Tentamen (TEN) i MATEMATIK, HF 7 dec 7 Tid :-7: KLASS: BP 7 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Denna lapp lämnar du in tillsammans med dina lösningar. Tentamen består av 8 uppgifter à poäng. För godkänd krävs minst poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 7,, 7 respektive poäng. Komplettering: poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F). Uppgift. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner a) y = ln( ) sin b) y = c) ln( ) Uppgift. Beräkna följande gränsvärden ( 7 a) ) d) arcsin( ) b) ( ) c) d) arctan( 6) arcsin( ) Uppgift. Bestäm tangentens och normalens ekvationer i den givna punkten för följande kurvor a) y =, i punkten (, y) P b) y =, i punkten Q (, y > ) Uppgift. Bestäm definitionsområde, eventuella skärningspunkter med alarna, eventuella asymptoter, etrempunkter och rita grafen till funktionen y = f () då: 9 a) y = b) y = Var god vänd!
Uppgift. Beräkna följande integraler 8 cos a) ( e 8 ) d b) e ( cos( 8) ) d 9 9 c) ( ) cos d d cos( ) d Uppgift 6. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas av y =, y = e, = och = roterar a) kring -aeln, b) kring y-aeln. Uppgift 7. Bestäm definitionsområde, eventuella skärningspunkter med alarna, asymptoter, eventuella etrempunkter och rita grafen till funktionen y = f () då ln y = ln Uppgift 8. En kropp rör sig i rymden längs banan (, y, z) = ( t,, t ) och en annan kropp rör sig längs banan (, y, z) = ( t t,, t), där t är tiden (mätt i lämpliga tidsenheter). Bestäm det kortaste och det största avståndet mellan kropparna då t. Lycka till!
FACIT: Uppgift. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner a) y = ln( ) sin b) y = c) ln( ) d) arcsin( ) Lösning: a) > > Svar a) > b) V: V: Svar b) c) > Svar c) < < d) ( vi adderar ) ( videlar med ) Svar d) Uppgift. Beräkna följande gränsvärdena 7 a) ( ) b) ( ) c) Lösning och svar: a) Svar: /7 b) Svar: c) = [, L Hospital] = = arctan( 6) d) arctan( 6) arcsin( ) d) arcsin( ) = [, L Hospital] = ( 6) ( ) =
Uppgift. Bestäm tangentens och normalens ekvationer i den givna punkten för följande kurvor a) y =, i punkten (, y) P b) y =, i punkten Q (, y > ) Lösning: a) y = = punkten P (, ). y = k T = y ( ) = Tangentens ekvation: y y = kt ( ) Alltså: y = ( ) eller y = Normalens ekvation: y y = k N ) där Härav y = ( ) eller y = ( k N = =. k T Svar a) Tangentens ekvation: y =. Normalens ekvation: y = b) Från y = och Q = (, y > ) får vi y= och Q = (,) Implicit derivering ger y y =. Härav y = och k T = y ( Q) = =. y Nu får vi tangentens ekvation: y y = kt ( ) y = ( ) eller y =. Normalens ekvation: y y = k N ( ) där k N = = =. kt Härav y = ( ) eller y = Svar b) Tangentens ekvation: y =. Normalens ekvation: y =
Uppgift. Bestäm definitionsområde, eventuella skärningspunkter med alarna, eventuelle asymptoter, etrempunkter och rita grafen till funktionen y = f () då: 9 a) y = b) y = Lösning a) y = i) Funktionen är definierad för alla. ii) Polynom har ingen asymptot. iii) Skärningspunkt med y-aeln: f()=. iv) Skärningspunkt med -aeln: f ( ) = ( ) = = eller = = ± ( = ± Alltså tre skärningspunkter med -aeln: =, =, = v) Stationera punkter: y =, y =, y = 6 ) ±.6 y = = = = ± Två stationera punkter: S ( -,6), maimum eftersom y ( ) = <. S (,-6), minimum eftersom y ( ) = >. Grafen till y = :
