Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot noll innebär det att uttrycket närmar sig ett gränsvärde, 8. Verkar självklart. För att uttrycka detta skriver man 8 + 8 0 Vi uttalar detta: Gränsvärdet för 8 +, då går mot 0, är 8. De flesta gränsvärden vi kommer att syssla den närmaste tiden är självklara. Trots det ska vi lära oss att använda (es), när vi uttrycker gränsvärden. Att alla gränsvärden inte är triviala inser vi då vi till exempel ser + 9 3 0 Sätter vi in 0 får vi 0 oc vad är det? Genom att successivt sätta in mindre 0 oc mindre, som vi ar övat på alldeles nyligen till exempel 0.001 får vi 0.001 + 9 3 0.166662 0.001 Med ett ännu mindre 0.00001 får vi 0.00001 + 9 3 0.00001 0.166667 Ingen större ändring. Det är tydligt att gränsvärdet är ungefär 0.166667 eller kanske. Hur som elst är det bara en gissning. 1 6 Ett annat gränsvärde är x 2 x 12 x 3 x + 3 Skulle vi få för oss att sätta in x 3 direkt får vi återigen 0. Men den är gången 0 kan vi faktorisera täljaren oc få (x 4)(x + 3)) x 3 x + 3 x 4 7 x 3 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Hur som elst är dessa två exempel klar överkurs vad gäller gränsvärden i denna kurs. Jag vill bara visa att gränsvärden inte alltid är triviala. Med denna korta introduktion till gränsvärden kan vi övergår till att definiera begreppet derivata. Det gränsvärde som differenskvoten f(a + ) f(a) ar, då 0 kallas för derivatan av funktionen y f(x) i punkten x a oc skrivs f (a) (uttalas f prim a). Nu kan vi skriva detta med på följande sätt f (a) 0 f(a + ) f(a) 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f (3) då f(x) x 2 Lösning: Vi ställer upp följande uttryck f f(3 + ) f(3) (3 + ) 2 3 2 (3) 0 0 9 + 6 + 2 9 0 Svar: f (3) 6 0 (6 + ) 0 (6 + ) 6 2 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (5) då f(x) 3x x 2 Lösning: Återigen samma typ av uttryck f f(5 + ) f(5) (3(5 + ) (5 + ) 2 ) (3 5 5 2 ) (5) 0 0 (15 + 3 (25 + 10 + 2 )) (15 25) 0 (15 + 3 25 10 2 ) + 10 0 7 2 ( 7 ) ( 7 ) 7 0 0 0 Svar: f (5) 7 Det kan kännas mödosamt att varje gång man ska derivera utnyttja derivatans definition, vilket ofta leder till ganska komplicerade beräkningar. Som tur är finns det deriveringsregler, som vi snart kommer att lära oss. Samtidigt är det mer än troligt att ett problem där man är tvingad att använda derivatans definition att dyka upp på KS oc/eller tentamen. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) x Lösning: Vi ar denna gång inte bestämt oss för något speciellt värde på x. Återigen tecknar vi uttrycket f f(x + ) f(x) x + x (x) 0 0 0 1 Resultat f (x) 1. Det blev inte ens något över! Vad står f(x) x för? Hur ska vi tolka resultatet? 4 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) x 2 Lösning: Man beöver inte som i tidigare exempel skriva om ela uttrycket med oc allt utan kan till att börja med förenkla den uppställa differenskvoten f(x + ) f(x) (x + )2 x 2 x2 + 2x + 2 x 2 (2x + ) 2x+ Nu ar vi förenklat uttrycket oc själva esövergången blir som oftast trivial. Vi skriver (2x + ) 2 0 Svar : f (x) 2x 5 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) x 3 Lösning: Diffrenskvoten blir f(x + ) f(x) (x + )3 x 3 (x + )(x + ) 2 x 3 (x + )(x2 + 2x + 2 ) x 3 x 3 + 3x 2 + 3x 2 + 3 x 3 (3x2 + 3x + 2 ) 3x 2 + 3x + 2 Javisst, jobbiga räkningar. Gränsvärdesövergången ger denna gång Svar: f (x) 3x 2 0 (3x2 + 3x + 2 ) 3x 2 6 Nu blir det ännu värre! Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) x 4 Lösning: Diffrenskvoten blir f(x + ) f(x) (x + )4 x 4 Räkningarna är ju inte så intressanta så vi oppar till slutet 4x 3 + 6x 2 2 + 4x 3 + 4 4x 3 + 6x 2 + 4x 2 + 3 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Gränsvärdet tecknar vi nu Svar: f (x) 4x 3 0 (4x3 + 6x 2 + 4x 2 + 3 ) 4x 3 7 Vågar man nu en gissning. Bestäm f (x) då f(x) x 5 Lösning: En kvalificerad gissning är f (x) 5x 4. Vad kan man då säga om f (x) då f(x) x n (där n är ett eltal 1). Förstås är f (x) n x n 1 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f (1) då f(x) x 2 2 Bestäm med jälp av derivatans definition f (2) då f(x) x 2 5 3 Bestäm med jälp av derivatans definition f (x) då f(x) 3x + 4 4 Bestäm med jälp av derivatans definition f (x) då f(x) (x + 1) 2 1 Ställ först upp differenskvoten f(1 + ) f(1) Nu kan vi skriva Svar : f (1) 2 (1 + )2 1 2 Ställ först upp differenskvoten Nu kan vi skriva Svar : f (2) 4 f(2 + ) f(2) 4 + 4 + 2 5 + 1 3 Ställ först upp differenskvoten f(x + ) f(x) 1 + 2 + 2 1 (2 + ) 2 0 (2 + )2 5 (2 2 5) (4 + ) (4 + ) 4 0 4 + (3(x + ) + 4) (3x + 4) (2 + ) 2 + 3x + 3 + 4 3x 4 3 3 Vi beöver ingen gränsövergång eftersom inget finns kvar. Svar : f (x) 3, som ju också är linjens k-värde Håkan Strömberg 4 KTH Syd
4 Ställ först upp differenskvoten f(x + ) f(x) (x + + 1)2 (x + 1) 2 ) x 2 + 2x + 2x + 2 + 2 + 1 (x 2 + 2x + 1) x 2 + 2x + 2x + 2 + 2 + 1 x 2 2x 1) 2x + 2 + 2) Nu kan vi skriva Svar : f (x) 2x + 2 (2x + + 2) (2x + 2 + ) 2x + 2 0 2x + 2 + Räkna bokens uppgifter: 2202, 2204b, 2208d, 2211a, 2212, 2215a 2202 Beräkna Detta ger f(3 + ) f(3) 0 (3 + ) 2 3 2 0 2 + 6 0 då f(x) x 2 0 6 + 6 Vi ar därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten i punkten (3, 9). Eller elt enkelt kurvans lutning i denna punkt. Till sist ska vi komma fram till uttrycket: Funktionen f(x) x 2 ar derivatan f (3) 6. 2204 b) Här får vi för första gången ett uttryck där vi inte kan förkorta bort i nämnaren: (8 + ) 1/3 8 1/3 0 Då 0 går bråket mot 0. Denna division är inte utan vidare definierad, så 0 vi får ta till numeriska oc grafiska metoder än så länge. Det finns anledning att tro att funktionen i fråga är f(x) 3 x oc att vi är intresserade av lutningen i punkten (8, 2). Visst kan vi uppskatta tangentens lutning genom figur 1, även om det känns osäkert. Tänk på att skalan inte är densamma på x- oc y-axeln. Kanske är k 0.1? Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Figur 1: Bättre kommer det att gå om vi räknar ut k (8 + )1/3 8 1/3 för olika värden på. Vi börjar till exempel med 3 oc låter successivt närma sig 0, men förstås aldrig nå riktigt fram dit. En tabell visar 3 2 1 0.5 0.2 k 0.07466 0.0772173 0.0800838 0.0816551 0.0826484 0.02 0.01 0.001 0.0001 k 0.083264 0.0832986 0.0833299 0.083333 Av denna tabell att döma tror vi oss förstå att gränsvärdet är 0.0833..., vilket också överensstämmer med det exakta värdet 1/12. Hur får man nu detta, jo genom att derivera funktionen f(x) oc ur detta bestämma f (8) f(x) x 1 3 ar derivatan f (x) x 2 3 3 som ger f (8) 1 12 Detta sagt till dem som mins. Vi återkommer till detta senare oc konstaterar att vi inte matematiskt klarar av alla gränsvärden. 2208 d) Nu åter till en uppgift vars teknik vi beärskar. f(x) x 2 + 1 oc vi ska beräkna f(3 + ) f(3) 0 Problemet är bara aningen svårare (?) än 2202. Punkten på kurvan i vilken vi ska bestämma lutningen är (3, 10). Vi skriver nu (3 + ) 2 + 1 (3 2 + 1) 2 + 6 0 0 0 6 + 6 2211 a) Bestäm f (4) där f(x) 5x + 3. Vilken typ av funktion är f(x)? Jo förstås en rät linje. k-värdet till linjen är 5 det vet vi från annat åll. Lutningen är densamma var på kurvan vi befinner oss. Även om vi direkt såg detta ska vi utföra beräkningarna med den teknik vi använder i detta kapitel. f(4 + ) f(4) 5(4 + ) + 3 (5 4 + 3)) 5 0 0 0 5 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Nu ar vi bestämt att f (4) 5. Men vad änder om vi istället beräknar f (x)? f(x + ) f(x) 0 5(x + ) + 3 (5 x + 3)) 5 0 0 5 Det blir ingen skillnad oavsett vilket värde vi väljer på x så är f (x) 5 2212 Vi får reda på att f(2 + ) f(2) 3 2 + 14. Detta betyder inte att vi kan säga ur f(x) ser ut. Det är inte eller det som efterfrågas så vi släpper den frågan. Vi ska istället bestämma f(2 + ) f(2) 3 2 + 14 0 0 (2 + ) 2 3 + 14 14 0 2215 a) f(x + ) f(x) 0 0 (2 + ) 3 8) Detta uttryck är ju inte så snällt vi måste förenkla (2 + ) 3 8 (2 + )(4 + 2 + 4) 8 + 2 2 + 8 + 4 + 3 + 4 2 8 3 + 6 2 + 12 ( 2 + 6 + 12) oc återgår till vår gränsvärdesberäkning f(x + ) f(x) ( 2 + 6 + 12) 0 0 0 2 + 6 + 12 12 Håkan Strömberg 7 KTH Syd