t. Om punkt är uppflld är f en jämn funktion kring = L. Om punkt är uppflld är f en udda funktion kring = L. Vi undersöker om sådant L finns.. Vi har f(l + t) = (L + t) 3 = f(l t) = (L t) 3. Vi ser direkt att om t = L då är (L + t) 3 = 0 medan (L t) 3 = 8L 3. För att båda uttrck ska vara lika måste L = 0. Även med detta val av L återstår att undersöka om f(l + t) = f(l t) för övriga värden på t. Vi har f(0 t) = ( t) 3 = t 3 = t 3 = f(0 + t). Med andra ord är f(l t) = f(l + t) omm L = 0.. Vi har att f(l + t) = (L + t) 3 = f(l t) = (L t) 3. Uttrcket (L+t) 3 är alltid icke-negativt medan uttrcket (L t) 3 alltid är icke-positivt. Den enda möjligheten att de två uttrcken skulle vara lika vore om de båda är 0 för alla t, men det är de inte. Funktionen saknar alltså udda smmetrier. Från punkt ser vi att f är en jämn funktion. Från punkt har vi att f är en jämn funktion. P.4.0 Vilka smmetrier har grafen till f() = +? Speciellt, är f jämn eller udda? P.4.9 Vilka smmetrier har grafen till f() = 3? Speciellt, är f jämn eller udda? Vi har att undersöka om det finns något = L så att Vi ska undersöka om det finns något = L så att. f(l + t) = f(l t), för alla t, eller
. f(l + t) = f(l t), för alla t. Vi undersöker dessa två fall.. Vi har att (se sidan 8 i kursboken) och då blir uppgiften nästan identisk med P.4.0. Samma tp av undersökningar ger att f har en jämn smmetri kring L = och är varken jämn eller udda. f(l + t) = L + t + = f(l t) = L t +. Om t = L då är L + t + = 0 och L t + = (L + ). För att vi överhuvudtaget ska ha någon smmetri måste alltså L + = 0 eller L =. Om L = då är f( + t) = + t + = t f( t) = t + = t = t. Alltså är f smmetrisk kring L =.. Vi har att f(l + t) = L + t + = f(l t) = L t + L + t + + L t + = 0, för alla t. Eftersom vänsterledet är en summa av två icke-negativa tal måste L + t + = L t + = 0, för alla t, vilket inte inträffar, oavsett L:s värde. Funktionen saknar alltså udda smmetrier. Från punkterna ovan ser vi att f är varken jämn eller udda (inga smmetrier kring L = 0). P.4.6 Skissera grafen till f() = ( ) +. Om vi börjar med funktionen så har den grafen, Förskjuter vi grafen en enhet åt höger får vi grafen till ( ). Slutligen ger en förskjutning med en enhet uppåt grafen till ( ) +. P.4. Vilka smmetrier har grafen till f() = ( )? Speciellt, är f jämn eller udda? Vi kan skriva f som f() =,
P.4.9 Skissera grafen till f() = +. Grafen till har utseendet i figuren till vänster. Genom att förskjuta grafen en enhet uppåt får vi grafen till f() = +. P.4.3 Skissera grafen till f() =. Vi får grafen till f genom att förskjuta grafen till en enhet neråt. P.4.33 Skissera grafen till f() =. P.4.30 Skissera grafen till f() = +. Vi får grafen till f genom att förskjuta grafen till en enhet åt vänster. Om vi förskjuter grafen till två enheter åt höger får vi grafen till. P.4.3 Skissera grafen till f() =. Funktionen har grafen i figuren till vänster. Speglar vi grafen i -aeln får vi grafen till f() =. P.4.34 Skissera grafen till f() = +. Grafen till får vi genom att förskjuta grafen till två enheter åt höger. Genom att addera, +, förskjuts grafen tterligare en enhet uppåt.
P.4.35 Skissera grafen till f() = +. P.4.37 Skissera grafen till f() = +. Funktionen / har utseendet Vi skriver om funktionen något f() = + = + = + +. (, ) (, ) Om vi inför ett ntt koordinatsstem (, ) där = och =. Då ges f:s graf av ekvationen = /. Förskjuter vi grafen två enheter till vänster får vi grafen till +. ( 3, ) (, ) I det ursprungliga koordinatsstemet blir detta Multiplikation med ger att alla -koordinater multipliceras med faktorn. Grafen får då utseendet (, ) ( 3, )
P.4.39 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f() + och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Eftersom f() är definierad då 0 så är f(+) definierad då 0 +, d.v.s. då 0. Definitionsmängden är alltså [, 0]. Eftersom funktionen är f(någonting) där någonting antar värden i [0, ] har f( + ) samma värdemängd som f(), d.v.s. [0, ]. När vi adderar till högerledet i = f() så förskjuter vi f:s graf med två enheter uppåt. 3 = f() + Definitionsmängden till f() + är fortfarande [0, ] medan värdemängden förskjuts två enheter uppåt till [, 3]. P.4.43 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ] samt grafen till höger. Skissera funktionen f() och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Med ett minustecken framför f() speglas grafen i -aeln. Funktionen f() har alltså grafen. (, ) P.4.4 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f( + ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Där f() är definierad är också f() definierad. Alltså har f() definitionsmängden [0, ]. Värdemängden till samma funktion är [, 0] eftersom när f() antar värdet b så antar f() värdet b. Om vi ersätter med + i = f() så förskjuts grafen två enheter åt vänster. Funktionen f( + ) har alltså grafen. (, )
P.4.45 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f(4 ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Denna spegling har vi både i - och -led. f( ) har alltså grafen. Övergången från till 4 blir tdligare om vi skriver = ( ) och 4 = + ( ). Vi ser då att och 4 är varandras spegelbilder kring =. 4 Grafen till f(4 ) blir alltså spegelbilden av grafen till f kring =. (3, ) 4 Funktionen f(4 ) är definierad för 0 4 eller 4. Definitionsmängden är alltså [, 4]. Eftersom f(4 ) är f(någonting) där 0 någonting, har f(4 ) samma värdemängd som f(), d.v.s. [0, ]. f() f( ) f( ) Funktionen f( ) är definierad för 0 eller. Definitionsmängden är alltså [, ]. När är Detta ger att 0 och 0 f( ). f( ) 0 0 f( ). Alltså har f( ) värdemängden [0, ]. P.4.46 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f( ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Uttrcket ersätter med dess spegelbild kring skriva = ( ) och = + ( ) ). (det ser vi genom att