Lösning b) 9 y = i) Funktionen är definierad för. ii) Vertikal (lodrät) asymptot: = eftersom y ± då ±. 9 iii) Horisontell (vågrät) asymptot finns inte eftersom ( ) =. iv) Sned asymptot: f ( ) 9 k = = ( ) = 9 9 n = ( f ( ) k) = ( ) = ( ) =. Alltså har funktionen en sned asymptot y=. v) Skärningspunkt med y-aeln finns inte eftersom funktionen är inte definierad för =. vi) Skärningspunkt med -aeln: 9 f ( ) = = 9 = = 9, ingen reell lösning ingen skärningspunkt med - aeln. Alltså tre skärningspunkter med -aeln: vii) Stationera punkter: 9 9 8 y =, y = y = y = 9 = = 9 = ± Två stationera punkter: S ( -,-6), maimum eftersom y ( ) <. S (,6), minimum eftersom y ( ) = >. 9 Grafen till y =
Uppgift. Beräkna följande integraler 8 cos a) ( e 8 ) d b) e ( cos( 8) ) d 9 9 c) ( ) cos d d ) cos( ) d 8 Svar a) e ln 8arctan tan ln 8 ln e sin( 8) Svar b) arctan ln C 6 Lösning c) ) f = ( cos d = [ Part integration f = = f g f gd = ( ) sin sin d = ( ) sin cos C Lösning d) Substitution = t d = dt d = dt cos( ) d = cos( t) dt = cos( t) dt = sin t C = sin( ) C arcsin C g = cos ] g = sin
Uppgift 6. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas av y =, y = e, = och = roterar a) kring -aeln, b) kring y-aeln. Lösning 6 a) V = π ( f ( )) d = π e π = ( e ). Lösning 6 b) e e d = π = π π e Vy = π f ( ) d = π e d Först beräknar vi den obestämda integralen e d. f = g = e Part. integration: e f = g = e e e e e d = f g f gd = d =. Nu substituerar vi gränserna och får e e e e e Vy = π e d = π = π π π = ( e ). Uppgift 7. Bestäm definitionsområde, eventuella skärningspunkter med alarna, asymptoter, eventuella etrempunkter och rita grafen till funktionen y = f () då ln y = ln Lösning 7. i) Funktionen är definierad för > och ln ln e. ii) Vi analyserar funktionen då går mot och då går mot e ln / f ( ) = = [, L' Hospital] = = ( Ej vertikal asymptot i =) ln / ln f ( ) = = ± ( eftersom täljaren går mot och nämnaren går mot ) / e / e ln Alltså har funktionen endast en vertikal asymptot =/e. iii) Horisontell (vågrät) asymptot: ln / ( ) = [, L' Hospital] = ( ) =. ln /
iv) Skärningspunkt med y-aeln finns inte eftersom funktionen är inte definierad för =. v) Skärningspunkt med -aeln: ln f ( ) = = ln = ln = = e, ln vi) Stationera punkter: ln y =, y = ln ( ln ) y = ( ln ) = ingen lösning ingen stationär punkt. Funktionens graf: Uppgift 8. En kropp rör sig i rymden längs banan (, y, z) = ( t,, t ) och en annan kropp rör sig längs banan (, y, z) = ( t t,, t), där t är tiden (mätt i lämpliga tidsenheter). Bestäm det kortaste och det största avståndet mellan kropparna då t.
Lösning 8. Vid tidpunkten t befinner sig den första kroppen i punkten P = ( t,, t ) och den andra i punkten Q = ( t t,, t) Avståndet mellan P och Q är längden av vektorn PQ = ( t,, t ) d = t 9 ( t ) = t t Roten är minst om uttrycket under rottecknet y = t t är minst. y = t = t = / ( y => minimum) t=/ Det kortaste avståndet är d(/)= 9 = 8 Ändpunkter: d()=. 6, d() =. 8 > Svar: Det kortaste avståndet är 8. 8 vid t=/ l e. Det största avståndet är. 8 vid t= Grafen till d(t).